线性代数第一章 行列式 1.4 克拉默法则.pdf

第一章第一章 行列式行列式 三 小结三 小结 思考题思考题 二 重要定理二 重要定理 一 克拉默法则一 克拉默法则 1 4 克拉默法则克拉默法则 第一章第一章 行列式行列式 11112211 21122222 1122 1 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 设线性方程组设线性方程组 21 不全为零不全为零若常数项若常数项 n bbb 则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组 21 全为零全为零若常数项若常数项 n bbb 此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组 一 克拉默法则一 克拉默法则 第一章第一章 行列式行列式 由线性方程组由线性方程组 1 的系数构成的行列式的系数构成的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 称为方程组称为方程组 1 的的系数行列式系数行列式 1 1 2 n ijji j a xbin 方程组方程组 1 可简写为可简写为 第一章第一章 行列式行列式 D D x D D x D D x D D x n n 3 3 2 2 1 1 其中其中是把系数行列式是把系数行列式中第中第 列的元素用方程列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即阶行列式 即 j DDj n nnj nnj nn nj j j aabaa aabaa D 111 11111111 定理定理1 4 1 克拉默法则 克拉默法则 如果线性方程组如果线性方程组 1 的系数的系数 行列式行列式那么线性方程组那么线性方程组 1 有解 并且解是唯有解 并且解是唯 一的 解可以表为一的 解可以表为 0D 第一章第一章 行列式行列式 证明证明 1 存在性 存在性 1122 1 n jjjnnjssj s Db Ab Ab Ab A 把把代入第代入第 i i 1 2 n 个方程个方程 得得 D D x j j ii n s n j sjijs n j n s ijijs n j n s sjsij n j j ij n j jij bDb D Aab D Aab D Aba DD D axa 111 1 1111 1111 故故是方程组的解是方程组的解 D D x j j 第一章第一章 行列式行列式 2 唯一性唯一性 设设 c1 c2 cn 是方程组的一个解是方程组的一个解 则则 1 1 2 n ijji j a cbin 1 1 2 n ikijjiik j Aa cb Ain DcAaccaAcaA k n j n i ikijj n i n j jijik n i n j jijik 111111 1 k n i iki DAb D D c k k 得得所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解 左端相加左端相加 右端相加右端相加从而从而ckD Dk 第一章第一章 行列式行列式 结论结论如果线性方程组如果线性方程组无解或有两个不同的无解或有两个不同的 解 则它的系数行列式必为零解 则它的系数行列式必为零 1 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数 及常数项之间的关系式 因此具有重要的理论价值及常数项之间的关系式 因此具有重要的理论价值 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等 且系数行列式不为零的线性方程组数相等 且系数行列式不为零的线性方程组 第一章第一章 行列式行列式 二 齐次线性方程组的相关定理二 齐次线性方程组的相关定理 2 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 12 n b bb当当 全全为为零零时时 对对应应的的齐齐次次方方程程为为 12 0 n xxx 显然 齐次线性方程组一定有解 显然 齐次线性方程组一定有解 即为方程组即为方程组 2 的解 这个解叫做方程组的解 这个解叫做方程组 2 的零解的零解 第一章第一章 行列式行列式 定理定理1 4 2如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组有非零解的充有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零分必要条件是它的系数行列式必为零 2 推论推论 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组只有零解只有零解 0 D 2 2 换言之 如果齐次线性方程组换言之 如果齐次线性方程组 2 有非零解 则有非零解 则 其系数行列式必为零 反之 如果齐次线性方程组其系数行列式必为零 反之 如果齐次线性方程组 2 系数行列式为零 则齐次线性方程组系数行列式为零 则齐次线性方程组 2 必有非零必有非零 解解 于是有下面的定理 这将在第二章中给予证明于是有下面的定理 这将在第二章中给予证明 第一章第一章 行列式行列式 例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 0674 522 963 852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解解 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 24 rr 12770 2120 6031 13570 第一章第一章 行列式行列式 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 277 010 353 27 33 27 6740 2125 6039 1518 1 D 81 6701 2150 6091 1582 2 D 108 第一章第一章 行列式行列式 6041 2520 6931 1812 3 D 27 0741 5120 9031 8512 4 D 27 3 27 81 1 1 D D x 4 27 108 2 2 D D x 1 27 27 3 3 D D x 1 27 27 4 4 D D x 第一章第一章 行列式行列式 例例2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 6523 611 443 3253 4321 4321 42 4321 xxxx xxxx xx xxxx 解解 2311 1111 4030 1253 D 67 0 第一章第一章 行列式行列式 23165 111611 4034 1253 1 D 3 67 23651 116111 4040 1233 2 D 0 26511 161111 4430 1353 3 D 2 67 65311 611111 4030 3253 4 D 67 第一章第一章 行列式行列式 D D x 3 1 67 3 67 1 1 D D x0 67 0 2 2 D D x 2 1 67 2 67 3 3 1 67 67 4 4 D D x 例例3 问问取何值时 齐次方程组取何值时 齐次方程组 01 032 0421 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解 有非零解 第一章第一章 行列式行列式 解解 111 132 421 D 101 112 431 3121431 3 3121 23 齐次方程组有非零解 则齐次方程组有非零解 则0 D 所以所以或或时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解 20 3 第一章第一章 行列式行列式 1 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零系数行列式不等于零 2 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推