债券交易价格波动研究的数学问题(6月短学期).doc

债券交易价格波动研究的数学问题（6月短学期）债券交易价格波动富含许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段。本题拟完成以下几个任务：1. 依据提供几种债券交易价格历年（日或月）的价格数据（国泰君安网）；获取描述其变化规律的数学模型。2. 获取价格波动的原因3. 获取国民经济的运行情况和债券交易价格的关系信息附件6.4 时间序列模型 时间序列模型是应用十分广泛的数学模型，其内容十分丰富。时间序列是按时间次序排列的随机变量序列，任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由三个部分叠加而成。这三个部分是趋势项部分，周期部分和随机噪声部分。从时间序列中把这三个部分分解出来是时间序列分析的首要任务。本节主要介绍时间序列的分解方法，时间序列和随机过程的关系，时间数列的构成要素与一些简单基本模型。6.4.1 时间序列的基本概念和现代时间序列分析1. 基本概念定义6.6 按时间次序排列的随机变量序列 （6.4.1）称为时间序列。如果用 （6.4.2）分别表示随机变量的观测值，就称式（6.4.2）是时间序列式（6.4.1）的个观测样本，这里是观测样本的个数。如果用 （6.4.3）表示的依次观测值，就称式（6.4.3）是式（6.4.1）的一次实现或一条轨道。在实际问题中所能得到的数据只是时间序列的有限观测样本。时间序列分析的主要任务就是根据观测数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型，然后利用模型的统计特性去解释数据的统计规律，以期达到控制或预报的目的。为了表达方便我们用表示时间序列式（6.4.1），用表示观测样本式（6.4.2）或式（6.4.3），为了表达简单，有时还用表示，用表示。例6.11 某地区历史上自然灾害频繁发生，在各种自然灾害中，水旱灾害发生的机遇最多，危害最大，表6-4-1给出了该地区1949至1964年的洪涝灾害面积的数据（单位：万亩）。表6-4-1 某地区洪涝灾害数据年份序号受灾面积（万亩）成灾面积（万亩）19491331.12243.9619502380.44293.901951359.6359.631952437.8918.0919535103.6672.9219546316.67244.5719557208.72155.7719568288.79255.221957925.000.5019581084.7248.59195911260.89202.9619601227.1815.0219611320.7417.0919621452.9914.6619631599.2545.6119641655.3641.90现在考虑受灾面积，用表示第1年（1949）的受灾面积，表示第2 年（1950）的受灾面积等第。，是一列按时间次序排列的随机变量，因此是一个时间序列。用分别表示第1年，第2年，第16年的实际受灾面积，则是时间序列的观测样本，样本量。它是时间序列的一次实现的一部分。如果用表示第1，2，16年的成灾面积，则是时间序列的16个观测样本，时间序列的观测样本可以用数据图6-4-1表出。图6-4-1 某地区洪涝灾害数据图，虚线是成灾面积由于，之间存在着相关关系，所以还需要研究向量值的时间序列向量值的时间序列又称为多维时间序列。类似地，时间序列可以表示：某地区的月降水量；某航空公司的逐日客流量；北京地区每月的煤炭消耗量；某渔业公司的逐月水产品的产量；某国家的逐月失业率等等。 2时间序列的第一类分解上述例子中，时间指标都是等间隔排列的。为了叙述方便，如果没有特殊说明，本书中的时间序列时间指标都是等间隔排列的。时间序列分析的主要任务是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型。合理的模型会对所关心的时间序列的预测、控制和诊断提供帮助。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性或者只表现出三者中的其二或其一。这样，可以认为每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列，都可以分解成三个部分的叠加。 (6.4.4)其中是趋势项， 是季节项， 是随机项。时间序列是这三项的叠加，便于与后面的分解区别，在此称它为时间序列的第一类分解。通常认为趋势项是时间的实值函数，它是非随机的。相应于时间序列的分解式（6.4.4），观测样本也有相应的分解。为研究问题的方便，在不引起混淆的情况下，我们往往不对和进行严格区分。在研究和关心数据的统计性质的时候用大写的，在用于数据的计算时常用小写。时间序列分析的首要任务是通过观测样本式（6.4.2）的观察分析，把时间序列的趋势项、季节项和随机项分解出来，这项工作被称为时间序列的分解.在模型式（6.4.4）中，如果季节项只存在一个周期，则于是，在任何一个周期内的平均是常数把模型式（6.4.4）改写成就得到新的季节项，它仍有周期且在任何一个周期内的和是零，于是，在模型式（6.4.4）中可以要求 （6.4.5）同理，可以要求随机项的数学期望等于零，即 （6.4.6） 例6.12 表6-4-2中的数据是某城市19911996年中每个季度用煤消耗量（单位：吨）。数据图形由图6-4-2出。表6-4-2 某城市居民季度用煤消耗量年份1季度2季度3季度4季度年平均19916878.45343.74847.96421.95873.019926815.45532.64745.66406.25875.019936634.45658.54674.86645.55853.319947130.25532.64989.66642.36073.719957413.55863.14997.46776.16262.619967476.55965.55202.16894.16384.5季平均7058.15649.34909.66597.7图6-4-2 例6.12的数据图和分段趋势下面通过对例6.12中的数据分析，介绍几种常用的分解时间序列的方法.方法1 分段趋势从数据图6.4.2可以看出，数据随着季节的变化有明显的周期。从年平均看出，数据有缓慢的逐年上升趋势。最直接和最简单的方法是把趋势项定义成年平均值，例如对，的趋势项是1991年的数据平均（见图6-4-2），这样得到：利用原始数据减去趋势项的估计得到的数据基本只含有季节的估计。如果用和分别表示第年第个季度的数据和趋势项，则时刻的时间次序指标。 (6.4.7)经计算：， ， 这时，。最后，利用原始数据减去趋势项的估计和季节的估计得到的数据就是随机项的估计（见图6-4-3）： 图6-4-3 季节项和随机项 方法2 回归直线趋势由于数据有缓慢的上升趋势，可以试用回归直线表示趋势项，这时认为满足一元线性回归模型 定义的最小二乘估计由公式决定，经过计算得到， 回归方程为：这时，趋势项的估计值是回归直线（见图6.4.4）。 (6.4.8)图6-4-4 数据和直线趋势项利用原始数据减去趋势项的估计后得到的数据基本只含有季节项和随机项，仍可以用第季度的平均值作为季节项的估计。利用方法1中的公式（6.4.7）计算出，.这时，。最后，利用原始数据减去趋势项的估计和季节项的估计后得到的数据就是随机项的估计，见图6-4-5。图6-4-5 季节项和随机项为得到1997年的预报值，可以利用公式 (6.4.9)这里， 是用例6.12中的24个观测数据对第个数据的预测值。经过计算得到1997年的预测值为：预测值 真 值 预测误差 方法3 二次曲线趋势我们还可以用二次曲线来拟合例6.12中数据的趋势项，这时认为满足二元线性回归模型：定义的最小二乘估计由公式决定，经计算得到 这时，趋势项的估计值是二次曲线（见图6-4-6）。图6-4-6 数据和二次趋势项利用原始数据减去趋势项的估计，得到的数据基本只含有季节项和随机项，再用第项季度的平均值作为季节项的估计，利用公式(6.4.7)计算出，季节项的估计数据见图6-4-7。这时， ，从原始数据减去趋势项的估计和季节项的估计后得到的数据就是随机项的估计， 最后利用公式(6.4.9)计算出1997年的预测值如下：预测值 真值 预测误差 图6-4-7 季节项和随机项可以看出，利用二次曲线的方法3得出的1997年的预测值在总体上好于方法2得到的预测值.对更复杂的数据还可以用更高阶多项式或其他曲线拟合趋势项.方法4 逐步平均法拟合趋势项还有常用的逐步运动平均法，回忆样本数据的季节项有明显的周期。对观测样本做逐步平均如下：， ，其中的下标是相应的求和项中的下标的平均。这个数据是趋势项的拟合。但是时间的指标不在整数位上，为克服这个不足，可以再取，注6.1 当数据季节项的周期是奇数时，时间指标在整数位上，上述步骤就没有必要了。这种方法的缺点是，在和处无法拟合出趋势项。利用原始数据减去趋势项的估计得到的数据基本只含有季节项和随机项。仍然用第季度的平均值作为季节项的估计。但是由于缺少和处的趋势项值，只能用公式和 进行计算，经计算得到：，这时。最后，从数据减去趋势项的估计和季节项的估计后得到的数据就是随机项的估计。为得到1997年的预测值，还需要对趋势项进行直线拟合，得到趋势项的回归直线.于是，由， 计算得到1997年的预测值为：预测值 预测误差 注6.2在以上的四种方法中，为了得到更好的趋势项，还可以利用数据重新估计趋势项，得到趋势项的新估计，最后得到随机项。 方法5 回归方法对于时间序列观测样本，如果只为了预测的目的还可以用多元回归的方法。假设例1.2中的数据满足多元线性回归模型： (6.4.10)其中是待估计的常数， 是哑元，满足模型式(6.4.10)的设计使得第季度的数据有相同的斜率。由于模型式(6.4.10)中的参数过多，使得设计矩阵不满秩，为了克服这个问题，取，得到下面的模型 . (6.4.11)定义则的最小二乘估计为经计算得到回归方程：于是可以计算1997年的预测值为：预测值 预测误差 在实际问题中，有时需要对时间序列的数据先进行适当的函数变换，根据数据图选定一个已知的函数，然后对变换后的数据进行时间序列的分解。采用这种方法有时会得到很好的效果。常用的函数有对数函数，指数函数，倒数函数 等。6.4.2 时间序列第二类分解及长期趋势分析预测模型1. 时间序列第二类分解和时间数列的构成分析事物的发展变化同时要受多种因素的影响，在诸多影响因素中，有些对事物的发展起着长期的、决定性的作用，致使事物的发展呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则对事物的发展起着短期的、非决定性的作用，致使事物的发展呈现出某种不规则性。作为事物发展数量表现的时间序列，其各个观察值正是这些因素共同作用结果的综合体现。影响时间序列的因素大体上可以分为四种，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。把这些影响因素同时间序列的关系用一定的数学关系式表达出来，就构成了时间序列的分解模型。将各影响因素分别从时间序列中分离出去并加以测定的过程，称为时间序列的构成分析。按四种因素对时间序列的不同影响方式，时间序列可以分为多种模型，如乘法模型、加法模型(第一类分解)、混合模型等。其中最常用的是乘法模型，其表现形式为： （6.4.12）乘法模型的基本假设是：四个因素相互之间存在一定的关系，即它们对事物的影响是相互的，并假设这些因素是由不同的原因形成的，但其作用却是相互的。因此，时间序列中各观察值表现为各种因素的乘积。利用乘法模型可以将四个因素很容易地从时间序列中分离出来，因而乘法模型在时间序列分析中被广泛应用，称时间序列第二类分解。这里主要讨论基于时间序列第二类分解长期趋势的分析方法(其它趋势分析类似)。长期趋势是时间数列的主要构成要素，它是指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或者状态。通过对时间序列长期趋势的分析，可以掌握现象活动的规律性，并对其未来的发展趋势作出判断或者预测。此外，研究长期趋势的目的之一，也是为了将其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析其他各影响因素。现象发展的长期趋势根据其表现形态的不同，有线性趋势和非线性趋势。下面分别介绍关于这两类趋势的一些重要的分析方法。2. 线性趋势线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。线性趋势的分析方法有很多，这里只介绍几种常用的方法。（1）移动平均法移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。当时间数列的变化趋势为线性状态时，可采用移动平均法进行描述和分析。该方法的基本思想和原理是：通过扩大原时间数列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，由这些平均数形成的新的时间数列对原时间数列的波动起到一定的修匀发展的变动趋势。设移动间隔长度为，则移动平均数序列可以写为： （6.4.13）式中：为移动平均趋势值，为大于1小于的正整数。例6.13 尽管受存款利息降低的影响，但某商业银行由于提高自身的管理和服务水平，近年存款额一直保持增长势头，表6-4-3是该银行19881998年存款余额。分别计算三年和五年移动平均趋势值。表6-4-3 某商业银行19881998年存款余额年份存款余额（亿元）年份存款余额（亿元）1988198919901991199219937511312812113615619941995199619971998152189184190212解 根据式（6.4.14）式得移动平均趋势值如表6-4-4.表6-4-4 存款余额移动平均趋势值年份存款余额（亿元）移动平均趋势值51988198919901991199219931994199519961997199875113128121136156152189184190212105.3120.7128.3137.7148.0165.7175.0187.7195.3114.6130.8138.6150.8163.4174.2185.4利用移动平均法分析趋势变动时，应注意以下几个问题：首先，移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置。比如三项移动平均的趋势值应放在第二项对应的位置上，五项移动平均的趋势值应放在第三项对应的位置上，其余类推。若移动间隔长度为奇数时，一次移动即得趋势值；若为偶数时，需将第一次得到的移动平均值再作一次二项移动平均，才能得到最后的趋势值。其次，移动平均的目的在于消除原数列中的短期波动，因此移动间隔的长度应长短适中。移动间隔越长，所得趋势值越少，个别观察值的影响作用越弱，移动平均序列所表现的趋势越明显，但移动间隔越长，有时会脱离现象发展的真实趋势；若移动间隔越短，个别观察值的影响作用就越大，有时由于不能完全消除数列中短期偶然因素的影响，从而看不出现象发展的变动趋势。一般来说，如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度；若时间数列是季度资料，应采用4项移动平均，若为月份资料，应采用12项移动平均。这样移动的结果才能真实表现时间数列的趋势变动。（2）线性模型法 当现象的发展按线性趋势变化时，还可以用下列线性模型来描述： （6.4.14）式(6.4.15)又称为直线趋势方程。其中： 代表时间数列的趋势值; 代表时间标号。趋势方程中的两个未知常数和通常按最小二乘法求得。该方法是根据回归分析中的最小二乘法原理，对时间数列配合一条趋势线，使之满足条件：实际观察值与趋势值的离差平方和最小，即。然后根据所确定的趋势线计算出各个时期的趋势值，从而观察和描述现象发展的变动趋势，并对未来的趋势值进行预测。最小二乘法既可以配合趋势直线，也可以用于配合趋势曲线。根据最小二乘法的要求，可以得到趋势线总未知常数和的标准求解方程： （6.4.15）解得： （6.4.16）上述方程中的变量可以取时间数列中的任何时期为原点。为简便起见，可以取时间数列的中间时期为原点，此时有，式（6.4.16）可以化简为： （6.4.17）解得： （6.4.18）利用表6-4-3中的数据，根据最小二乘法确定存款余额的直线趋势方程，并计算出19881998年各年存款余额的趋势值，有关计算见表6-4-5。表6-4-5 存款余额趋势直线计算表年份时间标号存款余额（亿元）趋势值19881989199019911992199319941995199619971998123456789101175113128121136156152189184190212752263844846809361064151216561900233214916253649648110012190.9102.8114.7126.7138.6150.5162.5174.4186.4198.3210.2合计661656112495061656.0根据式（6.4.17）得： 存款余额的直线趋势方程为：。将代入上述方程，即得19881998年存款余额的趋势值，见表6-4-5。将存款余额及其趋势值绘成图6-4-8。将代入方程得2000年存款余额的预测值为：.1（亿元）图6-4-8 存款余额直线趋势图3. 非线性趋势现象发展的长期趋势，通常可以认为是由于某种固定的因素作用同一方向所形成的。若这些因素随着时间的推移按线性变化，就可以对时间数列配合趋势直线；若呈现出某种非线性形态，则需要配合适当的趋势曲线。下面介绍几种常用的趋势曲线。（1）二次曲线 当现象发展的趋势为抛物线形态时，可配合二次曲线。其一般方程为： （6.4.19）曲线中的三个未知常数的标准求解方程如下： （6.4.20）当取时间数列的中间时期为原点时，有，式（6.4.20）可化简为： （6.4.21）例6.15 由于近年银行存款利息的降低，居民存款额有所下降。表6.4.6是某地区19901998年各年的存款数据。试配合二次曲线，计算19901998年存款额的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。表6-4-6 某地区19901998年存款额年份存款余额（亿元）年份存款余额（亿元）199019911992199310515222825519951996199719983543513192841994315解 有关计算过程见表6-4-7。表6-4-7 存款二次曲线计算表年份时间标号存款余额（亿元）趋势值199019911992199319941995199619971998合计-4-3-2-10123401021522282553153543513192842360-408-456-456-2550354702957113615741694101491660163213689122550354140428714544133402568116101168125670884.8165.4230.5280.0314.0332.5335.4322.8294.62360.0根据式(6.4.21）式得：解得：。存款额的二次曲线方程为：，将代入上式得各年的趋势值见表8.12。将代入方程得1999年的存款额为：（亿元）将各年存款及其趋势值绘成图6-4-9。（2）增长曲线大多数事物在其发展过程中都呈现出以不同的速度率增长或下降，或者由逐渐增长到逐渐衰退等各种不同形态。用于描述这类增长过程的曲线称为增长曲线。由于不同事物的增长形态各异，因而需要不同类型的增长曲线来描述。下面介绍几种常用的增长曲线。图6-4-9 居民存款额二次曲线趋势指数曲线。指数曲线用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间数列的观察值按指数规律变化，或者说时间数列的逐期观察值按一定的百分比增长或衰减。一般的自然增长及大多数经济数列都属于此类。指数曲线的一般形式为： （6.4.22）式中：为未知常数。若，增长率随着时间的增加而增加；若，增长率随着时间的增加而降低；若，趋势值逐渐降低到以0为极限。为确定指数曲线中的常数和，可采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，即两端取对数直线形式，即两端取对数得： （6.4.23）然后根据最小二乘法原理，按直线形式的常数确定方法，得到求解的标准方程如下： （6.4.24）当取时间数列的中间时期为原点时，（6.4.24）式可化简为： （6.4.25）求出和后，再取其反对数，即得常数和。例6.16根据表6-4-3中的资料，确定19881998年某商业银行存款额的指数曲线方程，求出各年存款的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。解 有关计算过程见表6-4-8。根据式（6.4.24）得：解得：表6-4-8 某存款额指数曲线计算表年份时间标号存款额（亿元）趋势值198819891990199119921993199419951996199719981234567891011751131281211361561521891841902121.8750614.1061576.3216308.33114110.66769513.15874815.27290518.21169420.38336022.78753625.5896941.8750614.1061576.3216308.33114110.66769513.15874815.27290518.21169420.38336022.78753625.58969414916253649648110012194.7103.1112.3122.2133.1144.9157.8171.8187.1203.7221.8合计661656146.705621146.7056215061652.7存款额的指数曲线方程为：。将代入上述方程，即得19881998年存款额的趋势值，见表6-4.8。将存款额及趋势值绘成图6-4-10。将代入方程得1999年的存款额为：（亿元）。图6-4-10 存款额指数曲线趋势指数曲线比一般的趋势直线有着更广泛的应用。因为它可以反映出现象的相对发展变化程度，因而对不同数列的指数曲线可以进行比较，以分析各自的相对增长程度。在例6.16合的存款额指数曲线中，表示时存款额的趋势值，表示19881998年存款的平均发展速。若将其改为，可以清楚地看出，该商业银行存款额的年平均增长速度为8.887%。修正指数曲线。在一般指数曲线的基础上增加一个常数，即为修正指数曲线。其一般形式为： （6.4.27）式中：为未知常数。修正指数曲线用于描述这样一类现象：初期增长迅速增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以为增长极限。即当时，。例如，某种刚刚问世的新产品，初期销售量增长可能很快，当社会拥有量接近饱和时，销售量逐渐趋于某一稳定的水平上。现实生活中有许多事物的发展过程符合修正指数曲线形式。修正指数曲线中的未知常数可以采用不同方法来求解，如最小二乘法、选点法、三和法等。当极限值可以预先确定时，可采用最小二乘法；若无法确定时，可采用三和法或选点法。现以三和法为例说明未知常数的求解方法。三和法是确定修正指数曲线中未知常数的常用方法。其基本思想是：将时间数列观察值等分为三个部分，每部分有个时期，从而根据趋势值的三个局部总和分别等于原数列观察值的三个局部总和来确定三个常数。设观察值的三个局部总和分别为，即 （6.4.27）根据三和法的要求有： （6.4.28）将上式右端括号内分别乘以得： （6.4.29）由式（6.4.29）解得： （6.4.30） 例6.17某企业19901998年电脑产量数据如表6-4-9，试确定修正指数曲线方程，并求出各年电脑产量的趋势值，并预测2000年的电脑产量，作图与原数列比较。表6-4-9 某企业电脑产量数据年份电脑产量（万台）年份电脑产量（万台）199019911992199319941318294852199519961997199870747878解 有关计算过程见表6-4-10。表6-4-10 表6-4-9脑产量修正指数曲线计算表年份产量（）趋势值（）1990199119921231318293.321.135.66060.019931994199545648527047.557.565.2170170.019961997199878974787871.777.081.3230230.0根据式（6.4.30）得：电脑产量的修正指数曲线方程为：。将代入上述方程即得电脑产量的趋势值，见表6-4-10。电脑产量与其趋势值的图形见图6-4-11。将代入方程得2000年的电脑产量。 （亿元）这一方程说明，从19901998年这一时期的