周义仓编常微分方程习题答案.pdf

答案答案 1 1 1 1 x y yxtg y xytg 2 2 22 y xyxyl y 3 0 xyy 4 2 2 y yxyxa y 5 2 yxyx 提示 过点提示 过点 x y的切线的横截距和纵截距分别为的切线的横截距和纵截距分别为 y x y 和和 yxy 2 设 0 时刻的质点的在平衡处 坐标轴为一平衡位置为原点 竖直向下为轴的方 向 设弹簧的弹性系数为 k 根据能量守恒定律 我们得到微分方程 m dt dx 2 kx2 2mgx x 0 0 3 如上建立坐标系 设任意时刻物体的位置为 x t 由牛顿运动定律 我们得到微分方程 md2x dt2 mg k dt dx 其中 g 为重力加速度 4 设任意时刻物体的温度为 T t 由牛顿冷却定律 我们得到微分方程 dt tdT k T t A T 0 T0 其中k为比例系数 解该方程得到 T t A T0 A kt e 5 以静止时刻物体的位置为轴的零点 沿斜面向下为轴的方向建立轴 设任意时 刻物体的速度为v t 根据牛顿运动定律 我们得到微分方程 2 3g dt dv v 0 0 6 微分方程是 1 2 2 dx xdy dx xdy xop xy 7 1 y dx dy x2 2 y dx dy 3 dx dy dx yd 2 4 2 2 22 3 2 3 dy dx x dy xdx c 代入略 5 0 2 dx dy y dx dy dx dy yx 6 d d cos1 sin 7 dt dx tgt dt dy 8 1 2阶线性 2 2阶非线性 3 2阶非线性 4 m阶线性 5 1阶若f x y 关于y是线性的 则线性 否则 非线性 6 3阶同左 7 2阶非线性 8 1阶非线性 9 带入验证 略 10 1 通解 y x2 c c为任意常数 2 特解为 y x2 3 3 y 2 x 4 4 y x2 5 3 11 很容易得到 dx dy rx re 2 2 dx yd r2erx 3 3 dx yd r3erx 代入微分方程 1 r 2 2 1 r 3 2 r或3 r 4 0 r或1 r或2 r 12 同上我们很容易得到 dx dy rxr 1 2 2 dx yd r r 1 xr 2 代入微分方程 1 r r 1 4r 2 r x 0 则r 1或r 2 2 r r 1 4r 4 xr 0 则r 1 或r 4 13 1 y 0或者y a b为其两个常数解 2 函数单调增 即 y a by 0 解得 0 y a b 函数单调减 即 y a by 0 解得 yba 或y0 3 微分方程通解是 ax ceb a xy 所以拐点的y坐标为a b 4 略 返回目录 答案答案 1 2 1 1 yx 2 R 2 0y 3 2 R 4 yx 2 1 1 0 xy xxdssxy x 3 0 2 1 3 1 1 753 0 32 2 63 1 15 2 3 2 3 1 xxxdsxxsxy x 2 0 0 xy x xs edsexy 0 1 1 x xxss xeedseexy 0 22 2 2 1 2 1 1 3 1 证 取 2 1 a 在矩形区域 byxyxR 2 1 上 22 cos xyyxf 连续 且关于 y 有连续的偏导数 计算 2 1 maxbyxfM 2 1 2 1 min b b h 由此可见 h 是有界的 由解的存在唯一性定理 知初始值问题的解是存在唯一的 2 3 4 的证明和 1 相同 略 4 提示 代 xx 到微分方程验证即可 5 证明 对条件中的不等式进行求导有 tgtftf tgtf在区间上是非负 连续的 xf是单调减少的 即在区间上有最大值 M 现在再求最大值 对 tgtftf 积分 则得 t dssgCM 0 exp 因此 t dssgCtf 0 exp 6 提示 和 3 题的证明类似 应用定理及 yxf偏导存在 7 证明 假设在 0 xx 一侧有两个解 21 xyxy和 且 21 yy 则由 yxf是 y 的非 增函数 因此0 21 yxfyxf 即0 21 yy 可以得出 21 yy 是非增的 而 在 0 x点有0 0201 xyxy 这与 21 xyxy 矛盾 假设不成立 只有一解 8 提示 作逐步逼近函数序列 0 xfx 2 1 0 1 ndxKxfx b a nn 9 提示 首先判断出满足唯一性条件的 h L 和 M 由05 0 1 1 0 时才成立的 6 证明 把 xy 代入方程有 xf dx xd 令x 1 x代入 则得证 区间是 cbxca lly时 区间任意 当 0 y是其它的情况是 只要满足分母不为零即可 11 当1 0 y且0 0 y时 极限存在且为 1 y 0 时 极限时 0 y 1 时 极限是 1 12 1 0 1 n n n xx n ML xx 其中 M max yxf L 是 Liapunov 常数 13 反证法 略 14 Picard 迭代函数是dsssx x nn 0 1 1 0 0 极限是xey x 22 15 证明 反证法 我们只证明 0 xx 的情况 小于的情况类似 令 xxxh 则0 0 xh xh连续可导 由于 0000 yxFyxfxh 故在 0 x的一个邻域内必有0 xh 若有一点 1 x 01 xx 使得0 1 xh 不 妨 假 设 1 x是 使 得0 xh的 最 靠 近 的 点 则 11 xx 且 0 1 xh0 11111 xxfxxFxh 矛盾 所以当 0 xx 时 xh必 然大于零 16 证明 若 0 x是有限值 由于 00 xxyx 且 0 xxxfx 在 的邻域内连 续有解 函数 0 0 y xxx x 就是一个可微函数 事实上 0 xxx 在下 虽然连 续可微 当 0 xx lim lim lim 00 0 0 0 0 0 0 yxf xx c xx yx xx xx x 因此 o yxx 0 是方程满足的解 有解的存在唯一性定理得 0 yx 即 x 是常数解 矛盾 17 程序如下 1 DEtools dfieldplot diff y x x y x exp x 2 y x x 2 2 y 2 2 dir grid 9 9 arrows LINE axes NORMAL 这里只给第一题的程序 其他的类似 18 答案 1 0 0 0 0 xp xq xp x 19 证明 设该方程的积分曲线是 xy 则tgxxxtgxx 1 当此曲线与 oy 轴相交时 1 0 0 x 故所有的切线斜率均是 1 相互平行 20 证明 若 xy 有拐点0 1 1111 xxyyx 且则必有 因此得出 1 xxfx xxfxxfxxfx yx 在等倾线上cyxf 两边关 于x求导 有 yxf yxf y y x 为等倾线斜率 0 为积分曲线的斜率 由 xx 即 yx 故在拐点处积分曲线与等倾线相切 返回目录返回目录 习题习题2 1 1 1 2 ln 2 x cey 2 x cey 1 3 x cexxy cos sin 2 1 4 x cexy sin 1sin 5 nx xecy 6 13 33 xxy 7 42 1 1 2 xxcy 8 02 3 及yycyx 9 1 0 1 1 a aa x cxy a 0 ln acxx 1 1ln axxcx 10 01 1 2 22 ycexy x 及 11 0 4 ln21 2 yxcxy 12 22 cxxy 13 cex x y 3 2 2 14 2222 2 1 cxeyxx y 15 x exy 1 2 1 k kxtgcy 2 1 2 1 2 xx e y ln 3 2 4 12 x x y 4 133 cos 1ln 23 xxx xx y 3 程序如下 图略 1 dsolve diff y x x 2 x y x x exp x 2 y x 1 2 x2 C1e e x2 plot 1 2 x 2 1 exp x 2 x 0 4 0 4 color blue 2 dsolve x diff y x x 3 y x 2 x 1 x 2 y x ln 1x2 C1 x3 plot ln 1 x 2 1 x 3 x 1 1 color blue 4 设人体吸收葡萄糖得速率与血中葡萄糖得含量成比例得比例系数为 k 设以常数 c 速率注 射 设任意时刻得葡萄糖得含量为 G t 则t 时间内 G t t G t k G t t ct 则 得到微分方程 dG t dt c k G t G 0 G0 解此微分方程得到 G t c k e kt G0 c k 5 设任意时刻车间内的 co2的百分比为 x t x t t x t 0 05 10 t x t 10 t x 0 30 10 30 0 02 得到微分方程 x t 0 5 10 x t x 0 0 2 解此微分方程 x t 1 2000 3e 10t 2000 则 20 分钟后车间内的 co2的百分比为 x 20 1 2000 3e 200 2000 6 y x d x0 x f u e e k u u y0 e e k x0 e e k x 0 yx时 7 显然 y1 p x y1 g1 x y2 p x y2 g2 x 把 y y1 y2代入得 左边 y p x y y1 y2 p x y1 p x y2 g1 x g2 x 右 则 y1 y2是方程 y p x y g1 x g2 x 的解 8 证明 1 方程的解是 xx yef x e dxc yp x dxc 由题意 如果 y 是 周期解 即 y xy x 则带入就可以得到 0 0p x dx 2 方程的通解是 p x dxp x dx yeg x edxc 在题目给定的条件下 周期解应该 满足 y xy xT 代入到通解中 得到 p x T dx cg xT edx 代入回通解中验 证即得到结论 9 证明 通解是 xx yef x e dxc 有界性用放缩法证明 如果有两个有界的解 那 么与解的存在唯一性矛盾 所以只能又一个有界解 周期性验证与上面一题相同 详细情况 参考书中例例 2 1 3 10 根据题目的提示 1 1 2101 2 3 1 6 1 23 1 3 x xxx ec ecece arctgy 2 024 4 22 cxxxexe yy 3 2 2 x c x ey 4 1 3 2 2 cx x y 返回目录 习题答案习题答案2 2 1 1 222 1 1 cxyx 2 0 ln ycxyyx 3 1 0 cossin kkycxy 4 cee yx 2 32 3 5 cy x y ln1 6 0ln2 293 ln 233 cyy yxxx 7 c x xy 2 2sin cos2 8 0 222 cos c eyee x yyy 9 0 22 cxxy 10 0 3 4 ln5 c y x yx 11 0 2 21 4 2 cos2 1 2 y tgc y tg y xtg 12 0 2cot 2 2ln csc sin cy y x 13 x arctgec y 1 14 0ln cx x y arctg 15 0ln cxe x y 16 17 18 19 提示 令分母 分子分别等于零 解出交点 00 yx 做 00 xxXyyY 代回原方程 再令u X Y 求导代入即可化成变量可分离的方程 2 1 3336276 3 1 2 23 xxxy 2 12 1 2 2 2 x e y 3 032sin 232 yyxx 4 4 2 2 arctgxyarctg5 1 1 x xey 3 1 0 1 2 2 2 2 cce y y x 2 2 1 2 1 x cey 3 cxxy 3 1 3 1 23 4 ct t arctgx 1 5 0 1 2 2 ccexx t 4 证明 略 方程解是1 2 22 yxcxy 2 cyx x y 22 4 1 ln 5 x xf 2 1 6 0 txtgtx 7 2 sinyx cey 代入y 0 0 则0 y 存在区间是 8 证明 方程解是 x e y y 0 当 0y时 1 当0 0 y 极限是 当 y时 是显然成立的 2 当0 0 y 由解的唯一性知极限是 0 3 当 0 0 y满足条件的 0 x是 1ln 1 0 0 y x 9 解 设任 一 时 刻B点 的 坐 标是 yx A点 的坐 标 是 0 X 则 由 题 意知 222 byxX 且 xX y dx dy 经过点 0 b 联立有 y yb dx dy 22 解 得oyxbyx 0 222 且 10 3 xy 11 1 8倍 2 1250个 12 提示 温度变化率与温差成正比 23点视为零时刻 则方程为 0 934 282 8 t Ce 而 人正常体温是36 5左右 代入可得1 2t 因此说明受害者的死亡时间是在22 20左右 13 假设一天服药n次 时间间隔为T 则在 0tT 方程是 kt x tae 2TtT 方程是 kTk t T x taaee 1 nTtnT printlevl 0 printlevl0 h 0 1 h 1 x0 0 x00 y0 1 y01 z0 1 z01 f1 x y 2 y x 3 exp 2 x f1 x y 2 yx3e e 2x f2 x y 3 X 2 exp 2 x 2 x 3 exp 2 x 2 x 3 exp 2 x 2 y x f2 x y 3 X2e e 2x 4 y x for n from 0 to 9 do x n 1 h n 1 y n 1 y n h f1 x n y n z n 1 z n h f1 x n z n h 2 f2 x n y n 2 print x n 1 y n 1 z n 1 od 1 8 7800000000 01500000000X2 2 6400818731 6080818731 02428096130X2 3 5126017545 4742001170 02947956973X2 4 4115631950 3705898499 03181583032X2 5 3321262614 2911163214 03219259872X2 6 2702995021 2308490249 03127227060X2 7 2227453967 1857790249 02953572966X2 8 1866545932 1526265879 02732753819X2 9 1596607763 1287052801 02489047832X2 1 0 1397789100 1118212975 02239186598X2 5 只做第一题 其它类似 1 printlev1 0 printlev10 h 0 1 h 1 x0 0 x00 y0 2 y02 z0 2 z02 f1 x y 28 exp 4 x f1 x y28 e e 4x f2 x y 28 exp 4 x 3 7 exp 4 x 3 y f2 x y 49 e e 4x 9 y for n from 0 to 9 do x n 1 h n 1 y n 1 y n h f1 x n y n z n 1 z n h f1 x n z n h 2 f2 x n y n 2 print x n 1 y n 1 z n 1 od 1 4 8 4 955000000 2 8 977109154 9 281606205 3 15 20862375 15 65440842 4 24 50495113 25 07977638 5 38 37344192 39 05903731 6 59 06279900 59 83190825 7 89 92769286 90 73965437 8 135 9727038 136 7668576 9 204 6637884 205 3496404 1 0 307 1388448 307 5813938 返回目录 答案答案2 7 1 1 dy dx y2 x2 2xy 所求得正交轨线满足微分方程 dy dx 2xy x2 y2 解该微分方程 0ln ln ln 2 22 cx x yx x y 2 dy dx y x 所求得正交轨线满足微分方程 dy dx x y 解该微分方程 0 22 cxy 3 dy dx xy x2 1 所求得正交轨线满足微分方程 dy dx 1 x2 xy 解该微分方程 0ln2 22 cxxy 4 dy dx ylny x 所求得正交轨线满足微分方程 dy dx x ylny 解该微分方程 0 4 1 ln 2 1 2 1 222 cyyyx 2 dy dx H x y tan 1 H x y tan 1 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程 dy dx 3 解得 cxy 3 2 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程 dy dx x y x y 解得 0ln 2 ln 2 1 2 22 cx x xxyy 3 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程 dy dx 1 2 lnax 解得 c a axEi xy ln 1 2 4 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程 dx dy y 2 a 2 a y 解得 cayayx 2ln 4 3 抛物线族满足的微分方程 dy dx 2c1x dy dx 2 y k x 椭圆曲线族满足的微分方程 dy dx 2x 4y 1 两者正交 则k 1 2 4 两曲线族的所满足的微分方程为 dy dx yn 1 xn 1 dy dx x2 y2 两者正交则n 3 5 给定的双曲线满足微分方程dy dx x y 所求得曲线满足微分方程 dy dx 2x y 2y x y 0 1 解得 45 2 1 2 xxy 6 设物体下落过程中任意时刻的速度为v t 则根据牛顿运动定律 我们得到微分 方程 mdv dt 3mg 4 kv 由物体的极限速度为24m s 我们得到k mg 32 v 0 0 则我们解得 1 24 16 5t etv v 3 24 1 e 15 16 7 设物体任意时刻的运动v t 根据牛顿运动定律 我们得到微分方程 20dv dt 10 v t 2 v 0 7 我们得到 20 310 t etv 8 设物体任意时刻的运动v t 我们设T时刻物体到达最高点 我们仅仅考虑 0 T 根据牛顿运动定律 我们得到微分方程 10dv dt mg kv2 根据题目中的条 件我们得到 k 2 v 0 v0 我们得到 10 2 2 25 0 v arctgttgtv 很容易我们就得到 v T 0 T arctan v02 10 2 9 设任意时刻该人在银行的存款为也y t y 0 20 000 满足微分方程 dy dt y 1 t 7 210 365 t 我们得到 14420 1 20000 t ety y 1095 y T 40000 很容易就求出 10 先考虑前三年 由上一题我们知道y 1095 其中 14420 1 20000 t ety 现考虑后 面4年 满足微分方程 dy dt y 1 3t 36500 365 t dy 0 y 4 a 我们得到 t x aety 36500 3 1 很容易我们就可以得到y 4 11 设任意时刻的患病老鼠的数量为N t 则根据题目的意思 我们得到如下方程 dN dt kN 500 N N 0 5 解得 kt e tN 5000 9991 5000 12 设任一时刻无水部分的底面半径是 tr 则 H hR tr 由体积相等有 hravt 2 3 1 代入r h对t求导有 2 2 2 1 22 R Hgac h dt dh 且0 0 h 当Hh 时 水放完 此时 g H ac R t 23 2 返回目录 答案答案 2 1 1 x cyy 2 2 cos2 1 2 1 ln 2 cx y x y x lnln 1 3 cxyxy 333 3 1 2 4 cxxyy 223 3 3 4 5 t cttt Q 55 25 1 ln 5 1 6 y cexy 2 4 3 2 1 2 1 4 1 4 1 ln 2 1 22 xx exeyyy 2 218 2 4 t t tx 3 4 2 4 4 541 x y 4 4 ln1 1 xx y 5 xy ee 21 2 6 102cos 2 1 sin 2 3 22 rrr 3 1 0 cet t x 2 2 3 1 sinct t 3 0 2 cet t x 4 2 2 1 2 2 t ce t tg 5 0 ln ln cxtt 6 2 1 22x cext 7 0 cossin2 5 1 2 txt ettec 8 0 arcsin ctxt 9 carctgxt 1 2 10 0 1 ct tx 11 0 1 ln ct t x 12 0ln 2 1 2 1 ln cxtxtt 13 0 1 2 2 2 2 1 t cet e x t t 14 x eyx 222 15 2ln txt 16 24 1 4 1 2 t e t ex 17 2 1sin t e 18 4 2 arcsin 2 t tx 19 1 xy yex 20 1 2 22 tcttx 4 1 cyyxyx 32 3 2 3 2 cxey y 3 c x y arctgyx 22 ln 4 cxxyyx 22 5 2 1 22y ceyx 6 cxyx cos 2 7 cyxyx 22 8 cexyx y 3 3 1 9 xx ceey 2 1 10 233 33 xxyy 11 cxy 2 sinsin 12 0 2 c y x arctg y x 13 cyxyx 222 2 14 cxyx 2 sin2cossin2 15 cxxyxy 33 2 16 2xy ey 17 x yx cxey 1 2 18 12 323 xyyx 5 程序如下 只给出1题 其他类似 图略 1 DEtools dfieldplot diff x t t t 2 1 t 2 x t 2 x t t 2 2 x 2 2 d irgrid 9 9 arrows LINE axes NORMAL 下面的程序是求方程的解 dsolve diff x t t x t sin t 2 implicit x t e e cos t d 2 e e cos t te e cos t C1 6 1 xx eey 23 2 2 271874 18690048 1 29952 1 144 1 4 1 xxxxy 迭代 7 1 提示 Picard 迭代法 2 4 1ln 2 22 xy 8 答案 0 0007s 9 解 设比例常数是 k 由题意知微分方程是 Ax p k Axd dp 解为 k Axcp 10 显然 2 小时后 容器中的液体将变为零 则我们考虑的时间段为 0 120 设任意时刻的 盐水的含盐量为 G t 则此时的浓度为 G t 60 0 5t 即求出 G t 即可 由题意知 G t t G t 3 2 t 2 5 t G t 60 0 5t 则 G t 6 5G t 120 t G 0 0 解得 t t tG 2 3 180 138240000 120 2 11 设任 意时 刻 的 溶液 的 浓 度为 平 p t 根 据 题 目的 意 思 我 们 得 到微 分 方 程 dt dp 5 2p t 4 p t p 1 0 5 解得 814 3235 1 3 1 3 t t e e tp 12 解 设电容上电压任意时刻为 U t 根据电学定律 我们得到微分方程 cR U dt dU 解得 Rc t EeU 13 k 为比例系数 答案 whlt h wl ktV2 2 2 14 提示 设 z 代表信息 这里数量化 y 代表广告 则购买者人群的变化率为 zkyk dt dx 21 这里只是其中一种假设 15 解 每 t 时结算一次 则存款为350 1500Ur 连续计算就是t 16 1 350 1500Ur 2 125 度 3 423 9 卡 17 有条件可参看数学建模 周义仓 赫孝良 西安交通大学出版社 75 页例 9 返回目录返回目录 答案答案3 1 1 求解下列方程 1 2 2 1 1 2 cxecy x 2 tctccc t tx2cos 1 8 1 1 4 1321 2 3 2 2 2 11 2 2 cactcttx 4 3 2 2 2 11 8 3 4 1 2cos 8 1 2cos 6 1 cttctctcttx 5 3 1 21 22 c c ctc txctx 或 6 9 23 3 5 9 4 2 3 tetx t 2 求下列方程的解 1 21 1 1 1 cce ec txctx tc tc 或 2 1 2 22 2 2 cctcttx 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 c e e c c e c c e c t t t t etxetx 或 4 x t C 2DCos twD C 1DSin twD 5 wc wt wt wc wt wc wc wt we ec e e we ec e e tx 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 或 6 tcx c x c 2ln 1 2 2 1 21 7 4 1 2 1 2 22 2 cctctIntx 8 tcc cct ee ec tx 12 21 22 1 4 4 9 21 1 1 ctc txctx 或 10 x t x dx xp x x dx dp dt dx p 6 1 2 3ln 2 sin1ln 2 3ln 2 sin1ln cos sin1 3 求下列方程的解 1 1 5 33 4 22 1 53 2 42 1 tt tc tt ctx 2 tc t e ce txtx 1 3 2 0 或 3 5 8 2 5 1 25 8 5 1 0 tceetxtx tc 或 4 21 22 sin22ctctttxx 5 32 2 1 3 3ctctcxtx 6 0 2 2 2 2 1 211 2 cxcarctgct 7 tc t e ce txtx 1 2 5 2 4 0 或 8 2 1 1 2 1 2 arctan 1 c c t tc c tx 9 tctctxtx 2 2 1 22 0 或 10 42 21 2 6 1 ttccx 4 提示 设物体距地面高度是 h G 为引力常数 R 为地球半径 由牛顿定律知 dt dv m hR GMm 2 且知道v dt dh GM g 2 R则联立可解 5 解 设质点的质量是 m 速度是 v 则 v 0 0 由牛顿第二定律知 dt dv mkvmg 其中 k 0 为比例系数 解得 1 tve k mg m kt 返回返回 答案答案3 2 1 0 a 5 1 rreb rt ttccos6sin4 1025 2 ttd 2 证明 0 2 0 2 txcLdssxscdsscxstcxL tt 21 0 1 2 0 1 2 0 21 2 0 21 2 21 xLxLdsxsdsxsdsxxsdsxxsxxL tttt 3 02222 2 2 2222 tttLtLttLtyL 2 2tt 是方程的解 4 a 设 06 4 2 xtxxtxL n 06126 3333 1 ttttLtL 在 0 上 3 2 tt 显然0 2 tL 在 0 上 3 2 tt 显然06126 333 2 ttttL 所以 1 和 2 在区间 上是方程的解 b 用反证法 假设存在恒等式0 2211 tctc 当时 0 t 21 3 2 3 1 0cctctc 当时 0 t 21 3 2 3 1 0cctctc 而在 时 0 3 2 3 1 tctc 只有0 0 21 cc 11 tt 线性无关 又由 a 1 和 2 是方程的基本解组 c 提示 分别讨论在000 且 q o 或者 p 0 且qp4 2 with DEtools odetest soll eq x t 其中 soll 代表方程的解 eq 代表方程 x t 未确定函数 把题中的函数代入 可以见到 输出的是 0 即是方程的解 17 参见书中例 3 5 1 18 18 1 sin2 2 2 s dt xd m 2 02 0 2 2 b x s dt xd m 3 bm s0 2 0 2 19 提 示 应 用 光 学 原 理c v sin 能 量 守 恒mgymv 2 2 1 可 以 得 到 0 0 1 2 ycyy 且 答案是 cos1 sin ay ax 圆滚线 摆线 返回返回 答案答案4 1 1 1 是线性的 2 是非线性的 3 是非线性的 2 矩阵形式为 t txx 0 99 10 3 4 3 2 1 tx tx tx tx x 5 0 0 0 0 0 1000 0100 0010 2 tx ete tt 初值为 5 4 3 2 1 x 4 代入验证即可 略 5 1 解 令ytyxtxxtx 121 则对应的一阶微分方程组为 3 5 2 2 12 2 2 1 12 1 tytxtx txtx tytxty 初始条件 1 0 0 0 0 0 121 yxx 2 解 令 2121 ytyytyxtxxtx 上述方程对应的方程组为 ttytytxty etytyxxtx tyty txtx t cos 3 2 15 5 6 7 211 2 211 2 2 1 2 1 初始条件为 1 0 0 0 1 0 1 0 2121 yyxx 3 解 令 21321 ytyytyxtxxtxxtx 上述方程对应的方程组为 sin 1 2 1 2 112 2 213 3 3 2 2 1 tyty ttytxtxtty ttytxttxtx txtx txtx 6 解 设 t t dssFxsAxtx 0 0011 t t ds 01 0 01 10 1 0 t t ds 00 1 1 0 1 0 tt 令 t t dssFxsAxtx 0 11022 t t dt tt 0101 10 1 0 0 1 2 22 0 0 0 tt tt tt 令 t t dttt tt tt xtx 01 2 01 10 22 0 0 0 033 t t dt tt tt tt 0 0 22 0 0 1 2 1 0 2 1 6 2 0 0 3 0 tt tt tt 方程组的第三次近似解为 2 1 6 2 0 0 3 0 33 tt tt tt tx 返回返回 答案答案4 2 1 1 2 1 2 1 21 21 tt tt ececy ececx 2 tt tt tt eccecx ececx ececx 32 2 13 3 2 12 2 2 11 3 1sinlncossincossin sinlnsincossincos 21 21 tttttctcy tttttctcx 4 tececy tececx tt tt cos2 sin 21 21 2 1 是 2 是 3 否 3 1 2 222 1 ctyx ctyx 2 2 1 22 ctxy cyx 3 2 22 1 222 2cxxtt ctyx 4 2 1 22 2 ln ctg y x arctg ctfyx 5 1 c t yx xyz c 2 6 2 222 1 c y tyx c t y 7 2 1 cxyz czyx 8 tt tt t ececctcccz ecectcccy eccx 22 22321 2 1 22 2321 2 1 21 2 2 4 参见书中例题 4 2 3 略 5 ttt ttt eececx eececx 2 21 2 211 93 2 返回返回 答案答案4 3 1 证明 1 设存在 21 c c 使得 0 2211 xcxc 即 0 11 2 21 t c t c 可写成 0 11 2 1 2 c ctt 2 2 11 tt tt 0时当 t 0 0 21 2 cctt 若 21 0 xxt则 为同一个向量 21 上是线性无关的在与Rxx 2 由上面的讨论过程知 当0 t时 0 1 n xxw 3 1 与 2 这两种情况能同时发生 因为在 SS 这两向量 若0 t则变为一个向量 2 证明 设存在 2121 cccc且不全为零使得 2 2 1 1 t t t t 与线性相关 即 0 2 2 2 1 1 1 t t c t t c 0 2 1 21 21 c c tt tt 这两个向量线性相关 0 1221 tttt 令 12 tkt 0 k 则 1 21 t k t 21 tt 与线性相关 这与已知相矛盾 这两个线量在任何区间I上都线性无关 3 证明 21 与 在区间I上是线性相关的 存在常数0 k 使得 21 tkt 欲 使 2 2 1 1 t t t t 与线 性 无 关 即 不 存 在 不 全 为0的 常 数 21 c c使 得 0 2 2 2 1 1 1 t t c t t c 即 0 2 1 21 11 c c tt tt 则有 0 1221 21 21 tttt tt tt 即 0 122 ttkt 0 1 2 1 22 t t t tt 且当时 即满足要求 4 带入验证是显然成立的 略 5 0 11 xa 1 12 xa 1 21 xa 22 xa0 6 提示 把 0 1 t 乘到右侧 利用CtAt exp 即可证明 7 该微分方程组为 y x y x 12 10 8 1 验证略 2 tte ttet x t t sin 5 1 cos 5 1 5 1 cos 25 2 sin 25 1 1527 25 1 2 2 9 x tt ttt tee ettee 22 2222 2 1 10 提示 求出方程解 注意在题目的条件下 极限和积分可以交换的 返回返回 答案答案4 4 1 1 Ttt eetx 2 1010 1 Ttt eetx 2 3 33 2 2 TttTtt eetxeetx 2 44 21 3 TttTtt eetxeetx 4 22 21 4 TttTtt eetxeetx 2 33 2 22 1 5 TttttTtt teeteetxeetx 2 3 21 6 TttTtt eetxeetx 3 22 2 22 1 7 TttT eetxtx 2 1 33 21 8 TttttTtt teeteetxeetx 2 21 9 21 2cos22sin 2 sin 2sin22cos 2 cos TT ttttxttttx 10 TttTtt tetetxtetetx cos sin sin cos 22 2 22 1 2 1 特征值如下 2 5 1 3 2 1 2 51 3I 1 3M 2 1 2 51 3I 1 3M 矩阵略 2 tt tt tt ete et ete t 33 33 33 1 1 21 24 2 4 3 tt tt ttt ee ee eee t 2 2 22 0 0 4 100 10 2 1 2 t t t t 5 ttt t ttt eee e eee t 44 4 44 00 22 6 ttt t tt eee e ee t 22 2 8 00 0 3 1 提示 特征方程是0 1 2 利用定理4 17求 2 002 0203 020 2030 103 103 103 103 tt tt tt tt ee ee ee ee 4 证明 1 2 2 exp exp 22 2 2 22 1 121 Ac AcE Ac AcEAxAc 2 2 1 22 221 22 121 AcAAccAcAcAcE 由二项式定理及 AAAA 得 2 2 1 exp 22 221 22 12121 AcAAccAcAcAcEAcAc 比较二式得 exp exp exp 2121 AcAcAcAc 2 由 1 kAAAA ee k 个 kAAAAAAAA eeeeee k 个 kAA k exp exp 5 解 0 22 2 exp k kkkk k tA k tAtA AtEAt AA 2 223 AAAA AAAAA kk134 0 11 2 2 exp k k k k k t k A t k A t A AtEAt 6 1 验证略 2 1 0 00000 00000 00000 00000 0000 expEe k t At t k k 其中 00000 00000 00000 00000 00001 1 E 7 参见书中例 4 3 5 略 8 1 t tttt tt 3cos33sin23sin33cos2 3sin3cos ttt ttt At 3cos3sin 3 2 3sin 3 7 3sin 3 1 3sin 3 2 3cos exp 2 t tt tt ee ee 5 5 2 tttt tttt eeee eeee At 55 55 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 exp 3 ttt t tt eee e ee 22 2 8 00 0 ttttt t ttt eeeee e eee At 2222 22 78 00 0 exp 4 9 程序如下 第一题的 其余类似 diffeq11 diff x t t x t 2 y t diffeq12 diff y t t x t y t syslg dsolve diffeq11 diffeq12 x t y t inits1 x 0 0 y 0 1 syslp dslove diffeq11 diffeq12 inits1 x t y t 返回返回 答案答案4 5 1 1 t tt ecectx tt 2 1 1 4 1 1 2 3 2 2 1 2 tx 10 1 2 1 2 3 2 2 1 t tt ecec tt 3 12cos 2sin 2sin 2cos 21 t t t c t t ctx 4 t t ee t t ecectx tttt 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 21 5 1 1 361 4 2511 1 2 4 2 4 1 tt tt ee e t t cectx 6 1 0 cos sin cos sin cos sin 0 1 1 321 t t t t c t t t cectx t 7 tt tt tt ttt ee ee ee ececectx 3 3 3 2 3 2 2 4 1 4 1 2 1 2 20 7 6 1 2 20 3 6 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 8 1 32 0 0 1 0 1 2 2 2 32 2 1 t t tt ece t cet t ctx ttt 2 1 tt tt tt ee ee ececx 22 4 1 1 1 3 3 3 2 2 4 1 2 t t tt et te ececx 1 4 1 1 1 4 3 2 2 1 3 ttt e t t ececx 68 1312 2 1 1 2 3 2 2 1 4 ttt e t t ececx 1 3 5 12 3 5 12 2 1 1 1 1 5 21 5 t t tt e e ececx 4 3 3 2 4 1 3 1 1 1 2 2 2 1 6 t t t tt tt tt c tt tt tt ccx 2 3 cos2sin7 cossin3 cos4sin9 cos7sin2 cos3sin cos9sin4 1 2 3 321 7 tttt e t t t ecececx 2 3 2 1 0 2 2 3 2 0 1 1 3 32 2 1 3 1 13 12 3 2 2 1 3 2 2 1 tt tt ececy ececx 2 我们给出程序如下 sysode sysode sysode D x t 4 x t 9 y t 4 z t 1 13 t D y t x t 10 y t 7 z t 3 15 t D z t x t 17 y t 12 z t 2 26 t sysode D xt 4 x t9 y t4 z t113 t D yt x t10 y t7 z t315 t D zt x t17 y t12 z t226 t dsolve sysode x t y t z t explicit 3 2 20 7 3 2 6 1 12 13 15 1 2 20 7 3 2 6 1 12 13 15 1 322 322 ttttt ttttt eeeeey eeeeex 4 本题只能化成非奇次线性微分方程 提示 dx dt dt dy dx dy 5 y t 1 2 1 6 2 e ete ette ett2 Ei 1 t t36 C26 C3 t36 C1 t z t 1 2 1 6 e ett2 e et Ei 1 t t3e ett26 C3 t36 C1 t x t 1 2 1 6 4 e ete ette ett2 Ei 1 t t36 C26 C3 t3 t 6 程序参见书中例 4 5 6 返回返回 答案答案4 6 1 2 2 2 2 y x Rmg dt yd m R dt xd m 其中 R x Ry分别是阻力 R 在 x 轴 y 轴方向的向量 初始条件为 x 0 0 y 0 0 x 0 0 0 0 yv 解方程得 2 1 2 2 0 2 t m R gy tvt m R x y x 2 提示 对每一个物体分别做平衡分析 利用 2 2 a dt xd 加速度 3 1 x 80t y 80 2 163tt 2 射程 4003 639 尺 最大速度 300 尺 飞行时间 8 66 秒 3 2 秒末的位置是 60 213 4 秒末的位置是 320 298 2 秒末的速度大小为 109 尺 秒 4 秒末的速度为 80 7 尺 秒 4 520 1 520 2 32 34 tt tt Iee Iee 稳压电流是 3 安培 5 11 1 23 21 1 2 31 1 3 11 1 1 IER I LL IER I L IER I L 提示 每个回路分别考虑 应用基尔霍夫第二定律 注意通过电感的电压降是 dt dI L 返回返回 习题习题4答案答案 1 1 正确 2 错误 3 正确 4 错误 2 验证略 3 Axx 1144 1879 381416 A 4 证 明 设 i x是 基 本 解 组 的 第i个 列 向 量 iii xtAxtAx 21 0 21 i xtAtA 而 i x是任意的 所以 21 tAtA 5 对于满足微分系统的解 x 都可以表示为 tctx 则 kTtckTtx Axx kTtkTtAkTttAkTt 即证得 kTt 也是微分方程组的基本解组 2 代入即可证得 6 提示 常数变异法 7 20 12 4 3 2 t t t t c y x 8 ttt ectxetcctxetctcctx 33322 2 3211 22 2 1 9 提示 应用公式dttftttx 1 求特解 t 是基解矩阵 10 提示 从第一个方程解出 y 代入到第二个方程 即变为二阶常系数线性方程 可以