2.8 运载体的加速度与比力方程.pdf

2 8 运载体的加速度与比力方程 2 8 运载体的加速度与比力方程 1 绝对加速度的表达式 1 绝对加速度的表达式 当动点的牵连运动为转动时 动点的绝对加速度a r 应等于相对加 速度 r a r 牵连加速度 e a r 与哥氏加速度 c a r 的矢量和 即 ker aaaa rrrr 就是一般情况下的加速度合成定理 当运载体在地球表面附近航行时 运载体一方面相对地球运动 另一方面又参与地球相对惯性空间的牵连转动 此运载体的绝对加速 度也应是上述三项加速度的矢量和 i x i y i z R r 0 R r r r q e x e y e z 太阳地球 图 1 动点q的位置矢量 设在地球表面附近航行的运载体所在点为q 它在惯性参考系 iiii zyxo中的位置矢量为R r 在地球坐标系 eeee zyxo 其原点取在地心 e z轴沿极轴 地轴 方向 e x轴在赤道平面与本初子午面的交线上 e y 也在赤道平面内并与 e x e z轴构成右手直角坐标系 中的位置矢量为 r r 而地心相对日心的位置矢量为 0 R r 有 rRR 0 r rr 对上式对时间求一阶导数 i ii dt rd dt Rd dt Rd v rr 0 根据矢量的绝对导数与相对导数的关系根据矢量的绝对导数与相对导数的关系 可把上式等号右边的第二项 写为 r rr ie e rr rr dt d dt d i 因此得到运载体绝对速度的表达式 r ie e 0 rr v rr dt rd dt Rd dt Rd ii 上述各式中竖杠的角注 i 表示相对惯性参考系而言 角注 e 表示相对 地球坐标系而言 ie r 为地球相对惯性空间的角速度 各项所代表的物理含义如下 i dt Rd r 位置矢量R r 在惯性参考系中的变化率 代表运载体相对惯 性空间的速度 即运载体的绝对速度 e r dt dr 位置矢量r r 在地球坐标系中的变化率 代表运载体相对 地球的速度 即运载体的相对速度 它是重要的导航参数之一 i 0 R dt d r 位置矢量 0 R r 在惯性参考系中的变化率 代表地球公转 引起的地心相对惯性空间的速度 它是运载体牵连速度的一部分 r ei rr 代表地球自转引起的牵连点相对惯性空间的速度 它 是运载体牵连速度的又一部分 将上式对时间求一阶导数 得 r dt d dt rd dt rd i ie i ie e 2 0 2 2 2 r rr r r rr iii dt Rd dt Rd r dt d dt rd dt rd i ie i ie e ie e 2 2 2 0 2 r rr r r r v r dt rd dt Rd i r dt rd dt rd ie e ie i ie rrr r r r r ie 而地球相对惯性空间的角速度 ie r 可以精确地看成是常矢量 即 0dtd i ie r 由此得到运载体绝对加速度的表达式 r dt rd 2 ie e ie e 2 2 2 0 2 2 2 rrr r r r rr ie ii dt rd dt Rd dt Rd 式中 i dt Rd 2 2 r 运载体相对惯性空间的加速度 即运载体的绝对加 速度 e 2 2 dt rd r 运载体相对地球的加速度 即运载体的相对加速度 i dt Rd 2 0 2 r 地球公转引起的地心相对惯性空间的加速度 它是运 载体牵连加速度的一部分 r ie rrr ie 地球自转引起的牵连点的向心加速度 它是运 载体牵连加速度的又 部分 e ie dt rd 2 r r 运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互 影响而形成的附加加速度 即运载体的哥氏加速度 2 比力方程2 比力方程 惯性导航是通过测量运载体的加速度 并经数学运算而确定运载 体即时位置的一种导航定位方法 在惯性导航系统中 加速度这个物 理量的测量是由加速度计实现的 加速度计的工作原理是基于经典的牛顿力学定律 其力学模型如 图所示 敏感质量 质量设为 m 借助弹簧 弹簧刚度设为 k 被约束在 仪表壳体内 并且通过阻尼器与仪表壳体相联 当沿加速度计的敏感 轴方向无加速度输入时 质量块相对仪表壳体处于零位 见图中 a 当安装加速度计的运载体沿敏感轴方向以加速度a r 相对惯性空 间运动时 仪表壳体也随之作加速运动 但质量块由于保持原来的惯 性 故它朝着与加速度相反方向相对壳体位移而压缩 或拉伸 弹簧 见图中 b 当相对位移量达一定位时 弹簧受压 或受拉 变形所 给出的弹簧力 A kx A x为位移量 使质量块以同一加速度a r 相对惯性 空间运动 在此稳态情况 有如下关系成立 makxA 或 a k m xA 即稳态时质量块的相对位移量 A x与运载体的加速度a r 成正比 图 2 加速度计的力学模型 然而 地球 月球 太阳和其它天体存在着引力场 加速度计的测量 将受到引力的影响 图 3 引力对加速度计测量的影响 先不考虑运载体的加速度 设加速度计的质量块受到沿敏感轴方 向的引力Gm r G r 为引力加速度 的作用 则质量块将沿着引力作用 方向相对壳体位移而拉伸 或压缩 弹簧 当相对位移量达一定值时 弹簧受拉 或受压 所给出的弹簧力 G kx G x为位移量 恰与引力Gm r 相平衡 在此稳态情况 有如下关系成立 mGkxG 或G k m xG 即稳态时质量块的相对位移量 G x与引力加速度 G 成正比 可以看出 沿同一轴向的a r 矢量和G r 矢量所引起的质量块位移方向 正好相反 综合考虑运载体加速度和引力加速度的情况下 在稳态时 质量块的相对位移量为 Ga k m x r rr 即稳态时质量块的相对位移量x r 与 Ga r r 成正比 阻尼器则用来阻尼 质量块到达稳定位置的振荡 阻尼器则用来阻尼 质量块到达稳定位置的振荡 借助位移传感器可将该位移量变换成电 信号 所以加速度计的输出与 Ga r r 成正比 例例 在地球表面附近 把加速度计的敏感轴安装与运载体 如火箭 的纵轴平行 当运载体以g r 5 g r 为重力加速度 的加速度垂直向上运 动 即以ga rr 5 沿敏感轴正向运动时 因沿敏感轴负向有引力加速度 gG r r 故质量块的相对位移量为 g m k gg m k x6 5 当运载体垂直自由降落 即ga rr 沿敏感轴正向运动时 因沿敏感 轴正向有引力加速度gG r r 故质量块的相对位移量为 0 gg m k x 在惯性技术中 通常把加速度计的输入量 Ga r r 称为 比力 现在说明它的物理意义 这里作用在质量块上的外力包括弹簧力 弹 F r 和引力Gm r 根据牛顿第二定律 可以写出 amGm r rr 弹 F 移项得 Gmam r r r 弹 F 再将上式两边同除以质量 m 得到 Ga F r r r m 弹 令 m 弹 F f r r 则得 Gaf r r r 由此可知 比力代表了作用在单位质量上的弹簧力 比力的大小 与弹簧变形量成正比 胡克定律 而加速度计输出电压的大小是与 弹簧变形量成正比 所以加速度计实际感测的量并非是运载体的加速 度 而是比力 也因此 加速度计又称比力敏感器 作用在质量块上的弹簧力与惯性力和引力的合力恰好大小相等 方向相反 于是又可把比力定义为 作用在单位质量上惯性力与引力 的合力 或说矢量和 有与加速度相同的量纲 附录 矢量的绝对导数与相对导数之间的关系 1 x 2 x 3 x r i r 基 1 x 2 x 3 x O O i v 基 tA 图 变矢 tA绝对导数与相对导数 设动坐标系沿静坐标系的 3 x轴转动 tA为变矢 tA可记为 AiAAAiiiA T rr 321321 下横线表示标量矢 也可记为 AiAAAiiiA T rr 321321 下横线表示标量矢 变矢的绝对导数为 AiAAAiii t A dt Ad T t r rr lim 321321 0 变矢的相对导数为 AiAAAiii t A dt Ad T t r rr lim 321321 0 注意基矢在动系为常向量 其对时间的变化率为 0 变矢 tA对时间t的导数 dt tdA 为一新变矢 此新变矢为变矢 tA端点的速度u r 即 u dt Adr r 点的速度是位置矢量r r 端点沿位矢端图的速度 在时间间隔t 内 点的位置由位置P运动到位置P 其位矢改变 量 trttrr r r dt rd t r v t r rr r 0 lim x y z P P P r r r r r r 图 位矢端图 而点的加速度a r 则是速度矢量v r 端点沿速度端图的速度 x y z 0 v r 1 v r 1 v r av a r a r 图 速度端图 具体推导过程如下 Ai rr A A dt i d dt Ad i dt Ad r rr r r Ai dt Ad r v r Ai dt Ad r v r A dt Ad r r 注意 由于 321 iii rrr 对于定系为变矢 绝对导数不为 0 dt i d r dt i d 1 r dt i d 2 r dt id 3 r dt i d 1 r dt i d 2 r dt id 3 r 分别是单位矢 1 i r 2 i r 3 i r 端点沿其端图的速度 又因为 321 xxxO 沿固定轴 3 x转动 所以 要求 出 dt i d 1 r dt i d 2 r dt id 3 r 实际上相当于求动坐标系 321 xxxO 所表示的刚体 上三个相关点的速度 3 3 2 2 1 1 类速度 i dt i d i dt i d i dt i d r r r r r r r r r 泊淞公式 1 x 2 x 3 x r i r 基 1 x 2 x 3 x O O i v 基 1 i r2 i r3 i r x y Z P r r r P 图 刚体上一点的速度 PP rv rvr 这是真实的速度 矢径随时间的变化率 而变矢量随时间的变化 率则是类速度 讨论 1 变矢 tA在动系中为常矢 若变矢 tA在动系中为常