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立方和公式a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2）折叠立方差公式a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2）折叠3项立方和公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)推导过程：a3+b3+c3-3abc=(a3+3a2 b+3ab2+b3+c3）-（3abc+3a2 b+3ab2）=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+2ab-ac-bc+c2）-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)文字表达折叠立方和，差公式两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）折叠3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍公式证明迭代法：我们知道：0次方和的求和公式N0=N 即10+20+.+n0=n1次方和的求和公式N1=N(N+1）/2 即11+21+.+n1=n(n+1）/22次方和的求和公式N2=N(N+1）（2N+1）/6 即12+22+n2=n(n+1）（2n+1）/6平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）3-x3=3x2+3x+1，迭代即得。取公式：（X+1）4-X4=4X3+6X2+4X+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出：（N+1）4-N4=4N3+6N2+4N+1N4-(N-1）4=4(N-1）3+6(N-1）2+4(N-1）+1（N-1）4-(N-2）4=4(N-2）3+6(N-2）2+4(N-2）+124-14=413+612+41+1（n).于是+(n）有左边=(N+1）4-1右边=4（13+23+33+N3）+6（12+22+32+N2）+4（1+2+3+N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入4（13+23+33+N3）+6（12+22+32+N2）+4（1+2+3+N)+N=(N+1）4-1得4（13+23+33+N3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N4+4N3+6N2+4N移项后得 13+23+33+N3=1/4 (N4+4N3+6N2+4N-N-2N2-2N-2N3-3N2-N)等号右侧合并同类项后得 13+23+33+N3=1/4 (N4+2N3+N2）即13+23+33+N3= 1/4 N(N+1）2大功告成！立方和公式推导完毕13+23+33+N3= 1/4 N(N+1）22. 因式分解思想证明如下：a3+b3=a3+a2b+b3-a2b=a2(a+b)-b(a2-b2）=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)a2-b(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2）公式延伸正整数范围中 13 + 23 + n3 = n (n+1） / 22=（1+2+n)2几何验证透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：x3+y3把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：（x+y)3要得到x3+y3，可使用（x+y)3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：xy（x+y)x（x+y）y（x+y）xy把三个部分加在一起，便得：=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)=3xy(x+y)之后，把（x+y)3减去它，便得：=(x+y)3-3xy(x+y）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=(x+y)(x+y)2-3xy（x+y)2可透过和平方公式，得到：=(x+y)(x2+ 2xy+y2-3xy)=(x+y)(x2xy+y2）这样便可证明：x3+y3=(x+y)(x2 xy+y2） 关于因数一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3，mk,k+2，则13+m13+m23+m33+mk3+(k+2）3=（1+m1+m2+m3+mk+k+2）2我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。比如120，有因数1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16