符号函数在积分运算中常见的错误分析_胡其明.pdf

收稿日期 基金项目 年贵州省黔西南州科技计划自筹资金项目 民族地区普通高校高等数学教学内容的优化与教学方 法的创新 第 卷第 期大 学 数 学 年 月 符号函数在积分运算中常见的错误分析 胡其明 兴义民族师范学院 数学科学学院 贵州 兴义 摘 要 符号函数 是数学分析中一个特殊的分段函数 在积分运算中 经常被误认为是常值函数 被提到积分符号的前面 从而导致结果错误 本文将通过具体的例子来分析常见的错误 关键词 符号函数 积分运算 绝对值 错误 分析 中图分类号 文献标识码 文章编号 数学分析中符号函数定义为 烅 烄 烆 于是 在数学分析教材和数学分析习题集中 经常要计算含有绝对值的不定积分或定积分 有些人为了避 免去掉绝对值的讨论 利用式子 并将 复合而成的 符号函数 作为 常值函数提到积分符号前面 从而导致许多错误的发生 这样的错误例子不仅随处可见 而且还出现在 某些著名的习题集的解答中 甚至有不少人还将 有条件 才成立的式子 作为含有绝对值的积分的一种积分方法写成论文公开发表 一 产生错误的原因分析 例 计算不定积分 一方面 不定积分可以变形为 另一方面 可以直接计算出不定积分 烅 烄 烆 把上述函数记为 因为 要在点 处连续 所以由 且 有 从而 烅 烄 烆 烅 烄 烆 烅 烄 烆 将上述 与 两个式子结合起来 有 式子 给人产生一种错觉 误认为任何符号函数 都是常值函数 可以提到不定积分符号 的前面 确实 在该例中 很容易证明 是 在 上的一个原函数 说明式子 是正确的 实际上 式子 成立是有条件的 二 典型的错误例子 例 槡 槡 例 例 例 槡 槡 槡 槡 三 错误例子分析 原函数存在的充分条件与必要条件 原函数存在的充分条件 若函数 在区间 连续 则 在区间 一定存在原函数 原函数存在的必要条件 若函数 在区间 存在原函数 则 在区间 没有第一 类间断点 错误原因分析 在例 中 因为被积函数 槡 在区间 上连续 若结论正确 则原函 数 在区间 上可导 然而 函数 在点 处却不连续 例如 当 时 因为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 所以 从而 在点 处不连续 正确解法 大 学 数 学 第 卷 解法 槡 槡 槡 槡 槡 当 即当 时 槡 槡 槡 当 即当 时 槡 槡 槡 所以 槡 槡 槡 烅 烄 烆 显然 应在 上连续 特别地 当 时 槡 槡 槡 槡 由 推出 槡 故 槡 槡 槡 槡 烅 烄 烆 解法 在同一个坐标系中 结合函数 与 的图象进行讨论 因为 槡 当 时 当 时 所以 槡 烅 烄 烆 显然 应在 上连续 特别地 当 时 槡 第 期 胡其明 符号函数在积分运算中常见的错误分析 槡 由 推出 槡 故 槡 槡 烅 烄 烆 对于例 可以类似于例 的解法 很容易证明 在点 处不连续 并且可以类似的求出正确的结论 烅 烄 烆 对于例 下面将证明符号函数 在任何以 为内点的区间上不存在原函数 为方便 仅证明符号函数 在区间 上不存在原函数 若存在原函数 使得 则根据拉格朗日中值定理 有 从而 在点 处不可导 与 矛盾 故符号函数 在区间 上不存在原函数 注 实际上 是符号函数 的第一类间断点 根据原函数存在的必要条件 当然不存在原 函数 例 错误的原因 是将符号函数 在整个积分区间 作为常值函数提到积分符号的 前面所造成的 正确解法 槡 槡 槡 槡 四 绝对值函数与符号函数的进一步探讨 绝对值函数与符号函数的导数 显然 符号函数 仅在 处不可导 当 时 从而 当 时 若函数 满足下列条件 称为条件 在其定义域 中的任何区间内不恒为零 只有有限个或可数个间断点 且这些间断点无聚点 则 不存在 从而 当 时 绝对值函数与符号函数的不定积分 若函数 在 上连续 且满足条件 设 当 在 内的零点最多只有一个 并且 满足条件 时 则 在 不定积分中可以视为常值函数提到积分符号的前面 大 学 数 学 第 卷 证 若 没有零点 则 显然成立 若 在 内只有一个零点 则因为 在 上连续 所以可进一步假设 当 时 当 时 从而 烅 烄 烆 当 时 当 时 当 时 因为 所以 在 处可导 并且 从而 烅 烄 烆 即 是 在 上的一个原函数 注 在例 中 虽然 是 的唯一零点 但是 不满足条件 所以 并不是函数 槡 在 上的原函数 当 在 内的零点多于一个时 不妨设这些零点分别为 则当 时 其中 在不同的区间 一般是不同的 为了得出 在整个定义域 上的原函数的统一 表达式 可根据其原函数的连续性 利用 来确定积分常数 与 的关系 若函数 在 上连续 且满足条件 当 在 内的零点最多有一个时 式子 的一般情形 参 考 文 献 薛宗慈 曾昭著 匡荣雨 陈平尚 数学分析习作课讲义 上 北京 北京师范大学出版社 吉米多维奇 数学分析习题集 北京 人民教育出版社 费定晖 周学胜 数学分析习题集题解 三 济南 山东科学技术出版社 侯康宁 符号函数在数学分析中的应用 四川师范学院学报 自然科学版 菲赫金哥尔茨 微积分教程 第二卷第一分册 北京