第3章 中值定理与导数的应用 习题.pdf

1 第 五 节 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点 习 题 3 5 1 判定下列曲线的凹凸性 1 sh yx 2 l 3 1 yx 3 2 1 yx 4 2 1 sin 4 yxx 解 1 ee sh ch sh 2 xx yxyxyx 令0y 可得0 x 且当 0 x 时 0 y 所以曲线shyx 在区间 0 上 是凸的 在区间 0 上是凹的 2 l25 333 12 1 39 yxyxyx 当0 x 时 y 不 存 在 且 当 0 x 时 0 y 又函数 l 3 1yx 在0 x 处连续 所 以曲线 l 3 1yx 在区间 0 上是凸的 在区间 0 上是凹的 3 2 223 1 1 0 1 1 x yxyy xx 所以曲线 2 1yx 在整个 定义域 上是凹的 4 2 111 sin cos sin 422 yxxyxxyx 令0y 可得 2 6 xk 或 5 2 6 xkk Z 当 2 2 6 xkk 时 0 y 当 5 2 2 66 xkk 时 0 y 所 以 曲 线 2 1 sin 4 yxx 在 区 间 5 2 2 2 2 2 66 kkkk 上是凹的 在区间 5 2 2 66 kk上是凸的 2 求下列函数图形的凹凸区间和拐点 1 2 e x y 2 arctan e x y 2 3 e x yx 4 32 1 2 3 yxx 5 2 1 yx x 6 32 25 yxx 解 1 222 2 e 2 e e 24 xxx yyxyx 令0y 可得 2 2 x 当 2 2 x 时 0 y 当 22 22 x 时 0 y 所 以 曲 线 2 e x y 在 区 间 22 22 上 是 凹 的 在 区 间 22 22 上是凸的 拐点为 1 2 2 e 2 和 1 2 2 e 2 2 arctanarctanarctan 22 2 112 e e e 1 1 xxx x yyy xx 令0y 可得 1 2 x 当 1 2 x 时 0 y 当 1 2 x 时 0 y 所以曲线 arctan e x y 在区间 1 2 上是凹的 在区间 1 2 上是凸的 拐点为 1 arctan 2 1 e 2 3 e 1 e 2 e xxx yxyxyx 令0y 可得2 x 当 2 x 时 0 y 所以曲线e x yx 在区间 2 上是凸的 在区间 2 上是凹的 拐点为 2 2 2e 4 322 1 2 2 22 3 yxxyxxyx 令0y 可得1 x 当 1 x 时 0 y 所以曲线 32 1 2 3 yxx 在 区间 1 上是凸的 在区间 1 上是凹的 拐点为 4 1 3 5 22 233 1112 2 22 1 1 yxyxyxxx xxxx 令0y 可 得1 x 当0 x 时 y y 及 y 不存在 当 1 x 时 0 y 当 1 0 x 时 0 y 所 以曲线 2 1 yx x 在区间 1 0 上是凹的 在区间 1 0 上是凸的 拐点 为 1 0 3 6 221 333 2 25 2 25 3 yxxyxxx 144 333 8210 25 21 399 yxxxxx 令0y 可得 1 2 x 当0 x 时 y 不存在 当 1 2 x 时 0 y 又函数 32 25 yxx 在0 x 处连续 所以曲线 32 25 yxx 在区间 1 2 上是凸的 在区间 1 2 上是凹的 拐点为 3 1 3 2 2 3 求下列曲线的拐点 1 23 3 xtytt 2 2 2 cot 2sin xay 解 1 2 3 3 xt ytt 222 23 d333 1d3 1 d22d4 ytyt t xttxt 令 2 2 d 0 d y x 可 得1 t 对应着曲线上两点 1 4 及 1 4 当0t 时 2 2 d d y x 不存在 由于当 1 t 时 1 x 2 2 d 0 d y x 当 1 0 t 时 1 x 当 0 1 t 时 1 x 2 2 d 0 d y x 2 2 d 0 d y x 故 2 2 d d y x 在1t 对 应的1x 两侧邻近处异号 所以 1 4 和 1 4 都是曲线的拐点 当0t 时 对应着曲线上一点 0 0 且曲线上任一点 x y处满足0 x 所以 0 0 是曲线的顶点 不是拐点 2 2 2 cot 2sin xa y 3 2 d4sincos2 sincos d2 csc y xaa 2 42242 222 d11 sin 3cossin sin 34sin d y xaa 令 2 2 d 0 d y x 可得 3 对应着曲线上两点 2 33 32 a及 2 33 32 a 和 0 曲线上无对应点 由于当 3 t 时 2 3 3 x 2 2 d 0 d y x 当 0 3 t 时 2 3 3 x 当 0 3 t 时 2 3 3 x 2 2 d 0 d y x 当 3 t 时 2 3 3 x 2 2 d 0 d y x 故 2 2 d d y x 在 3 对 应 的 2 3 3 x 两 侧 邻 近 处 异 号 所 以 2 33 32 a和 2 33 32 a 都是曲线的拐点 4 试决定 a b c 使 32 yxaxbxc 有一拐点 1 1 且在0 x 处有极大 值1 解 依题有 1 1 0 0 1 0 y y y 于是可得方程组 11 0 620 abc b a 解之可得 3 0 1 a b c 从而可知 32 31 yxx 5 试决定 22 3 yk x 中k的值 使曲线在拐点处的法线通过原点 解 22 4 3 12 1 12 1 1 ykx xyk xk xx 令0y 可得1 x 显然当0k 时 y 在1x 两侧邻近处异号 因此 1 4 k和 1 4 k 都是曲线的拐 点 而曲线在 1 4 k及 1 4 k 处的法线方程分别为 11 4 1 4 1 88 ykxykx kk 要使曲线在拐点处的法线通过原点 则应有 1 4 8 k k 即 2 8 k 6 证明 曲线 2 1 1 x y x 有三个拐点位于同一直线上 解 2322 222323 212 331 2 1 41 1 1 1 xxxxxxxx yy xxx 令0y 可得1 23xx 及23 x 因 为 当 1 x 时 0 y 当 23 23 x 时 0 y 所以曲线 2 1 1 x y x 有 5 三个拐点 它们是 13 1 1 23 4 AB 和 13 23 4 C 由于直线 AB BC的斜率分别为 133 1 11 42 442312 3 ABBC kk 从而可知曲线 2 1 1 x y x 的三个拐点位于同一条直线上 该直线的斜率为 1 4 7 利用函数图形的凹凸性 证明下列不等式 1 1 0 0 1 22 nnn xy xyxyxy n 2 2 ee e 2 x y xy xy 证 1 令 n f xx 其中1 n 则 12 1 nn fxnxfxn nx 显然当 0 x 时 0 fx 因 此 曲 线 n f xx 在 区 间 0 上 是 凹 的 从 而 对 0 0 xyxy 有 1 22 xy ff xf y 2 令 e x f x 则 e0 x fx 因此曲线 n f xx 在整个定义域 上是凹的 从而对 xyxy RR 有 2 ee e 2 x y xy 8 设 函 数 y f x在 点 0 xx 的 某 邻 域 内 具 有 三 阶 连 续 导 数 如 果 0 0 fx 0 0 fx 而 0 0 fx 试问点 0 xx 是否为极值点 又 00 xf x是 否为拐点 为什么 解 将函数 y f x在 0 xx 处展成带有皮亚诺余项的三阶泰勒公式 有 233 00000000 11 2 3 f xf xfxxxfxxxfxxxo xx 6 33 0000 1 3 f xfxxxo xx 不妨设 0 0 fx 则当x在 0 x处的左侧邻近处取值时 由于 0 0 xx 所