第6章 定积分的应用 习题 6- (1).pdf

1 第六章 定积分的应用 第 二 节 定 积 分 的 几 何 应 用 习 题 6 2 1 写出下图中各画斜线部分的面积的积分表达式 解 a 3 2 1 2 3 dAxxx b 1 0 ee d x Ax c 12 01 2 d 2 dAxxxxx 或 2 0 d 2 y Ayy d 3 2 0 3 cos d 2 Axxx e 1 0 arcsin dAx x 或 2 0 1sin dAyy x y 2 yx 23yx O 3 a x e exy y O b x 2 y 2yx yx O c cosyx y x 3 2 yx O d x 3 yx 2 2 yx y O f x e arcsinyx O1 y 2 f 12 32 01 d 2 dAxxxx 或 1 3 0 2 dAyyy 2 求由下列各曲线所围成的图形的面积 1 1 y x 与直线yx 及2x 2 2 yx 与 2 yx 3 2 6yx 与直线32yx 4 2 24yx 与 2 yx 5 exy e x y 与直线1x 6 lnyx y轴与直线lnya ln 0 yb ba 解 1 1 y x 与直线yx 及2x 所围图形见 图6 1阴影 由 1 yx y x 得两曲线的交点 1 1 故所求面积为 2 2 2 1 1 13 ln ln2 22 x Axdxx x 2 2 yx 与 2 yx 所围图形见图6 2阴影 由 2 2 yx yx 得两曲线的交点 0 0 和 1 1 故 所求面积为 3 1 23 1 2 0 0 211 d 333 Axxxxx 3 2 6yx 与直线32yx 所围图形见 图6 3阴影 由 2 6 32 yx yx 得两曲线的交点 3 3 和 1 5 故所求面积为 3 2 1 6 32 dAxxx O x y 2 6yx 32yx 图6 3 O 图6 1 2x 1 y x x yx y 2 yx y O 2 xy 图6 2 x 3 3 232 3 1 1 132 32 d 3 33 xxxxxx 4 2 24yx 与 2 yx 所围图形见图6 4 由 2 2 24 yx yx 得两曲线的交点 4 2 和 4 2 故所求面积为 22 222 22 24 d 4 dAyyyyy 2 2 0 2 4 dyy 3 2 0 132 2 4 33 yy 5 exy e x y 与直线1x 所围图形 见图6 5 故所求面积为 1 11 0 0 ee d ee ee2 xxxx Ax 6 lnyx y轴与直线lnya ln 0 yb ba 所围图形见图6 6 故所求面 积为 ln ln ln ln e d e b yyb a a Ayba 3 求抛物线 2 43yxx 及其在点 0 3 和 3 0 处的切线所围成的图形的 面积 解 因为 24 yx 所以 0 4 y 3 2 y 故抛物线 2 43yxx 在点 0 3 处的切线方程 为43yx 在点 3 0 处的切线方程为26yx 所围图形见图6 7 由 26 43 yx yx 得两曲线的交点 3 3 2 故所求 面积为 3 2 2 0 43 43 dAxxxx 3 2 3 2 26 43 dxxxx 3 3 22 2 3 0 2 9 d 3 d 4 xxxx x y O 2 43yxx 3 3 3 2 26yx 43yx 图6 7 图6 4 y 2 24yx x 2 yx y 1x 图6 5 Ox exy e x y x 图6 6 O y lnya lnyb lnyx 4 4 求下列各曲线所围成的图形的面积 1 2 cosa 2 33 cos sin xatyat 3 2 2cos a 解 1 由图6 8知所求面积为 2222 222 222 11 d 2 cos d2cosd 22 Aaa 222 22 22 1 1cos2 d sin2 2 aaa 2 参考图6 9知所求面积为 0 33242 2 0 2 4sin d cos 12sin cos dAatatatt t 2462 22 00 3 12 sin dsin d 8 at tt ta 3 由0 求得2 2cos a 的定义域为 2 0 故所求面积为 2 2 222 00 1 d2 2cos d 2 Aa 2 22 0 2 44coscos da 2 2 0 1cos2 2 44cos d 2 a 2 22 0 98coscos2 d18 aa 5 求由摆线 sin 1cos xa ttyat 的一拱 02 t 与横轴所围成的 图形的面积 解 所求图形 见图6 10 的面积为 2 2 00 d 1cos d sin a Ay xata tt 2 22 0 12coscos dattt 2 2 0 1cos2 12cos d 2 t att 22 2 0 31 2sinsin2 3 24 attta 6 求双纽线 22cos2 a 见右图 所围成的平面图形的面积 解 根据图形的对称性知所求面积为 x 2a y O 2 cosa 图6 8 22cos2 a y x O a y x a a a O y asin3t x acos3t 图6 9 cos 1 cos x a t t y at 图6 10 y x O 2 a 5 22 44 00 1 4d2cos2 d 2 Aa 22 4 0 sin2 aa 7 计算阿基米德螺线 0 aa 上相应于 从0变到2 的一段弧与极轴所 围成的图形的面积 解 所围图形见图6 11 故所求面积为 2 2 2 22 00 1 dd 22 a Aa 23 2 23 0 114 233 aa 8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 1 2 与4cos 2 2sin 与 2 cos2 解 1 由 2 4cos 得两曲线交点的极坐标为 2 3 和 2 3 故由对称性 并参考图6 12知所求面积为 22 2 3 0 3 11 2 2 d 4cos d 22 A 2 22 33 44 16cosd 8 1cos2 d 33 2 3 414 8 sin2 2 3 323 2 由 2 2sin cos2 得两曲线交点 M的极坐标为 2 26 由 2 cos20 求 得 4 为其在第一象限的根 参考图6 13知 所求面积为 12 2 AAA 2 4 6 0 6 11 2 2sin dcos2 d 22 Ox y 2 4cos 图6 12 2 cos2 O 图6 13 y 2sin M x x 图6 11 a 2 a O 6 4yx 4 6 0 6 1cos2 dcos2 d 64 0 6 11 13 sin2 sin2 2262 9 求位于曲线exy 下方 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图 形面积 解 设切线方程为ykx 它与曲线exy 相切于点 00 M xy 则有 0 0 00 0 0 e e x x ykx y y xk 求得 0 0 1 e e x y k 取x为积分变量 用y轴将指定的 图形分成左右两部分 见图6 14 来计算 面积 故所求面积为 01 02 1 0 0 1e e d ee d e ee 22 xxxx Axxxx 10 求由曲线 1 y x 直线4yx 及2x 所围成的平面图形的面积以及该图形 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 解 在第一象限内 由 1 4 y x yx 得两曲线的 交点 1 2 2 参考图6 15知所求面积为 2 22 1 1 2 2 115 4 d 2ln 2ln2 2 Axxxx x 所求体积为 22 22 11 22 1 4 d dVxxx x 3 22 11 22 16 81 32 x x 11 求由曲线sin 0 yxx 直线 1 2 y 及x轴所围平面图形分别绕x轴 和y轴旋转一周所得旋转体的体积 解 所围平面图形见图6 16 取x为积分变量 则绕x轴旋转一周所得旋转体的 体积为 图6 15 O2x 1 y x x y x exy 图6 14 eyx y O 7 22 6 0 1 2 sind 2 26 Vx x 22 2 66 00 2 sind 1cos2 d 66 x xxx 22 6 0 sin2 3 2634 x x 取y为积分变量 则绕y轴旋转一周所得旋转 体的体积为 11 22 22 00 arcsin d arcsin dVyyyy 1 2 2 0 2 arcsin dyy 1 1 32 2 2 0 02 1 2 acsin d 2 1 y yyy y 1 1 32322 2 2 0 02 11 2 d 2 1 33 1 y yy y 32 1 23 3 12 求由星形线 222 333 xya 所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 解 该旋转体的体积等于图形位于第一象限的部分绕x轴旋转所得旋转体的体 积的2倍 星形线的方程可写成 22 23 33 yax 所求旋转体的体积为 22 23 33 00 2 d2 d aa Vyxxaxx 4242 22 3333 0 2 33 d a aa xx axx 4572 3 23 3333 0 9932 2 573105 a x a xa xx aa 13 用积分方法证明右图中球缺的体积为 2 3 H VHR 证 该球缺可看成是由圆 222 xyR 所围成的 位于RHyR 的部分绕y轴旋转而成的旋转体 其体积为 222 d d RR R HR H VxyyRyy 23 1 3 R R H R yy 3323 11 33 RRRRHRH y H x R O 5 6 y 6 x O y x 1 2 y 图6 16 y sinx 8 2 3 H HR 14 求圆盘 222 xya 绕 0 xb ba 旋转一周所成旋转体的体积 解 如图6 17所示 所求旋转体的体积等于平面图形ABCDE和ABFDE分别绕 xb 旋转所成的旋转体的体积之差 左 右半圆的方程分别为 22 xay 和 22 xay 其上各点距xb 的距离分别为 22 bay 和 22 bay 于是所 求旋转体的体积为 222222 d d aa aa Vbayybayy 22 4 d a a bayy 由于 22d a a ayy 表示半径为a的右半圆 的面积 所以 22222 1 d 2 2 a a ayyaVa b 15 证明 由平面图形0 0 axbyf x 绕y轴旋转一周所成旋转体 的体积为 2 d b a Vxf xx 证 参考图6 18 在 a b上任取一小区间 d x xx 相应于这个小区间的曲边梯形为ABCD 由于dx很小 该曲边梯形可近似看成高为 f x的 矩形 它绕y轴旋转所成的旋转体的体积可看成底 面半径分别为dxx 和x 高均为 f x的两个圆柱 体的体积之差 其值为 222 d 2 d xxf xx f xxf xf xx 舍去高阶无穷小 2 dx 求得体积元素d2 dVxf xx 故旋转体的体积为 2 d b a Vxf xx 16 利用两种方法计算由sin 0 yxx 和x轴所围成的图形绕y轴旋转一 周所得旋转体的体积 解 法1 由上题结论知所求旋转体的体积为 x E y D F O b B A 图6 17 a x dx B Oax x b A C D y 图6 18 9 0 00 2 sin d 2 cos 2 cos dVxx xxxx x 2 2 0 2 2 sin 2 x 法2 参考图6 19 取y为积分变量 则绕y轴 旋转一周所得旋转体的体积为 11 22 00 arcsin d arcsin dVyyyy 111 232 000 2 arcsin d d2 arcsin dyyyy y 1 321 0 02 2 acsin d 1 y yyy y 2 2 17 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与地面交成角 见下图 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的 交线为x轴 底面上过圆中心 且垂直 于x轴的直线为y轴 那么 底圆的方程 为 222 xyR 立体中过点x且垂直于 x轴的截面为一个直角三角形 它的两条 直角边的长分别为y及tany 即 22 Rx 及 22 tanRx 因而截面积为 22 1 tan 2 A xRx 于是所求立体体积为 2233 111 tan dtan 223 R R R R VRxxRx 3 2 tan 3 R 18 求以半径为R的圆为底 平行且等于底圆直径的线段为顶 高为h的正劈 锥体 见下图 的体积 解 取底圆所在的平面为xOy平面 圆心O为 原点 并使x轴与正劈锥体的顶平行 见图 底圆 的方程为 222 xyR 过x轴上的点x RxR 作 垂 直 于x轴 的 平 面 截 正 劈 锥 体 得 等 腰 三 角 形 这 截 面 的 面 积 为 22 A xh yh Rx 于是所求正劈锥体的体积为 2 2222 2 0 d2cosd 2 R R R h VhRxxR h 19 计算星形线 33 cos sinxatyat y x h O R x y R R O x2 y2 R2 x y O sinyx 1 2 图6 19 y x a a a a O y asin3t x acos3t 10 见右图 的全长 解 由对称性 所求弧长为 22 2 0 4 dsx ty tt 2222 2 0 4 3 cos sin 3 sincos dattattt 2 2 2 0 0 43 sin cos d6 sin 6att tata 20 在摆线 sin 1cos xa ttyat 上求分摆线第一拱成1 3的点的坐标 解 第一拱摆线如图6 20所示 设t从0变化到 0 t 0 02 t 摆线的弧长为 0 s t 则 0 22 0 0 d t s tx ty tt 0 22 0 1cos sin d t atatt 0 2 0 2 1cos d t att 0 0 2 sind 2 t t at 0 0 0 4 cos 4 1 22 t tt aacos 当 0 2 t 时 第一拱的弧长为 2 8sa 由于所求的点分第一拱成1 3 所以摆线上从0到 0 t的弧长为第一拱长的 1 4 由 0 1 2 4 s ts 即 0 1 4 1cos 8 24 t aa 求得 0 2 3 t 故所求点的直角坐标为 233 322 aa 21 求对数曲线lnyx 从1x 到2x