第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (2).pdf

1 第二节 多元函数的偏导数 习题 8 2 1 求下列函数的偏导数 1 22 zax yaxy 2 222 tan zxy 3 xy z yx 4 2 arctan x z y 5 22 ln zxxy 6 ee yx zxy 7 ln 2 yz ux 8 1 yzxy 解 1 22 22 x zayxayaxyay 22 22 y zaxaxyaxaxy 2 22222 2tan sec 2 x zxyxyx 22222 4 tan sec xxyxy 由所给出函数关于自变量 x y的对称性 所以有 22222 4 tan sec y zyxyxy 3 22 111 x y zy yyxx 22 111 y x zx xxyy 4 2 224 2 2 11 1 x y z x yxy y 324 2 2 112 2 1 y xy zx x yxy y 5 1 22 2 22 11 1 2 2 x zxyx xxy 2 2222 1 1 x xxyxy 22 222222 11xyx xxyxyxy 1 22 2 22 11 2 2 y zxyy xxy 2222 y xxyxy 2222 y x xyxy 6 ee 1 ee yxyx x zyy e 1 eee yxyx y zxx 7 1 2 x yz u x 12ln2 2ln2 22 yz yz y yzyz z uz xx 由所给函数关于自变量 y z的对称性 所以有 2ln2 2 yz z yz y u x 注意 常见的错误是遗漏了步骤 yzz y 而得到错误结果 2ln2 2 yz y yz u x 8 求 y z时 用幂函数的导数公式 得 121 1 1 yy x zyxyyyxy 求 y z时 把x暂时看作常数 这时z是关于y的幂指函数 所以 ln 1 ln 1 e e ln 1 1 yxyyxy y xy zxy yxy 1 ln 1 1 y xy xyxy xy 2 求下列函数在指定点处的一阶偏导数 1 1 arcsin x f x yxy y 在点 1 x对x的偏导数 1 x fx 3 2 2 e 1 arctan y y f x yxx x 在点 1 0 的两个偏导数 1 0 x f与 1 0 y f 解 1 法1 因 1 f xx 所以 1 1 x fx 法2 111 1 2 1 x yy fx y xyx y 于是 1 1 1 xxy fxfx y 2 法1 因 2 0 f xx 所以 0 2 x fxx 故 1 0 2 x f 因 1 eyfy 所以 1 ey y fy 故 1 0 1 y f 法2 2 2 11 2 earctan 1 1 y x y fx yxxy y xx x 2 2 11 e 1 1 y y fx yxx y x x 于是 1 0 2 x f 1 0 1 y f 注意 计算偏导数 00 x fxy时 可以利用本题的解法1 将 0 yy 先代入 f x y中 再对x求导 显然 本题如果用解法2 先求 x fx y y fx y 后代入 00 xxyy 的值 则要麻烦多了 3 求曲线 22 1 4 2 zxy y 在点 0 2 2 2 M处的切线关于x轴的倾角 解 根据偏导数的几何意义 2 2 x f就是曲线在点 0 2 2 2 M处的切线关于x 4 轴的斜率 而 2 1 2 2 1 2 xx fx 即斜率tan1k 于是倾角 4 4 设 2222 22 22 1 sin 0 0 0 xyxy xyf x y xy 试证函数 f x y在点 0 0 处连续且偏导数存在 并求出 0 0 x f及 0 0 y f的值 解 因为函数 f x y在点 0 0 的邻域内有定义 且 22 2200 00 1 lim lim sin xx yy f x yxy xy 2 0 1 limsin0 0 0 f 所以 f x y在点 0 0 处连续 又因为 0 0 0 0 0 0 lim x x fxf f x 2 2 200 1 sin 1 limlimsin0 xx x x x x x 0 0 0 0 0 0 lim y y fyf f y 2 2 200 1 sin 1 limlimsin0 yy y y y y y 所以 f x y在点 0 0 处偏导数存在 且 0 0 0 x f 0 0 0 y f 注意 如同一元函数一样 分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求 5 求下列函数的所有二阶偏导数 1 2 cos zaxby 2 esin x zy 3 e xy zx 4 x zy 解 1 2cos 1 sin sin2 x zaxbyaxbyaaaxby 2cos 1 sin sin2 y zaxbyaxbybbaxby 2 cos2 22cos2 xx zaaxbyaaaxby cos2 2 2cos2 xyyx zzaaxbybabaxby 5 2 cos2 2 2cos2 yy zbaxbybbaxby 2 e sinesin xx x zyy ecosecos xx y zyy 2e sin ecos xx xxxyyx zyzzy 2e cos x yy zy 3 ee 1 e xyxyxy x zxyxy 2exy y zx 2 e 1 e 2 e xyxyxy xx zyxyyyxy 22 2ee 2 e xyxyxy xyyx zzxxyxx y 23 e e xyxy yy zxxx 4 ln x x zyy 1x y zxy 2 ln x xx zyy 111 ln 1ln xxx xyyx zzyxyyyxy 2 1 x yy zx xy 6 求下列函数的指定的高阶偏导数 1 ln zxxy xxy z xyy z 2 abc ux y z 6 23 u x yz 3 222 f x y zxyyzzx 1 0 2 xz f及 0 1 0 yz f 解 1 ln ln 1 x y zxyxxy xy 1 xx y z xyx 0 xxy z 1 xy x z xyy 2 1 xyy z y 2 1abc u axy z x 2 11abc u abxyz x y 6 3 12 2 1 abc u ab bxyz x y 4 121 2 1 abc u abc bxyz x yz 5 122 22 1 1 abc u abc bcxyz x yz 6 123 23 1 1 2 abc u abc bccxyz x yz 3 因为 2 2 x fyxz 2 2 y fxyz 2 xz fx 2 yz fz 所以 1 0 2 2 xz f 0 1 0 0 yz f 7 验证函数 2 esin kn t znx 满足热传导方程 txx zkz 证 因为 2 2e sin kn t t zknnx 2 ecos kn t x znnx 2 2e sin kn t xx znnx 所以 2 2 esin kn t txx zknnxkz 8 验证函数sin ln uxatxat 满足波动方程 2 ttxx ua u 证 因为cos t a uaxat xat 2 2 1 sin 1 tt a uaxata xat 2 2 1 sin axat xat 1 cos x uxat xat 2 1 sin xx uxat xat 所以 7 22 2 1 sin ttxx uaxata u xat 9 验证函数arctan x u y 满足拉