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第 27 卷第 9 期 2010 年 9 月 统计研究 Statistical Research Vol 27 No 9 Sep 2010 空间经济计量滞后模型 Bootstrap Moran 检验功效的模拟分析 欧变玲龙志和林光平 内容提要 当误差项不服从独立同分布时 利用 Moran s I 统计量的渐近检验 无法有效判断空间经济计量滞后 模型 2SLS 估计残差间存在空间关系与否 本文采用两种基于残差的 Bootstrap 方法 诊断空间经济计量滞后模型 残差中的空间相关关系 大量 Monte Carlo 模拟结果显示 从功效角度看 无论误差项服从独立同分布与否 与渐近 检验相比 Bootstrap Moran 检验都具有更好的有限样本性质 能够更有效地进行空间相关性检验 尤其是 在样本 量较小和空间衔接密度较高的情况下 Bootstrap Moran 检验的功效显著大于渐近检验 关键词 空间经济计量滞后模型 Bootstrap Moran 检验 功效 蒙特卡洛 中图分类号 O212文献标识码 A 文章编号 1002 4565 2010 09 0091 06 Simulation Analysis for Power of Bootstrap Moran Diagnostic Tests in Spatial Econometric Autoregressive Models Ou BianlingLong ZhiheLin Guangping Abstract The asymptotic distribution of Moran s I statistic can t effectively test spatial correlation among 2SLS residuals in spatial econometric autoregressive models with the i i d error In this paper we apply two residual based Bootstrap methods for diagnostic testing spatial correlation in a spatial econometric autoregressive model In comparison with the theoretical asymptotic test our extensive Monte Carlo simulation indicates that in view of power whether the errors are i i d or not bootstrap test for this model has superior finite sample properties and can more effectively check spatial dependence than the asymptotic test Especially the power of Bootstrap test is more remarkable than that of asymptotic test in cases of small sample and Queen spatial weight matrix Key words Spatial econometric autoregressive models Bootstrap Moran test Power Monte Carlo 本 文 为 国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 空 间 经 济 计 量 模 型 中 Bootstrap 方法有效性研究 70871041 阶段性成果 一 引言 目前 空间经济计量技术已在经济管理研究的 空间数据分析中占据重要位置 成为经济计量学领 域的一个重要分支 用于空间数据分析的空间经济 计量模型主要有空间滞后模型和空间误差模型 本 文的研究对象是空间经济计量滞后模型 简称 空 间滞后模型 或 SAR 模型 即 y Wy X 1 其中 i i d 0 2I n y 为因变量 X 为自变 量 是空间自回归系数 W 为空间权重矩阵 它 是反映研究对象之间相互关系的网络结构矩阵的 空间滞后模型的两个扩展模型分别是空间滞后 误差自 相 关 模 型 简 称 SARAR 1 1 模 型 或 SARAR 模型 和空间滞后误差移动平均模型 简 称 SARMA 1 1 模型 或 SARMA 模型 具体表 达形式如下 SARAR 模型 y Wy X u u Wu 2 SARMA 模型 y Wy X u u W 3 其中 是空间误差自相关系数 是空间误差 92 统计研究2010 年 9 月 移动平均系数 其他变量含义与式 1 相同 在实际研究工作中 不论采用空间滞后模型还 是其扩展模型 必须先判断空间滞后模型残差间是 否仍存在空间相关性 即进行空间滞后模型空间相 关性检验 近年来 学界对空间相关性检验问题的 关注程度日益提高 Federico 2008 1 文献中 Kelejian Prucha 2001 等证明 当误 差项服从独立同分布时 空间滞后模型的空间相关 性检验统计量渐近服从正态分布 2 分布等标准分 布 2 不过 Anselin Kelejian 1997 所做的 Monte Carlo 模拟实验发现 当误差项服从正态独立同分布 时 在有限样本情况下 空间滞后模型空间相关性检 验中 理论上的渐近检验存在较大的水平扭曲 3 然而 在大量经济管理实证研究工作中 样本量通常 有限 且误差项分布未知或存在异方差 即不满足独 立同分布的假设条件 此时 如何进行空间相关性 检验则是目前国际学术界有待解决的难题 欧变玲等 2009 的研究发现 当原假设为真 即空间滞后模型残差间不再存在空间相关性时 在 有限样本情况下 无论误差项服从独立同分布与否 基于 Moran s I 统计量的理论分布判定空间相关性 其水平扭曲较大 然而 将 Bootstrap 方法用于空间 滞后模型空间相关性 Moran s I 检验 即空间滞后模 型 Bootstrap Moran 检验 简称 Bootstrap Moran 检 验 的水平扭曲相对较小 4 本文在此基础上 利用 Monte Carlo 模拟实验 研究原假设为假 即空 间滞后模型残差间仍存在空间相关性时 Bootstrap Moran 检验的功效 以期从功效角度 为 Bootstrap 方 法用于空间滞后模型空间相关性检验的可行性提供 理论依据 本文的结构安排如下 第二部分 介绍空间滞后 模型的空间相关性检验 Moran s I 统计量 第三部 分 设计 Bootstrap Moran 检验的 Monte Carlo 模拟实 验方案 报告主要实验结果 第四部分 研究结论 二 空间相关性检验 Moran s I 统计量 在空间数据分析中 空间相关性检验是空间经 济计量模型识别不可缺少的重要环节 5 完整的 空间相关性检验的关键一步是基于空间经济计量模 型估计残差 检验残差变量是否仍存在空间相关性 即判断所估计的空间经济计量模型是否已经解释了 数据中存在的空间关系 空间经济计量模型的空间相关性检验统计量 主要包括 Moran s I 和 LM 等 3 本节基于 Kelejian Prucha 2001 的研究成果 明确给出空间滞后模 型空间相关性检验 Moran s I 统计量的渐近性质 为便于理解 对 Kelejian Prucha 2001 的相 关公式进行变换 基于 2SLS 估计残差 e 可得空间 滞后模型空间相关性检验 Moran s I 统计量为 I e We e e 4 其中 e y Z 2SLS 2SLS Z PZ 1 Z Py Z Wy X P H H H 1 H H 为工具变量矩阵 通常选取 H X WX1 W2X1 X1是 X 不含常数项 的部分 当误 差 项 服 从 独 立 同 分 布 时 式 4 中 的 Moran s I 统计量渐近服从正态分布 即 I N 0 2 5 其中 2 1 n2 trace W W W 2 e W W Z Z PZ 1 Z W W e 2 e e n trace 表示矩阵的迹 也就是矩阵对角线元素 之和 总之 空间滞后模型空间相关性检验 Moran s I 统计量的渐近性质 即当误差项服从独立同分布时 Moran s I 统计量渐近服从期望为 0 方差为 2 的正 态分布 三 Monte Carlo 模拟实验 Monte Carlo 模拟实验是研究 Bootstrap Moran 检 验有限样本性质的一种有效方法 本节首先给出 Monte Carlo 模 拟 实 验 步 骤 其 次 设 计 Bootstrap Moran 检验功效研究的 Monte Carlo 模拟实验方案 最后 报告主要实验结果 一 Monte Carlo 模拟实验步骤 在空间相关性检验中 原假设为空间滞后模型 的 2SLS 残差间不存在空间相关性 备则假设为空间 滞后模型的 2SLS 残差间仍存在空间相关性 本研 究 Monte Carlo 模拟实验的数据生成过程为备则假 设 SARAR 模型和 SARMA 模型 也就是说空间相关 关系通过 SARAR 模型或 SARMA 模型来表现 鉴于 MacKinnon 2002 8 Anselin Kelejian 1997 3 以及龙志和等 2009 9 本研究 Monte Carlo 模拟实验的主要思想和步骤简述为 1 给定空间自回归系数 Lambda 空间误差 第 27 卷第 9 期欧变玲等 空间经济计量滞后模型 Bootstrap Moran 检验功效的模拟分析 93 自相关系数 Rho 或空间误差移动平均系数 Theta 以及空间权重矩阵 W 并且 生成自变量 X 和参数 1 1 1 其中 W 为行标准化 对角 线元素为 0 的空间权重矩阵 自变量 X 为 n 3 的 矩阵 包括两个自变量和一个常数项 其中 第一列 和第二列变量在 0 10 之间随机生成 第三列元素 为常数向量 1 在异方差误差情况下 自变量 X 包 含一个异常值 2 生成误差 标准正态误差 1或异方差误差 2 其中 由标准正态分布随机生成 1 简称标准 正态误差 2为随机生成的标准正态变量与包含异 常值的自变量之积 是不服从正态分布 存在异方差 的误差 简称异方差误差 3 求得备则假设 SARAR 模型的因变量 y In W 1 X I n W 1 或备则假设 SARMA 模型的因变量 y In W 1 X In W 以及向量 Z X Wy 进而 得到 Monte Carlo 模 拟实验样本 y Z 4 采用 2SLS 方法进行模型估计 求得残差 e 5 针对残差 e 采用标准残差 Bootstrap 或非对 称 Bootstrap 方法 10 由此 基于 Moran s I 统计量 分别求得 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的 P 值 P 和 P 6 重 复步骤 2 3 4 和 5 共 5000 次 可 得 到 Monte Carlo 模拟实验样本 1 5000 进而 求得 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的 P 值 P i 和 Pi i 1 5000 7 计 算 Bootstrap Moran 检 验 和 渐 近 检 验 的 功效 本研究基于 Moran s I 统计量 按以上步骤进行 Bootstrap Moran 检验的 Monte Carlo 模拟实验 比 较 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的功效 二 Monte Carlo 模拟实验方案及结果 本研究设计如下实验方案 针对标准正态误差 1和异方差误差 2 研究样本量 空间结构 空间误 差相关系数和空间经济计量模型等因素对 Bootstrap 检验功效的影响 以及 Bootstrap 检验和渐近检验的 功效关系 为此 本研究进行了大量 Monte Carlo 实 验 受篇幅所限 本文以空间自回归系数 0 3 为 例进行报告 详细实验结果有兴趣者可向作者索取 1 标准正态误差的实验结果 当误差项为标准正态误差 1时 在 5 的名义 显著性水平下 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的 功效关系如图 1 和图 2 所示 其中 第一行和第二 行分别是数据生成过程为空间滞后误差自相关模型 和空 间 滞 后 误 差 移 动 平 均 模 型 时 渐 近 检 验 和 Bootstrap 检验的功效关系图 各行的第一列 第二列 和第三列分别是样本量 n 36 81 121 时 渐近检验 和 Bootstrap 检验的功效关系图 横轴表示空间误差 相关系数 Rho 或 Theta 纵轴表示功效 虚曲线 Bp 和 实 曲 线 Asy 分 别 表 示 采 用 标 准 残 差 Bootstrap 时 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的功效 随空间误差相关系数的变化情况 与实曲线相比 虚曲线越靠上 表示 Bootstrap Moran 检验的功效越 大 即 Bootstrap Moran 检验越有效 否则 相反 由图 1 可见 当空间权重矩阵为 Rook 矩阵时 无论数据生成过程是备则假设 SARAR 模型还是 SARMA 模型 在空间误差相关系数小于 0 情况下 虚曲线 Bp 与实曲线 Asy 近似重合 即 Bootstrap Moran 检验的功效近似等于渐近检验 在空间误差 相关系数大于 0 情况下 虚曲线 Bp 明显高于实曲 线 Asy 即 Bootstrap Moran 检验的功效显著大于 渐近检 验 空 间 误 差 相 关 系 数 的 绝 对 值 越 大 Bootstrap Moran 检验的功效越大 并且虚曲线 Bp 近似关于空间误差相关系数 Rho 或 Theta 等于 0 对称 同时 功效曲线随着样本量的增大变得更陡 峭 也就是说 样本量越大 则功效越大 此外 SARAR 模型和 SARMA 模型情况下 Bootstrap Moran 检验 的 功 效 关 系 曲 线 相 似 即 备 则 假 设 模 型 对 Bootstrap Moran 检验无显著影响 由图 2 可见 当空间权重矩阵为 Queen 矩阵时 无论数据生成过程是备则假设 SARAR 模型还是 SARMA 模型 在空间误差相关系数小于 0 情况下 虚曲线 Bp 近似与实曲线 Asy 重合 即 Bootstrap Moran 检验的功效近似等于渐近检验 在空间误差 相关系数大于 0 情况下 虚曲线 Bp 明显高于实 曲线 Asy 即 Bootstrap Moran 检验的功效显著大 于 渐 近 检 验 同 时 随 着 样 本 量 增 大 Bootstrap Moran 检 验 功 效 曲 线 的 形 状 从 变 成 V Bootstrap Moran 检验和渐近检验的功效趋于相等 在 SARAR 模 型 和 SARMA 模 型 情 况 下 Bootstrap 鉴于欧 变 玲 等 2009 的 研 究 结 果 本 研 究 中 采 用 的 Bootstrap 重复抽样次数为 399 94 统计研究2010 年 9 月 图 1当 Rook 矩阵 标准正态误差时 Bootstrap 检验和渐近检验的功效关系 图 2当 Queen 矩阵 标准正态误差时 Bootstrap 检验和渐近检验的功效关系 Moran 检验功效没有显著差异 总之 从功效角度看 当误差项服从正态独立同 分布时 在样本量较小的情况下 空间衔接结构对 Bootstrap Moran 检验影响显著 随着样本量的增大 空间衔接结构对 Bootstrap Moran 检验影响减弱 同 时 无论空间衔接程度高还是低 备则假设模型对 Bootstrap Moran 检验均无显著影响 Bootstrap Moran 检验都非常有效 具有较好的有限样本性质 2 异方差误差的实验结果 在 5 的名义显著性水平下 异方差误差 2的 Monte Carlo 模拟实验结果如图 3 和图 4 所示 其 中 虚曲线 Bp 表示采用非对称 Wild Bootstrap 方 法时 Bootstrap Moran 检验的功效随空间误差相关 系数的变化情况 图中其他参数含义与图 1 相同 由图 3 可见 当空间权重矩阵为 Rook 矩阵时 与渐近检验相比 Bootstrap Moran 检验的功效更高 尤其是在空间误差相关系数大于 0 和样本量较小的 情况下 随着样本量的增大 功效曲线趋于 V 型 类似于标准正态误差 异方差误差情况下 备则假设 模型对 Bootstrap Moran 检验无显著影响 从图 4 可以看出 当空间权重矩阵为 Queen 矩 阵时 虚 曲 线 Bp 明 显 高 于 实 曲 线 Asy 即 Bootstrap Moran 检验的功效大于渐近检验 尤其当 空间误差相关系数大于 0 时 Bootstrap Moran 检验 功效显著大于渐近检验 功效曲线随样本量的增大 趋于对称 从 型变成 V 型 在 SARAR 模型和 第 27 卷第 9 期欧变玲等 空间经济计量滞后模型 Bootstrap Moran 检验功效的模拟分析 95 图 3当 Rook 矩阵 异方差误差时 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的功效关系 图 4当 Queen 矩阵 异方差误差时 Bootstrap 检验和渐近检验的功效关系 SARMA 模型情况下 Bootstrap Moran 检验的功效无 显著差异 与标准正态误差情形相比 异方差误差 情况下 Bootstrap Moran 检验对渐近检验功效的提 高更明显 综上 从功效角度看 无论误差项是否服从独立 同分布 备则假设型对 Bootstrap Moran 检验都没有 显著影响 在样本量较小的情况下 空间衔接结构 对 Bootstrap Moran 检验和渐近检验的功效关系影响 显著 随着样本量的增大 空间衔接结构的影响逐渐 减弱 同 时 空 间 误 差 相 关 系 数 的 绝 对 值 越 大 Bootstrap Moran 检验的功效越大 当空间误差相关 系数大 于 0 时 Bootstrap Moran 检 验 的 有 效 性 更 明显 四 结论 空间滞后模型的空间相关性 Moran s I 检验中 Bootstrap Moran 检验和渐近检验有限样本性质研究 的 Monte Carlo 模拟实验结果显示 从功效角度看 在有限样本情况下 无论误差项服从标准正态分布 还是存 在 异 方 差 即 独 立 同 分 布 与 否 Bootstrap Moran 检验都优于或近似等于渐近检验 同时 在 异方差误差情况下 Bootstrap Moran 检验对渐近检 验功效的提高更大 本研究发现 当样本量较小时 空间误差相关系 数和空间衔接结构对 Bootstrap Moran 检验功效有显 著影响 在 SARAR 模 型 和 SARMA 模 型 情 形 下 Bootstrap Moran 检验功效无显著差异 当空间误差 相关系数大于 0 时 Bootstrap Moran 检验功效显著 96 统计研究2010 年 9 月 大于渐近检验 当空间权重矩阵为衔接密度较高的 Queen 矩阵时 无论空间经济计量模型是 SARAR 模 型还是 SARMA 模型 随着样本量的增大 Bootstrap Moran 检验的功效曲线均从 变成 V 对称性 增强 空间衔接结构对 Bootstrap Moran 检验功效的 影响减弱 概言之 本研究利用 Monte Carlo 模拟实验 从 功效 角 度 验 证 了 空 间 滞 后 模 型 的 空 间 相 关 性 Moran s I 检验中 Bootstrap 检验的有效性 进一步为 解决空间滞后模型的空间相关性检验难题提供了理 论支持 参考文献 1 Federico M Testing for spatial autocorrelation the regressors that make the power disappear R Working Paper 2008 2 Kelejian H Prucha IR On the asymptotic distribution of the Moran I test statistic with applications J Journal of Econometrics 2001 104 219 257 3 Anselin L Kelejian H Testing for spatial autocorrelation in the presence ofendogenousregressors J InternationalRegional Science Review 1997 20 153 182 4 欧变玲 龙 志 和 林 光 平 空 间 经 济 计 量 滞 后 模 型 Bootstrap Moran 检验的水平扭曲 J 系统工程 2009 8 69 73 5 Anselin L Bera A Florax R et al Simple diagnostic tests for spatial dependence J Regional Sceience and Urban Economics 1996 26 77 104 6 Lee LF Best spatial two stage least squares estimators for a spatial autoregressivemodelwithautoregressivedisturbances J Econometrics Reviews 2003 22 307 335 7 Lee LF GMM and 2SLS estimation of mixed regressive spatial autoregressive models J Journal of Econometrics 2007 137 489 514 8 MacKinnon JG Bootstrap infe