小学数学教师招聘考试专业知识.pdf

1 数学教师招聘考试数学教师招聘考试 专业知识复习专业知识复习 一 复习要求一 复习要求 由于招考题目仅为高考知识 所以本内容以均为高考知识点 由于招考题目仅为高考知识 所以本内容以均为高考知识点 1 理解集合及表示法 掌握子集 全集与补集 子集与并集的定义 2 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法 3 理解逻辑联结词的含义 会熟练地转化四种命题 掌握反证法 4 理解充分条件 必要条件及充要条件的意义 会判断两个命题的充要关系 5 学会用定义解题 理解数形结合 分类讨论及等价变换等思想方法 二 学习指导二 学习指导 1 集合的概念 1 集合中元素特征 确定性 互异性 无序性 2 集合的分类 按元素个数分 有限集 无限集 按元素特征分 数集 点集 如数集 y y x 2 表示非负实数集 点集 x y y x2 表示开口向上 以 y 轴为对称轴的抛物线 3 集合的表示法 列举法 用来表示有限集或具有显著规律的无限集 如 N 0 1 2 3 描述法 2 两类关系 1 元素与集合的关系 用 或 表示 2 集合与集合的关系 用 表示 当 A B 时 称 A 是 B 的子集 当 A B 时 称 A 是 B 的真子集 3 集合运算 1 交 并 补 定义 A B x x A 且 x B A B x x A 或 x B CUA x x U 且 x A 集合 U 表示全集 2 运算律 如 A B C A B A C CU A B CUA CUB CU A B CUA CUB 等 4 命题 1 命题分类 真命题与假命题 简单命题与复合命题 2 复合命题的形式 p 且 q p 或 q 非 p 3 复合命题的真假 对 p 且 q 而言 当 q p 为真时 其为真 当 p q 中有一个为假时 其为假 对 p 或 q 而言 当 p q 均为假时 其为假 当 p q 中有一个为真时 其为真 当 p 为真 时 非 p 为假 当 p 为假时 非 p 为真 3 四种命题 记 若 q 则 p 为原命题 则否命题为 若非 p 则非 q 逆命题为 若 q 则 p 逆否命题为 若非 q 则非 p 其中互为逆否的两个命题同真假 即等价 因此 四种命题 为真的个数只能是偶数个 5 充分条件与必要条件 1 定义 对命题 若 p 则 q 而言 当它是真命题时 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 当它的逆命题为真时 q 是 p 的充分条件 p 是 q 的必要条件 两种命题均为真时 称 p 是 q 的充要条件 2 2 在判断充分条件及必要条件时 首先要分清哪个命题是条件 哪个命题是结论 其次 结论要分四种情况说明 充分不必要条件 必要不充分条件 充分且必要条件 既不充分又不必要 条件 从集合角度看 若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A 满足条件 q 的所有对象组成集合 q 则当 A B 时 p 是 q 的充分条件 B A 时 p 是 q 的充分条件 A B 时 p 是 q 的充要条件 3 当 p 和 q 互为充要时 体现了命题等价转换的思想 6 反证法是中学数学的重要方法 会用反证法证明一些代数命题 7 集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一 学会用集合的思想处理数学问题 三 典型例题三 典型例题 例例 1 1 已知集合 M y y x 2 1 x R N y y x 1 x R 求 M N 解题思路分析 在集合运算之前 首先要识别集合 即认清集合中元素的特征 M N 均为数集 不能误认为是点集 从而解方程组 其次要化简集合 或者说使集合的特征明朗化 M y y x 2 1 x R y y 1 N y y x 1 x R y y R M N M y y 1 说明 实际上 从函数角度看 本题中的 M N 分别是二次函数和一次函数的值域 一般地 集合 y y f x x A 应看成是函数 y f x 的值域 通过求函数值域化简集合 此集合与集合 x y y x 2 1 x R 是有本质差异的 后者是点集 表示抛物线 y x2 1 上的所有点 属于图形范畴 集合中元素特征与代表元素的字母无关 例 y y 1 x x 1 例例 2 2 已知集合 A x x 2 3x 2 0 B x x2 mx 2 0 且 A B B 求实数 m 范围 解题思路分析 化简条件得 A 1 2 A B B B A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论 B B 1 或 2 B 1 2 当 B 时 m 2 8 0 22m22 当 B 1 或 2 时 02m2402m1 0 或 m 无解 当 B 1 2 时 221 m21 m 3 综上所述 m 3 或22m22 说明 分类讨论是中学数学的重要思想 全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面 如本题当 B 1 或 2 时 不能遗漏 0 例例 3 3 用反证法证明 已知 x y R x y 2 求 证 x y 中至少有一个大于 1 解题思路分析 假设 x 1 且 y 1 由不等式同向相加的性质 x y 2 与已知 x y 2 矛盾 假设不成立 x y 中至少有一个大于 1 说明 反证法的理论依据是 欲证 若 p 则 q 为真 先证 若 p 则非 q 为假 因在条件 p 下 q 与非 q 是对立事件 不能同时成立 但必有一个成立 所以当 若 p 则非 q 为假时 若 3 p 则 q 一定为真 例例 4 4 若 A 是 B 的必要而不充分条件 C 是 B 的充要条件 D 是 C 的充分而不必要条件 判断 D 是 A 的什么条件 解题思路分析 利用 符号分析各命题之间的关系 D C B A D A D 是 A 的充分不必要条件 说明 符号 具有传递性 不过前者是单方向的 后者是双方向的 例例 5 5 求直线 ax y b 0 经过两直线 1 2x 2y 3 0 和 2 3x 5y 1 0 交点的充要条件 解题思路分析 从必要性着手 分充分性和必要性两方面证明 由 01y5x3 03y2x2 得 1 2交点 P 4 11 4 17 过点 P 0b 4 11 4 17 a 17a 4b 11 充分性 设 a b 满足 17a 4b 11 4 a1711 b 代入 方程 0 4 a1711 yax 整理得 0 4 17 x a 4 11 y 此方程表明 直线 恒过两直线0 4 17 x 0 4 11 y 的交点 4 11 4 17 而此点为 1与 2的交点 充分性得证 综上所述 命题为真 说明 关于充要条件的证明 一般有两种方式 一种是利用 双向传输 同时证明充分性及必要性 另一种是分别证明必要性及充分性 从必要性着手 再检验充分性 四 同步练习四 同步练习 一 一 选择题选择题 1 设 M x x 2 x 2 0 a lg lg10 则 a 与 M 的关系是 A a M B M a C a M D M a 4 2 已知全集 U R A x x a 2 B x x 1 3 且 A B 则 a 的取值范围是 A 0 2 B 2 2 C 0 2 D 0 2 3 已知集合 M x x a 2 3a 2 a R N x x b2 b b R 则 M N 的关系是 A M N B M N C M N D 不确定 4 设集合 A x x Z 且 10 x 1 B x x Z 且 x 5 则 A B 中的元素个数是 A 11 B 10 C 16 D 15 5 集合 M 1 2 3 4 5 的子集是 A 15 B 16 C 31 D 32 6 对于命题 正方形的四个内角相等 下面判断正确的是 A 所给命题为假 B 它的逆否命题为真 C 它的逆命题为真 D 它的否命题为真 7 是 cos cos 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 集合 A x x 3k 2 k Z B y y 3 1 Z S y y 6m 1 m Z 之间的关系是 A S B A B S B A C S B A D S B A 9 方程 mx 2 2x 1 0 至少有一个负根的充要条件是 A 0 m 1 或 m 0 B 0 m 1 C m 1 D m 1 10 已知 p 方程 x 2 ax b 0 有且仅有整数解 q a b 是整数 则 p 是 q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 充要条件 D 既不充分又不必要条件 二 二 填空题填空题 11 已知 M Z 2 4m m N x N 2 3x 则 M N 12 在 100 个学生中 有乒乓球爱好者 60 人 排球爱好者 65 人 则两者都爱好的人数最少是 人 13 关于 x 的方程 x x 1 a 有解的充要条件是 14 命题 若 ab 0 则 a b 中至少有一个为零 的逆否命题为 15 非空集合 p 满足下列两个条件 1 p 1 2 3 4 5 2 若元素 a p 则 6 a p 则集合 p 个数是 三 三 解答题解答题 16 设集合 A x y y ax 1 B x y y x 若 A B 是单元素集合 求 a 取值范围 5 17 已知抛物线 C y x 2 mx 1 点 M 0 3 N 3 0 求抛物线 C 与线段 MN 有两个不同交点的充要条件 18 设 A x x 2 px q 0 M 1 3 5 7 9 N 1 4 7 10 若 A M A N A 求 p q 的值 19 已知 2 1 xa 2 b 2 x c x 2 x 1 用反证法证明 a b c 中至少有一个不小于 1 函函 数数 一 复习要求一 复习要求 7 函数的定义及通性 2 函数性质的运用 二 学习指导二 学习指导 1 函数的概念 1 映射 设非空数集 A B 若对集合 A 中任一元素 a 在集合 B 中有唯一元素 b 与之对应 则称从 A 到 B 的对应为映射 记为 f A B f 表示对应法则 b f a 若 A 中不同元素的象也 不同 则称映射为单射 若 B 中每一个元素都有原象与之对应 则称映射为满射 既是单射又是满射的映射称为一一映射 2 函数定义 函数就是定义在非空数集 A B 上的映射 此时称数集 A 为定义域 象集 C f x x A 为值域 定义域 对应法则 值域构成了函数的三要素 从逻辑上讲 定义域 对应 法则决定了值域 是两个最基本的因素 逆过来 值域也会限制定义域 求函数定义域 通过解关于自变量的不等式 组 来实现的 要熟记基本初等函数的定义域 通过四则运算构成的初等函数 其定义域是每个初等函数定义域的交集 复合函数定义域 不仅 要考虑内函数的定义域 还要考虑到外函数对应法则的要求 理解函数定义域 应紧密联系对应法则 函数定义域是研究函数性质的基础和前提 函数对应法则通常表现为表格 解析式和图象 其中解析式是最常见的表现形式 求已知类型函数解析式的方法是待定系数法 抽象函数的解析式常用换元法及凑合法 求函数值域是函数中常见问题 在初等数学范围内 直接法的途径有单调性 基本不等式及几何意义 间接法的途径为函数与方程的思想 表现为 法 反函数法等 在高等数学范围内 用 导数法求某些函数最值 极值 更加方便 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题 它的一种典型处理方法就是建立函数解析式 借助于求函数值域的方法 2 函数的通性 1 奇偶性 函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件 在利用定义判断时 应在化简解析式后进行 同时灵活运用定义域的变形 如0 x f x f 1 x f x f f x 0 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称 函数的奇偶性是定义域上的普遍性质 定义式是定义域上的恒等式 6 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤 2 单调性 研究函数的单调性应结合函数单调区间 单调区间应是定义域的子集 判断函数单调性的方法 定义法 即比差法 图象法 单调性的运算性质 实质上是不等式性质 复合函数单调性判断法则 函数单调性是单调区间上普遍成立的性质 是单调区间上恒成立的不等式 函数单调性是函数性质中最活跃的性质 它的运用主要体现在不等式方面 如比较大小 解抽象函数不等式等 3 周期性 周期性主要运用在三角函数及抽象函数中 是化归思想的重要手段 求周期的重要方法 定义法 公式法 图象法 利用重要结论 若函数 f x 满足 f a x f a x f b x f b x a b 则 T 2 a b 4 反函数 函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一 在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数 函数 f x 的反函数 f 1 x 的性质与 f x 性质紧密相连 如定义域 值域互 换 具有相同的单调性等 把反函数 f 1 x 的问题化归为函数 f x 的问题是处理反函数问题的重要思想 设函数 f x 定义域为 A 值域为 C 则 f 1 f x x x A f f 1 x x x C 8 函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面 又能直观地反映函数的性质 在解题过程中 充分发挥图象的工具作用 图象作法 描点法 图象变换 应掌握常见的图象变换 4 本单常见的初等函数 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 在具体的对应法则下理解函数的通性 掌握这些具体对应法则的性质 分段函数是重要的函数模型 对于抽象函数 通常是抓住函数特性是定义域上恒等式 利用赋值法 变量代换法 解题 联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路 及解题突破口 应用题是函数性质运用的重要题型 审清题意 找准数量关系 把握好模型是解应用题的关键 5 主要思想方法 数形结合 分类讨论 函数方程 化归等 三 典型例题三 典型例题 例例 1 1 已知 1x 3x2 x f 函数 y g x 图象与 y f 1 x 1 的图象关于直线 y x 对称 求 g 11 的值 分析 分析 利用数形对应的关系 可知 y g x 是 y f 1 x 1 的反函数 从而化 g x 问题为已知 f x y f 1 x 1 x 1 f y x f y 1 y f 1 x 1 的反函数为 y f x 1 即 g x f x 1 g 11 f 11 1 2 3 评注 评注 函数与反函数的关系是互为逆运算的关系 当 f x 存在反函数时 若 b f a 则 a f 1 b 7 例例 2 2 设 f x 是定义在 上的函数 对一切 x R 均有 f x f x 2 0 当 1 x 1 时 f x 2x 1 求当 1 x 3 时 函数 f x 的解析式 解题思路分析 利用化归思想解题 f x f x 2 0 f x f x 2 该式对一切 x R 成立 以 x 2 代 x 得 f x 2 f x 2 2 f x 当 1 x 3 时 1 x 2 1 f x 2 2 x 2 1 2x 5 f x f x 2 2x 5 f x 2x 5 1 x 3 评注 评注 在化归过程中 一方面要转化自变量到已知解析式的定义域 另一方面要保持对应的函数值有一定关系 在化归过程中还体现了整体思想 例例 3 3 已知 g x x 2 3 f x 是二次函数 当 x 1 2 时 f x 的最小值 且 f x g x 为奇函数 求 f x 解析式 分析 分析 用待定系数法求 f x 解析式 设 f x ax 2 bx c a 0 则 f x g x a 1 x 2 bx c 3 由已知 f x g x 为奇函数 03c 01a 3c 1a f x x 2 bx 3 下面通过确定 f x 在 1 2 上何时取最小值来确定 b 分类讨论 4 b 3 2 b x x f 2 2 对称轴 2 b x 1 当 2 b 2 b 4 时 f x 在 1 2 上为减函数 7b2 2 f x f min 2b 7 1 8 b 3 舍 2 当 2 b 1 2 4 b0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 证明 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x 2 1 求 x 的取值范围 分析 分析 1 令 a b 0 则 f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 令 a x b x 则 f 0 f x f x x f 1 x f 由已知 x 0 时 f x 1 0 当 x0 f x 0 9 0 x f 1 x f 又 x 0 时 f 0 1 0 对任意 x R f x 0 3 任取 x2 x1 则 f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 1 xx f x f x f x f x f 1212 1 2 f x2 f x1 f x 在 R 上是增函数 4 f x f 2x x 2 f x 2x x2 f x2 3x 又 1 f 0 f x 在 R 上递增 由 f 3x x 2 f 0 得 3x x2 0 0 x 3 评注 评注 根据 f a b f a f b 是恒等式的特点 对 a b 适当赋值 利用单调性的性质去掉符号 f 得到关于 x 的代数不等式 是处理抽象函数不等式的典型方法 例例 5 5 已知 lgx lgy 2lg x 2y 求 y x log 2 的值 分析 分析 在化对数式为代数式过程中 全面挖掘 x y 满足的条件 由已知得 2 y2x xy 0y2x 0y 0 x x 4y 4 y x 44log y x log 22 例例 6 6 某工厂今年 1 月 2 月 3 月生产某产品分别为 1 万件 1 2 万件 1 3 万件 为了估测以后每个月的产量 以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系 模拟函数可选用 y ab x c 其中 a b c 为常数 或二次函数 已知 4 月份该产品的产量为 1 37 万件 请问用哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由 分析 分析 设 f x px 2 qx r p 0 10 则 3 1rq3p9 3 f 1rq2p4 2 f 1rqp 1 f 7 0r 35 0q 05 0p f 4 0 05 4 2 0 35 4 0 7 1 3 设 g x ab x c 则 3 1cab 3 g 2 1cab 2 g 1cab 1 g 3 2 4 1c 5 0b 8 0a g 4 0 8 0 5 4 1 4 1 35 1 35 1 37 b c B a c b C b c a D c b a 2 方程x 2x loga a 0 且 a 1 的实数解的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 x1 3 1 y 的单调减区间是 A 1 B 1 C 1 1 D 9 函数 12x4x logy 2 2 1 的值域为 A 3 B 3 C 3 D 3 11 10 函数 y log2 ax 1 a b 的图象的对称轴是直线 x 2 则 a 等于 A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 6 有长度为 24 的材料用一矩形场地 中间加两隔墙 要使矩形的面积最大 则隔壁的长度为 A 3 B 4 C 6 D 12 二 二 填空题填空题 7 已知定义在 R 的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 且当 0 x 1 时 f x x 则 2 15 f 8 已知 y loga 2 x 是 x 的增函数 则 a 的取值范围是 9 函数 f x 定义域为 1 3 则 f x 2 1 的定义域是 10 函数 f x x 2 bx c 满足 f 1 x f 1 x 且 f 0 3 则 f bx 与 f cx 的大小关系是 11 已知 f x log3x 3 x 1 9 则 y f x 2 f x2 的最大值是 12 已知 A y y x 2 4x 6 y N B y y x2 2x 18 y N 则 A B 中所有元素的和是 13 若 x g x 都是奇函数 f x m x ng x 2 在 0 上有最大值 则 f x 在 0 上最小值为 14 函数 y log2 x 2 1 x 0 的反函数是 15 求值 bcacabcbcaba xx1 1 xx1 1 xx1 1 三 三 解答题解答题 16 若函数 cx 1ax x f 2 的值域为 1 5 求 a c 17 设定义在 2 2 上的偶函数 f x 在区间 0 2 上单调递减 若 f 1 m f m 求实数 m 的取值范围 18 已知 0 a 1 在函数 y logax x 1 的图象上有 A B C 三点 它们的横坐标分别是 t t 2 t 4 1 若 ABC 面积为 S 求 S f t 2 判断 S f t 的单调性 3 求 S f t 最大值 19 设 f x 12 2 a x x R 1 证明 对任意实数 a f x 在 上是增函数 2 当 f x 为奇函数时 求 a 3 当 f x 为奇函数时 对于给定的正实数 k 解不等式 k x1 log x f 2 1 12 20 设 0 a3 2 求 a 的取值范围 数数 列列 一一 复习要求 复习要求 11 等差数列及等比数列的定义 通项公式 前 n 项和公式及性质 2 一般数列的通项及前 n 项和计算 二二 学习指导 学习指导 1 数列 是按照一定顺序排列而成的一列数 从函数角度看 这种顺序法则就是函数的对应法则 因此数列可以看作是一个特殊的函数 其特殊性在于 第一 定义域是正整数集或其子集 第二 值域是有顺序的 不能用集合符号表示 研究数列 首先研究对应法则 通项公式 an f n n N 要能合理地由数列前 n 项写出通项公式 其次研究前 n 项和公式 Sn Sn a1 a2 an 由 Sn定义 得到数列中的重要公式 2nSS 1nS a 1nn 1 n 一般数列的 an及 Sn 除化归为等差数列及等比数列外 求 Sn还有下列基本题型 列项相消法 错位相消法 2 等差数列 1 定义 an 为等差数列 an 1 an d 常数 n N 2an an 1 an 1 n 2 n N 2 通项公式 an an n 1 d an am n m d 前 n 项和公式 2 aa n d 2 1n n naS n1 1n 3 性质 an an b 即 an是 n 的一次型函数 系数 a 为等差数列的公差 Sn an 2 bn 即 S n是 n 的不含常数项的二次函数 若 an bn 均为等差数列 则 an nn k 1i k a kan c k c 为常数 均为等差数列 当 m n p q 时 am an ap aq 特例 a1 an a2 an 1 a3 an 2 当 2n p q 时 2an ap aq 当 n 为奇数时 S2n 1 2n 1 an S奇 2 1n a中 S偶 2 1n a中 3 等比数列 13 1 定义 n 1n a a q q 为常数 an 0 an 2 a n 1an 1 n 2 n N 2 通项公式 an a1q n 1 a n amq n m 前 n 项和公式 1q q1 qaa q1 q1 a 1qna S n1 n 1 1 n 3 性质 当 m n p q 时 aman apaq 特例 a1an a2an 1 a3an 2 当 2n p q 时 an 2 a paq 数列 kan k 1i i a 成等比数列 4 等差 等比数列的应用 1 基本量的思想 常设首项 公差及首项 公比为基本量 借助于消元思想及解方程组思想等 2 灵活运用等差数列 等比数列的定义及性质 简化计算 3 若 an 为等差数列 则 n a a 为等比数列 a 0 且 a 1 若 an 为正数等比数列 则 logaan 为等差数列 a 0 且 a 1 三 典型例题三 典型例题 例 1 已知数列 an 为等差数列 公差 d 0 其中 1 k a 2 k a n k a 恰为等比数列 若 k1 1 k2 5 k3 17 求 k1 k2 kn 解题思路分析 从寻找新 旧数列的关系着手 设 an 首项为 a1 公差为 d a1 a5 a17成等比数列 a5 2 a 1a17 a1 4d 2 a 1 a1 16d a1 2d 设等比数列公比为 q 则3 a d4a a a q 1 n 1 5 对 n k a项来说 在等差数列中 1 n n1k a 2 1k d 1k aa n 在等比数列中 1n 1 1n 1k 3aqaa n 132k 1n n 14 n 331 2 132 132 132 kkk 1n1n10 n21 1n3n 注 本题把 k1 k2 kn看成是数列 kn 的求和问题 着重分析 kn 的通项公式 这是解决数列问题的一般方法 称为 通项分析法 例 2 设数列 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 n Sn 的前 n 项和 求 Tn 解题思路分析 法一 利用基本元素分析法 设 an 首项为 a1 公差为 d 则 75d 2 1415 a15S 7d 2 67 a7S 115 17 1d 2a1 2 1n n 2Sn 2 5 2 n 2 1n 2 n Sn 此式为 n 的一次函数 n Sn 为等差数列 n 4 a n 4 1 T 2 n 法二 an 为等差数列 设 Sn An 2 Bn 75B1515AS 7B77AS 2 15 2 7 解之得 2 5 B 2 1 A n 2 5 n 2 1 S 2 n 下略 注 法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 3 正数数列 an 的前 n 项和为 Sn 且1aS2 nn 求 1 数列 an 的通项公式 15 2 设 1nn n aa 1 b 数列 bn 的前 n 项的和为 Bn 求证 Bn 2 1 解题思路分析 I 涉及到 an及 Sn的递推关系 一般都用 an Sn Sn 1 n 2 消元化归 1aS2 nn 4Sn an 1 2 4Sn 1 an 1 1 2 n 2 4 Sn Sn 1 an 1 2 a n 1 1 2 4an an 2 a n 1 2 2a n 2an 1 整理得 an 1 an an an 1 2 0 an 0 an an 1 2 an 为公差为 2 的等差数列 在1aS2 nn 中 令 n 1 a1 1 an 2n 1 II 1n2 1 1n2 1 2 1 1n2 1n2 1 bn 2 1 a2 1 2 1 a 1 a 1 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 1 B 1n1n11nn3221 n 注 递推是学好数列的重要思想 例本题由 4Sn an 1 2推出 4S n 1 an 1 1 2 它其实就是函数中的变量代换法 在数列中一般用 n 1 n 1 等去代替 n 实际上也就是说已知条件中的递推关系 是关于 n 的恒等式 代换就是对 n 赋值 例 4 等差数列 an 中 前 m 项的和为 77 m 为奇数 其中偶数项的和为 33 且 a1 am 18 求这个数列的通项公式 分析 利用前奇数项和和与中项的关系 令 m 2n 1 n N 则 33a 1n S 77a 1n2 S n n1n2 偶 33 77 1n 1n2 n 4 m 7 an 11 16 a1 am 2an 22 又 a1 am 18 a1 20 am 2 d 3 an 3n 23 例 5 设 an 是等差数列 n a n 2 1 b 已知 b1 b2 b3 8 21 b1b2b3 8 1 求等差数列的通项 an 解题思路分析 an 为等差数列 bn 为等比数列 从求解 bn 着手 b1b3 b2 2 b2 3 8 1 b2 2 1 4 1 bb 8 17 bb 21 31 8 1 b 2b 3 1 或 2b 8 1 b 2 1 n231n n 2 4 1 2b 或 5n21n n 24 8 1 b n a n 2 1 b n 2 1n bloga an 2n 3 或 an 2n 5 注 本题化归为 bn 求解 比较简单 若用 an 求解 则运算量较大 例 6 已知 an 是首项为 2 公比为 2 1 的等比数列 Sn为它的前 n 项和 1 用 Sn表示 Sn 1 17 2 是否存在自然数 c 和 k 使得2 cS cS k 1k 成立 解题思路分析 1 2 1 1 4S n n 2S 2 1 2 1 1 4S n 1n 1n 2 0 Sc 2S 2 3 c 2 cS cS k k k 1k 4 2 1 1 4S k k 0S 2 1 2 2S 2 3 S kkk 式 kk Sc2S 2 3 Sk 1 Sk 12S 2 3 2S 2 3 1k 又 Sk 4 由 得 c 2 或 c 3 当 c 2 时 S1 2 k 1 时 c Sk不成立 从而式 不成立 c 2 5 2S 2 3 2 由 Sk Sk 1得 2S 2 3 2S 2 3 1kk 当 k 2 时 c2S 2 3 k 从而式 不成立 当 c 3 时 S12 S2 3 当 k 1 2 时 C Sk不成立 式 不成立 2S 2 3 2S 2 3 c 4 13 2S 2 3 1kkk 18 当 k 3 时 c2S 2 3 k 从而式 不成立 综上所述 不存在自然数 c k 使2 cS cS k 1k 成立 例 7 某公司全年的利润为 b 元 其中一部分作为资金发给 n 位职工 资金分配方案如下 首先将职工按工作业绩 工作业绩均不相等 从大到小 由 1 到 n 排序 第 1 位职工得资金 n b 元 然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工 按此方法将资金逐一发给每位职工 并将最后剩余部分作为公司发展基金 1 设 ak 1 k n 为第 k 位职工所得资金额 试求 a2 a3 并用 k n 和 b 表示 ak 不必证明 2 证明 ak0 d 02lg 19 an 是递减数列 且 Sn必为最大值 设 0a 0a 1k k 0 2lg k2 0 2lg 1k 2 2 13k 2 14k k 14 Sn max S14 14 35 四 四 同步练习同步练习 一 选择题 1 已知 a b a b 成等差数列 a b ab 成等比数列 且 0 logmab1 B 1 m8 D 0 m8 2 设 a 0 b 0 a x1 x2 b 成等差数列 a y1 y2 b 成等比数列 则 x1 x2与 y1 y2的大小关系是 A x1 x2 y1 y2 B x1 x2 y1 y2 C x1 x2y1 y2 12 已知 Sn是 an 的前 n 项和 Sn P n P R n N 那么数列 an A 是等比数列 B 当 P 0 时是等比数列 C 当 P 0 P 1 时是等比数列 D 不是等比数列 13 an 是等比数列 且 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 则 a3 a5等于 A 5 B 10 C 15 D 20 14 已知 a b c 成等差数列 则二次函数 y ax 2 2bx c 的图象与 x 轴交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 15 设 m N log2m 的整数部分用 F m 表示 则 F 1 F 2 F 1024 的值是 A 8204 B 8192 C 9218 D 8021 7 若 x 的方程 x 2 x a 0 和 x2 x b 0 a b 的四个根可组成首项为 4 1 的等差数列 则 a b 的值为 A 8 3 B 24 11 C 24 13 D 72 31 8 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数和是 A 1557 B 1473 C 1470 D 1368 9 从材料工地运送电线杆到 500m 以外的公路 沿公路一侧每隔 50m 埋栽一根电线杆 已知每次最多只能运 3 根 要完成运载 20 根电线杆的任务 最佳方案是使运输车运行 A 11700m B 14700m C 14500m D 14000m 20 10 已知等差数列 an 中 a3 a9 公差 d0 n N 满足 n blgblgblg an n21 n N 则 an 为等差数列是 bn 为等比数列的 条件 14 长方体的三条棱成等比数列 若体积为 216cm 3 则全面积的最小值是 cm2 15 若不等于 1 的三个正数 a b c 成等比数列 则 2 logba 1 logca 三 解答题 16 已知一个等比数列首项为 1 项数是偶数 其奇数项之和为 85 偶数项之和为 170 求这个数列的公比和项数 17 已知等比数列 an 的首项为 a1 0 公比 q 1 q 1 设数列 bn 的通项 bn an 1 an 2 n N 数列 an bn 的前 n 项和分别记为 An Bn 试比较 An与 Bn大小 18 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足 an 2 2an 1 an n N 1 求数列 an 通项公式 2 设 Sn a1 a2 an 求 Sn 3 设 a12 n 1 b n n n N Tn b1 b2 bn 是否存在最大的整数 m 使得对于任意的 n N 均有 32 m Tn 成立 若存在 求出 m 的值 若不存在 说明理由 三角函数三角函数 一一 复习要求 复习要求 16 三角函数的概念及象限角 弧度制等概念 2 三角公式 包括诱导公式 同角三角函数关系式和差倍半公式等 3 三角函数的图象及性质 二二 学习指导 学习指导 21 1 角的概念的推广 从运动的角度 在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 360 0的角 这样一来 在直角坐标系中 当角的终边确定时 其大小不一定 通常把角的始边放在 x 轴正半轴 上 角的顶点与原点重合 下同 为了把握这些角之间的联系 引进终边相同的角的概念 凡是与终边 相同的角 都可以表示成 k 360 0 的形式 特例 终边在 x 轴上的角集合 k 1800 k Z 终边在 y 轴上的角集合 k 180 0 900 k Z 终边在坐标轴上的角的集合 k 900 k Z 在已知三角函数值的大小求角的大小时 通常先确定角的终边位置 然后再确定大小 弧度制是角的度量的重要表示法 能正确地进行弧度与角度的换算 熟记特殊角的弧度制 在弧度制下 扇形弧长公式 R 扇形面积公式 R 2 1 R 2 1 S 2 其中 为弧所对圆心角 的弧度数 2 利用直角坐标系 可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数 三角函数定义是本章重点 从它可以推出一些三角公式 重视用数学定义解题 设 P x y 是角 终边上任一点 与原点不重合 记 22 yx OP r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot 利用三角函数定义 可以得到 1 诱导公式 即 t 2 k 与 之间函数值关系 k Z 其规律是 奇变偶不变 符号看象限 2 同角三角函数关系式 平方关系 倒数关系 商数关系 3 三角变换公式包括和 差 倍 半公式 诱导公式是和差公式的特例 对公式要熟练地正用 逆用 变用 如倍角公式 cos2 2cos 2 1 1 2sin 2 变形后 得 2 2cos1 sin 2 2cos1 cos 22 可以作为降幂公式使用 三角变换公式除用来化简三角函数式外 还为研究三角函数图象及性质做准备 4 三角函数的性质除了一般函数通性外 还出现了前面几种函数所没有的周期性 周期性的定义 设 T 为非零常数 若对 f x 定义域中的每一个 x 均有 f x T f x 则称 T 为 f x 的周 期 当 T 为 f x 周期时 kT k Z k 0 也为 f x 周期 三角函数图象是性质的重要组成部分 利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法 熟练掌握平移 伸缩 振幅等变换法则 5 本章思想方法 1 等价变换 熟练运用公式对问题进行转化 化归为熟悉的基本问题 2 数形结合 充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题 3 分类讨论 三三 典型例题 典型例题 例1 已知函数 f x xcosx sinlog 2 1 1 求它的定义域和值域 2 求它的单调区间 3 判断它的奇偶性 4 判断它的周期性 分析 分析 22 1 x 必须满足 sinx cosx 0 利用单位圆中的三角函数线及 4 5 k2x 4 k2 k Z 函数定义域为 4 5 k2 4 k2 k Z 4 xsin 2xcosxsin 当 x 4 5 k2 4 k2 时 1 4 xsin 0 2cosxsin0 2 1 2logy 2 1 函数值域为 2 1 3 f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f x 不具备奇偶性 4 f x 2 f x 函数 f x 最小正周期为 2 注 利用单位圆中的三角函数线可知 以 象限角平分线为标准 可区分 sinx cosx 的符号 以 象限角平分线为标准 可区分 sinx cosx 的符号 如图 例2 化简 cos1 2sin12 2 分析 分析 凑根号下为完全平方式 化无理式为有理式 222 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2 2 cos 2 sinsin1 2 cos4 1 2 cos21 2 cos1 2 22 原式 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 0 2 cos 23 当 2 3 4 9 22 时 0 2 cos 2 sin 原式 2 sin2 当 2 2 3 24 3 时 0 2 cos 2 sin 原式 2arctan 2 sin 52 2 cos4 2 sin2 原式 2 2 3 2arctan 2 sin 52 2 3 2 sin2 注 1 本题利用了 1 的逆代技巧 即化 1 为 2 cos 2 sin 22 是欲擒故纵原则 一般地有 cossin 2sin1 cos 22cos1 sin 22cos1 2 三角函数式 asinx bcosx 是基本三角函数式之一 引进辅助角 将它化为 xsin ba 22 取 a b arctan 是常用变形手段 特别是与特殊角有关的 sin cosx sinx 3cosx 要熟练掌握变形结论 例3 求 00202 10sin2 1 140cos 1 140sin 3 分析 分析 原式 00202 0202 10sin2 1 140cos140sin 140sin140cos3 16 160sin 200sin 16 80cos80sin 200sin 8 10sin2 1 80sin 4 1 200sin80sin4 10sin2 1 40cos40sin 140sin140cos3 140sin140cos3 0 0 00 0 0 02 00 0200 0000 注 在化简三角函数式过程中 除利用三角变换公式 还需用到代数变形公式 如本题平方差公式 例 4 已知 0 0 900 且 sin sin 是方程 0202 40cosx 40cos2 x 2 1 0 的两个实数根 求 sin 5 的值 分析 分析 24 由韦达定理得 sin sin 2cos40 0 sin sin cos2400 2 1 sin sin 40cos1 2sinsin4 sin sin sin sin 0222 0 40sin2 又 sin sin 2cos40 0 000 000 5sin 40sin240cos2 2 1 sin 85sin 40sin240cos2 2 1 sin 0 0 900 0 0 5 85 sin 5 sin60 0 2 3 注 利用韦达定理变形寻找与 sin sin 相关的方程组 在求出 sin sin 后再利用单调性求 的值 例 5 1 已知 cos 2 5cos 0 求 tan tan 的值 2 已知5 cos3sin cossin2 求 2sin42cos3的值 分析 分析 1 从变换角的差异着手 2 8cos 5cos 0 展开得 13cos cos 3sin sin 0 同除以 cos cos 得 tan tan 3 13 2 以三角函数结构特点出发 3tan 1tan2 cos3sin cossin2 5 3tan 1tan2 tan 2 25 5 7 tan1 tan8tan33 cossin cossin8 sin cos3 2sin42cos3 2 2 22 22 注 齐次式是三角函数式中的基本式 其处理方法是化切或降幂 例例 6 6 已知函数 2 x sin 2 x sin 24 a x f a 0 1 求 f x 的最值 并讨论周期性 奇偶性 单调性 分析 分析 对三角函数式降幂 8 1x2cos 2 x2cos1 4 1 xsin 4 1 xsin 2 1 2 x cos 2 x sin 2 x sin1 2 x sin 2 x sin 2 x sin 22 222224 f x 8 1x2cos a 令 8 1 x2cos 8 1 u 则 y a u 0 a0 0 在一个周期内 当 x 8 时 ymax 2 当 x 8 5 时 ymin 2 则此函数解析式为 A 42 x sin 2y B 4 x2sin 2y C 4 xsin 2y D 8 x2sin 2y 4 已知 tan1 1tan 1998 则 2tan2sec的值为 A 1997 B 1998 C 1999 D 2000 5 已知 tan tan 是方程04x33x2 两根 且 2 2 则 等于 A 3 2 B 3 2 或 3 C 3 或 3 2 D 3 6 若 3 yx 则 sinx siny 的最小值为 A 1 B 2 1 C 4 3 D 4 1 7 函数 f x 3sin x 10 0 5sin x 700 的最大值是 A 5 5 B 6 5 C 7 D 8 8 若 0 2 则使 sin cos cot 则 sin sin 27 B 函数 y sinx cotx 的单调区间是 2 k2 2 k2 k Z C 函数 x2sin x2cos1 y 的最小正周期是 2 D 函数 y sinxcos2 cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称 则 42 k k Z 10 函数 x2cosx2 sinlog x f 3 1 的单调减区间是 A 8 k 4 k B 8 k 8 k B 8 3 k 8 k D 8 5 k 8 k k Z 二 二 填空题填空题 11 函数 f x sin x 3cos x 的图象关于 y 轴对称 则 12 已知 3 且3 tan tan c tan 0 c 为常数 那么 tan 13 函数 y 2sinxcosx 3 cos 2x sin2x 的最大值与最小值的积为 14 已知 x 1 2 y 1 2 1 则 x y 的最大值为 15 函数 f x sin3x 图象的对称中心是 三 三 解答题解答题 16 已知 tan 2 1 tan 7 1 0 求 2 的值 17 是否存在实数 a 使得函数 y sin 2x acosx 2 3 a 8 5 在闭区间 0 2 上的最大值是 1 若存在 求出对应的 a 值 18 已知 f x 5sinxcosx 35cos 2x 3 2 5 x R 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 单调区间 3 求 f x 图象的对称轴 对称中心 平面向量平面向量 一 复习要求一 复习要求 28 18 向量的概念 2 向量的线性运算 即向量的加减法 实数与向量的乘积 两个向量的数量积等的定义 运算律 3 向量运算的运用 二 学习指导二 学习指导 1 向量是数形结合的典范 向量的几何表示法 有向线段表示法是运用几