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第八章多元函数微分学习题课第八章多元函数微分学习题课 电子课 件电子课 件 2008年年4月月8日星期二日星期二 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 一 主要内容一 主要内容 平面点集平面点集 和区域和区域 平面点集平面点集 和区域和区域 多元函数概念多元函数概念 多元函数概念多元函数概念 多元函数多元函数 的极限的极限 多元函数多元函数 的极限的极限 极 限 运 算极 限 运 算 极 限 运 算极 限 运 算 多元函数多元函数 连续的概念连续的概念 多元函数多元函数 连续的概念连续的概念 多元连续函数多元连续函数 的性质的性质 多元连续函数多元连续函数 的性质的性质 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 全微分全微分 概念概念 全微分全微分 概念概念 偏导数偏导数 概念概念 偏导数偏导数 概念概念 方向导数方向导数 方向导数方向导数 全微分全微分 的应用的应用 全微分全微分 的应用的应用 复合函数复合函数 求导法则求导法则 复合函数复合函数 求导法则求导法则 全微分形式全微分形式 的不变性的不变性 全微分形式全微分形式 的不变性的不变性 高阶偏导数高阶偏导数 高阶偏导数高阶偏导数 隐函数隐函数 求导法则求导法则 隐函数隐函数 求导法则求导法则 微分法在微分法在 几何上的应用几何上的应用 微分法在微分法在 几何上的应用几何上的应用 多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值多元函数的极值 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 1 多元函数的极限 多元函数的极限 说明 说明 1 定义中 定义中的方式是任意的 的方式是任意的 0 PP 2 二元函数的极限运算法则与一元 二元函数的极限运算法则与一元 函数类似 函数类似 存在性存在性 定义 夹逼定理定义 夹逼定理 不存在不存在 特殊路径 两种方式特殊路径 两种方式 求法求法 运算法则 定义验证 夹逼定理运算法则 定义验证 夹逼定理 消去致零因子 化成一元极限等消去致零因子 化成一元极限等 2 多元函数的连续性 多元函数的连续性 lim 0 0 PfPf PP PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3 偏导数概念 偏导数概念 定义 求法定义 求法 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数高阶偏导数 纯偏导 混合偏导纯偏导 混合偏导 4 全微分概念 全微分概念 定义定义 可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件可微的充分条件 利用定义验证不可微利用定义验证不可微 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 多元函数连续 可导 可微的关系多元函数连续 可导 可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5 复合函数求导法则 复合函数求导法则 yxvvyxuuvufz x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 法则22 分道相加 连线相分道相加 连线相 乘乘 法则的法则的推广推广 任意任意多个多个中中间变量间变量 任意 任意多多 个自变量个自变量 如何如何求二阶偏导数求二阶偏导数 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 6 全微分形式不变性 全微分形式不变性 无论 是自变量无论 是自变量的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数 它的全微分形式是一样的的函数 它的全微分形式是一样的 zvu vu dv v z du u z dz 7 隐函数的求导法则 隐函数的求导法则 0 1 yxF 0 2 zyxF 0 0 3 zyxG zyxF 0 0 4 vuyxG vuyxF z y z x F F y z F F x z PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 公式法 直接法 全微分法 公式法 直接法 全微分法 8 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 求直线 平面的方程求直线 平面的方程 定点 过点 定向 方向向量 法向量 定点 过点 定向 方向向量 法向量 曲线 参数式 一般式给出曲线 参数式 一般式给出 曲面 隐式 显式给出曲面 隐式 显式给出 求隐函数偏导数的方法求隐函数偏导数的方法 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 10 多元函数的极值 多元函数的极值 9 方向导数与梯度 方向导数与梯度 定义定义 计算公式 注意使用公式的条件 计算公式 注意使用公式的条件 梯度的概念梯度的概念 向量向量 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系 极值 驻点 必要条件极值 驻点 必要条件 充分条件充分条件 0 2 yx令令 0 0 0 等等价于价于则则yx cos cos sin 0 2 22 yx xxy cos cos sin 2 0 lim 22 0 0 yx xxy y x 故故 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例2 已知已知 ztzyyxfw 求求 t w z w y w x w 解解 1 f x w 21 ff y w 32 ff z w 3 f t w t w z w y w x w 0 例例3 已知已知 sin cbyaxz 求求 nm nm yx z PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 解解 cos cbyaxa x z 2 sin cbyaxa 2 2sin 2 2 2 cbyaxa x z LLL 2 sin mcbyaxa x z m m m 22 sin 1 m cbyaxba yx z m m m LLL 2 sin nm cbyaxba yx z nm nm nm PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例4 2 2 2 3 yx z y z y z f x y xyfxz 求求 具有具有二阶连续偏导数二阶连续偏导数设设 解解 1 21 3 x fxfx y z 2 2 1 4 fxfx 1 1 2221 2 1211 4 2 2 x fxfx x fxfx y z 2 2212 3 11 5 fxfxfx 2 2212 3 11 5 fxfxfx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 xy z yx z 22 2 2 1 4 fxfx x 2 4 2 2221 2 2 2 1211 4 1 3 x y fyfx xf x y fyfxfx 24 2211 4 21 3 f yf yxfxfx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例5 0 sin 0 2 dx du z f xyzexzyxfu y 求求且且 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数 设设 解解 dx dz z f dx dy y f x f dx du cosx dx dy 显然显然 dx dz 求求得得的导数的导数两两边边求求对对 0 2 xzex y 02 321 dx dz dx dy ex y 于于是可是可得得 cos2 1 2 sin 1 3 xex dx dz x cos2 1 cos 2 sin 1 3 z f xex y f x x f dx du x 故故 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 zyx ezyx 求求 2 22 2 2 y z yx z x z 解解一一记记 zyx ezyxzyxF 则则 zyx FFF 1 zyx e 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解解二二 方方程程两两边对边对x求偏导求偏导 1 1 x z e x z zyx 0 1 1 zyx e x z 例例6 设设 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 1 x z 由轮换对称由轮换对称性性1 y z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 两两边取全边取全微分微分 dzdydxedzdydx zyx 0 1 dzdydxe zyx 0 dzdydx即即dydxdz 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解三解三 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 设有设有方方程组程组 33333 22222 cuzyx buzyx auzyx 求求 dx dy 解解 两两边对边对x求导求导 0 0 01 2222 uuzzyyx uuz zyyx uzy 这这是一是一个以个以uzy 为未知量为未知量的的三三元元 一一次次方方程组程组 若若系数系数行列行列式式 222 111 uzy uzyD Vandermond行列行列式 式 0 zuyuyz 例例7 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 则有则有 222 111 1 uzx uzx D y 1 zuxuxz D yuyz xuxz 在在半半径径为为R的的圆圆的一的一切内接三角形切内接三角形中 中 求求其面积最大者其面积最大者 解解如图若以如图若以x y z表示三角形表示三角形的的 三边三边所所对对的的圆圆心心角角 则 则 zyx 三角形三角形的的面积面积 sinsin sin 2 1 2 zyxRA 例例8 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 问题就是求问题就是求A在条件在条件 zyx 下的最大值下的最大值 x y z 2 sinsin sin zyxzyxzyxF 0 zyx 0cos 0cos 0cos zF yF xF z y x zyxcoscoscos zyx 3 2 2 max 4 33 RA 记记 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例9 已知已知 yxuu 满足满足方方程程 0 2 2 2 2 y u a x u a y u x u 试选择试选择参参数数 通通过变换过变换 yx eyxvyxu 使使原原方方程变形程变形所所得得新新方方程程中中没没有有v对对x y 的一阶偏导数的一阶偏导数 解解 yx ev x v x u yx ev x v x v x u 2 2 2 2 2 2 yx ev y v y u yx ev y v y v y u 2 2 2 2 2 2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 代入方程 消去代入方程 消去 yx e 0 2 2 22 2 2 2 2 vaa y v a x v a y v x v 令令 02 02 a a 解得解得 2 2 aa 因因 0 22 a 故变换故变换后后的方的方程为程为 0 2 2 2 2 y v x v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例10 0 000 2 2 2 2 2 2 模模此此方方向向导数等导数等于于梯度梯度的的 具有具有什么什么关系关系时时的方的方向向导数 导数 问问的的向向径径 处沿处沿点点在在点点求求 cbar zyxM c z b y a x u 解解 2 0 2 0 2 00000 0 zyxrzyxr Q cos cos cos 0 0 0 0 0 0 r z r y r x 处处的方的方向向导数导数为为在在点点 M coscoscos 0 MMMM z u y u x u r u PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 222 r z c z r y b y r x a x 2 2 2 2 2 2 2 0 000 c z b y a x r 2 2 0 2 0 2 000 0 zyx zyxu 处处的的梯度梯度为为在在点点 M k z u j y u i x u gradu MMMM 222 2 0 2 0 2 0 k c z j b y i a x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 4 2 4 2 4 2 000 c z b y a x gradu M 时时当当cba 2 222 2 000 zyx a gradu M Q 2 2 2 0 2 0 2 22 0 2 0 2 222 2 0 0 0 000 zyx azyx zyx a r u M 0 M M gradu r u 模模此此方方向向导数等导数等于于梯度梯度的的相等相等时时故故当当cba PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例11 之之间间的的最最短距离短距离 与与平面平面求求旋转抛物旋转抛物面面22 22 zyxyxz 解解 22 6 1 022 22 zyxd dzyxP yxzzyxP 的的距离距离为为到到平面平面 则则上上任一任一点点为为抛物抛物面面设设 分分析析 最最小小 即即 且使且使满足满足 使得使得本题本题变为变为求一求一点点 22 6 1 22 6 1 0 22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 22 6 1 222 yxzzyxzyxF 令令得得 4 3 0 2 22 3 1 2 02 22 3 1 1 02 22 3 1 22 yxz zzyxF yzyxF xzyxF z y x 8 1 4 1 4 1 zyx解解此此方方程组得程组得 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 8 1 4 1 4 1 即得即得唯唯一一驻点驻点 处处取得最取得最小小值值 驻点驻点 故故必在必在 一定存在 一定存在 且有且有唯唯一一根据题根据题意意距离距离的的最最小小值值 8 1 4 1 4 1 64 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 min d PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 试试求求曲面曲面xyz 1上上任一任一点点 处处的法线方的法线方程程和和切平面切平面方方程程 并并证明证明切平面切平面与与三个三个坐坐标面标面所围所围成的成的 四四面面体体的的体体积积是一是一个个常常量量 证证设设1 xyzzyxFxyFxzFyzF zyx 法线法线 zyx 切平面切平面0 zyx 即即 3 zyx 例例12 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 切平面在三个坐标轴上的切平面在三个坐标轴上的截距截距分别为分别为 3 3 3 3 3 3 故切平面故切平面与与三个三个坐坐标面标面所围所围成的成的四四面面体体的的体体积积为为 高高底底面积面积 3 1 V 3 3 3 2 1 3 1 2 9 2 9 是一是一个个常常量量 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 例例13 设设y f x t 而而t是是由由F x y t 确确定的定的 x y的函数 的函数 试试证明证明 tyt txtx FFf fFFf dx dy 证一证一 方方程组程组 0 tyxF txfy 确确定定了了两两个个一元一元隐隐函数函数y y x t t x 两两边边分分别别对对x求导求导得得 xty xt F dx dt F dx dy F f dx dt f dx dy PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 解得解得 tyt txtx FFf fFFf dx dy 证二证二本题主本题主要是要是弄清楚弄清楚函数关系 函数关系 具具体体求导则求导则 很简单很简单 初看起来初看起来似似乎乎y是是x的的显显函数函数y f x t 但但由由F x y t 0 可可得得t t x y 代入代入 y f x t