线性代数第五章 相似矩阵与二次型 5.3 相似矩阵.pdf

第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 3 相似矩阵相似矩阵 一 方阵的相似一 方阵的相似 二 二 方阵可对角化的条件方阵可对角化的条件 三 三 小结小结 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 1 5 3 1 A BnP PAPB BAABA PAPAP AB 设设都都是是 阶阶矩矩阵阵 若若有有可可逆逆矩矩阵阵使使 则则称称 是是 的的或或说说矩矩阵阵 与与 相相似似 对对 进进 行行运运算算称称为为对对 进进行行可可逆逆矩矩阵阵 称称为为把把 变变 相相似似 成成 的的 矩矩阵阵 相相似似变变换换 相相 定定 似似变变换换矩矩阵阵 义义 一 相似矩阵与相似变换的概念一 相似矩阵与相似变换的概念 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 等价关系等价关系 111 1212 2 PA A PPA PPA P 3为正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABA mm 相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质 111 11221122 12 4 Pk Ak A Pk P A Pk P A P kk 其其中中是是任任意意常常数数 1 自反性自反性 A与与A本身相似 本身相似 2 对称性对称性 A与与B相似 则相似 则B与与A相似 相似 3 传递性传递性 A与与B相似 相似 B与与C相似 则相似 则A与与C相似相似 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 证明证明 1 ABPPAPB 与与 相相似似可可逆逆阵阵使使得得 PEPAPPEB 11 PEAP 1 PEAP 1 EA 5 3 1 nABAB AB 若若 阶阶矩矩阵阵 与与 相相似似 则则 与与 的的特特征征多多项项 式式相相同同 从从而而 与与 的的特特征征值值 定定 亦亦相相同同 理理 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 2 12 1 n n n An 若若 阶阶方方阵阵与与对对角角阵阵推推 相相似似 则则即即是是 的的 个个特特征征值值 论论 推论推论2 若若n阶方阵阶方阵A与与B相似 则相似 则Tr A Tr B 一般地 方阵一般地 方阵A与对角阵相似 我们就称方阵与对角阵相似 我们就称方阵A可可 对角化对角化 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 证明证明 1 PPAP 假假设设存存在在可可逆逆阵阵使使为为对对角角阵阵 12 n PPp pp 把把用用其其列列向向量量表表示示为为 5 3 2nA An 阶阶方方阵阵 可可对对角角化化的的充充要要条条件件是是 有有 个个线线性性无无关关的的特特 定定 征征向向量量 理理 二 方阵可对角化的条件二 方阵可对角化的条件 1 2 1212 nn n A pppppp 即即 1122 nn ppp 1 PAPAP P 得得由由 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1212 1122 nn nn A pppAp ApAp ppp 1 2 iii Appin 于于是是有有 ii i APp A 可可见见 是是 的的特特征征值值 而而 的的列列向向量量就就是是 的的对对应应于于特特征征值值 的的特特征征向向量量 12 n Pppp 又又由由于于 可可逆逆 所所以以线线性性无无关关 1 An nPP AP 反反之之由由于于 恰恰好好有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 这这 个个特特征征向向量量即即可可构构成成可可逆逆矩矩阵阵使使 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 推论推论 如果如果n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值互不相等 个特征值互不相等 则则A与对角阵相似 与对角阵相似 说明说明如果如果A的特征方程有重根 此时不一定有的特征方程有重根 此时不一定有 n个线性无关的特征向量 从而矩阵个线性无关的特征向量 从而矩阵A不一定能不一定能 对角化 但如果能找到对角化 但如果能找到n个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量 A还是能对角化 还是能对角化 注意 注意 矩阵矩阵A有有n个不互不相等的特征值个不互不相等的特征值 只是只是A可对角化的充分条件 而非必要条件可对角化的充分条件 而非必要条件 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 110211 31 1 2 430 3 020 13 102413 例例判判断断下下列列方方阵阵能能否否对对角角化化 解解 1 由由 2例例1知 知 A有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量 或或A有两个不同特征值有两个不同特征值 因而 因而A可以对角化 且存可以对角化 且存 在可逆阵在可逆阵P 1 2011 0411 P APP 其其中中 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 2 由由 2例例2知 知 A只有两个线性无关的特征向量 因只有两个线性无关的特征向量 因 而而A不能对角化不能对角化 3 由由 2例例3和定理和定理2知 知 A有三个线性无关的特征向量 有三个线性无关的特征向量 因而因而A可以对角化 且存在可逆阵可以对角化 且存在可逆阵P 使得使得 1 1101 2 010 2114 PAPP 其其中中 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式 1 APBP 若若 111 01 11 1 nn n a PB Pa PBP aPBPa PEP Ak 的多项式的多项式A E a A aAaAa A nn nn 1 1 10 1 PB P 1 k PB P 11 011 nn nn P a Ba BaBa E P 1 PBP 1 PBP 1 PBP 1 PBP k个个 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 11 kk PP AP APPAPP 特特别别地地 若若可可逆逆矩矩阵阵 使使为为对对角角矩矩阵阵 则则 1 2 k k k k n 对对于于对对角角矩矩阵阵有有 1 2 n 利用上利用上 述结论可以述结论可以 很方便地计很方便地计 算矩阵算矩阵A 的的 多项式多项式 A 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 100 31 2 13 AA 例例若若 求求 解 由例解 由例1知 存在可逆阵知 存在可逆阵P 使使 1 2011 0411 P APP 其其中中 上式改写为上式改写为 11 11 20 22 0411 22 APPP 其其中中 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 100 1001 20 04 APP 100 200 11 1120 22 111102 22 9919999199 9919999199 2222 2222 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 223112 3 34 x y yx 例例若若与与相相似似 求求 解 利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等 得解 利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等 得 2214 223146 x xy 17 12xy 解解得得 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 fAf AO 设设是是矩矩阵阵 的的特特征征多多项项式式 则则定定理理 证明证明 A只只证证明明 与与对对角角矩矩阵阵相相似似的的情情形形 1 12 n AP P APdiag 若若