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文档简介

_1. 在数列an中，a1=0，且对任意kN*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，()证明：a4，a5，a6成等比数列； ()求数列an的通项公式； ()记，证明。 解：()证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，a5=a4+4=12，a6=a5+6=18，从而， 所以a4，a5，a6成等比数列()由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，kN*，所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+(a3-a1)=4k+4（k-1）+41=2k（k+1），kN*，由a1=0，得a2k+1=2k（k+l），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，所以数列an的通项公式为或写为。()证明：由()可知a2k+1=2k(k+1)，a2k=2k2，以下分两种情况进行讨论：(1)当n为偶数时，设n=2m(mN*)，若m=1，则，若m2，则，所以，从而，n=4，6，8， （2）当n为奇数时，设n=2m+1（mN*），所以，从而，n=3，5，7，综合（1）和（2）可知，对任意n2，nN*，有。2.（本小题满分12分）数列()求并求数列的通项公式；()设证明：当解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， 得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n = k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，3.
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