悟“和而不同”品数学智慧——例谈“和而不同”之道在初中数学教学中的运用.pdf

3 2数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第l 期 悟 和而不同 品数学智慧 例谈 和而不同 之道在初中数学教学中的运用 蔡卫兵 宁波市鄞州实验中学3 1 5 1 0 0 1 引言 和而不同 语出 论语 指在为人处世方面 正确的方法应该是既坚持原则又不排斥不同意 见 在相互争论辩解中达成共识 从哲学意义上理 解 和而不同 富有深刻的含义 和 即统一 和 谐 它是抽象的 内在的 不同 是具体的 外在 的 容 不同 才能达到 和 的境界 现实中 和 而不同 就是在坚持原则的基础上 不强求一致 承认 包容乃至尊重差异 以达共存共荣 义务教育 数学课程标准 指出 义务教育阶 段的数学课程是培养公民素质的基础课程 具有 基础性 普及性和发展性 因而 初中数学教学内 容兼容并包 多元并存 课程标准又指出 数学课 程应致力于实现义务教育阶段的培养目标 要面 向全体学生 适应学生个性发展的需要 因此 数 学课堂绝不是老师一个人的课堂 也不是少数几 个 思维活跃 的学生的课堂 而应该是全体学生 的课堂 是师生思维碰撞 情感共鸣 和谐相处的 课堂 教学实际中 我们面对的是文化背景 学习习 惯 智力差异等都不同的学生 因而在课堂中我们 不妨引用 和而不同 之道 承认并正视学生个性 差异 尊重个性的独特性 自主性和创造性 让学 生得到多元评价 能够 人尽其才 才尽其用 在不同中营造一种 和谐相处 的课堂氛围 从而 让数学课堂洋溢生命的激情 充满探索的快乐 绽 放绚丽的个性之花 本文以一道数学习题课堂教 学过程为例 细谈课堂教学中 和而不同 之道的 运用 供读者参考 研究 2 教学过程简录 问题 如图所示 在 A B C 中 么C 9 0 A C 8 A B 1 0 点P 在线段A C 上 A P 一2 若0 0 的圆心0 在线段B P 上 且O O 与A B A C 分别 切于点E D 求0 0 的半径 口 CDP 2 1 信息提取 和而不同 师 请同学们先对此题的题设进行全方位审 视 你能获得哪些信息 生1 R t A B C 的三边 R t P B C 的三边 O o 与A B A C 分别相切 生2 切线与过切点的半径垂直 可能构造相 关的直角三角形利用勾股定理解决 生3 圆心到切线的距离等于半径 可能可采 用面积法列方程加以加以解决 生4 这里的0 0 与A B A C 都相切 则A O 平分么B A C 可从角平分线的这一信息出发 试试 评析任何一个数学问题的陈述一般由一些 题设条件 初始状态 和问题的要求 目标状态 两 部分组成 它们在语言结构与思维逻辑上具有一 定的形式 在知识结构也上蕴含一定的信息 这些 信息往往隐含着如何从初始状态通向目标状态的 启示 为思维的流畅进行树立第一块路标 但是不 同的学生对同一数学问题可能存在不同的认识与 理解 他们的直觉思维和数学建构方式也不尽相 同 不同角度和不同层次的信息提取 和而不同 学生的相互补充便能弥补某些信息的缺口及差 异 从而将已有的概念性知识 理解方法和策略方 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期数学通报 3 3 面的程序性知识联系起来 最终形成关于问题的 内在表征模型 2 2 解法探究 和而不同 师 审题很仔细全面 切线的性质掌握得很 好 那就请同学们利用切线的性质试一试 同时想 一想如何利用A O 是么B A C 的角平分线这一信 息呢 生5 由0 0 与A B A C 分别切于点D E 连 接0 D O E 0 D 上A C o E 上A B 设o D O E o O 的半径r A D A E r 2 B E 8 一r B 0 6 2 一 2r 在R tA B O E 由勾股定理得 2 8 一r 2 一 6 2 一 2 r 解方程得r 一1 CDP 生6 由0 0 与A B A C 分别相切 则圆心0 到直线A B A C 的距离都等于半径r 即A A B O 中A B 边上的高和A A P O 中A P 边上的高均为 r 采用面积法 连接A O 则S 脚一S A B o S A P 0 S 脚 所以 专 6 8 一百1 1 0 r 丢 2 r 专 6 6 解方程得r 一1 日 CDP 生7 由A 0 是么B A C 的角半分线 则口J 由 面SAABO 耥一一AB 呸SAnto一 一OBP O DA PSO P 所以等一 S A P 0A A P 0 0 P 筹 旱 而P B 6 2 因此o P 一厄 即r 一1 生8 延长A O 交B C 于F 由上可知 器一筹一i 5 所以F C 8 O i l A A O D c o A A F C 得丽O D 一丽A D 代人计算得O D 1 评析在探求过程中 由于学生信息提取点 与思维发散点不同 获得的解题愚路律律也各不 相同 在平等 民主和谐的氛围中 在不改变条件 和问题的情况下 给学生充分的思考时间与广阔 的思维空间 引导学生多角度多方面 挖掘 定能 找出多种解题途径 这样不仅让学生的思维更加 灵活和开阔 还能达到培养求异思维的效果 一举 多得 一花独放不是春 百花齐放春满园 解法 探究 和而不同 便是 百花齐放 的状态之一 在 某种程度上巧妙地避免了教师 一言堂 的尴尬 也更能激发学生学习兴趣 调动学生学习积极性 2 3 课堂生成 和而不同 教师通过一个手势 一个眼神 一个微笑 准 备就此罢休时 一学生提出 若能找到么0 A D 的 对边0 D 与邻边A D 的关系即能解决问题 即找 1 寺z 二B A C 的正切值 厶 1 师 找寺么B A C 的正切值 的想法很深刻 厶 切线的问题转化为角平分线的问题 很好地运用 了转化的数学思想 现在继续将原问题转化 老师 没想过也没想到这个想法 你们又是怎么认为呢 静观其变中 B C MDP 生9 三角形的内心即角平分线的交点 作 A A B C 的内切圆o N A C 边上的切点为M 此内 切圆的半径R 丛 型警 二坐一2 t a n 么0 A P t a nL B A Ct a nN A M 一 万N 砑M 一百2 一了1 所以 币r 一了1 所以r 一1 曰 CDPAF 生1 0 延长C A 至一点F 使A F A B 连接 B F L F l Z B A C t a n 么F 一西B C 一鑫一号 万方数据 3 4 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 所以r j 二2 一i 1 所以r 1 曰 FCDPA 1 生1 1 g 刑 L B A C 事实上以么B A C 为顶 1 角的等腰三角形的底角为9 0 一 么B A C 由此 想到延长A C 至点F 使得A F A B 么A F B 一 11 9 0 一寺I B A C 故么F B C 么B A c 弋P 1 因此t a n L F B C 2 蠢一言一寺 从而求得r 一1 评析有些问题蕴涵丰富的程序性和策略性 知识 具有延伸性和方向性 能扩大学生学习的心 理空间 激活旧知 联系新知 学生由于知识结构 思维方式存在差异 思考问题的角度有时会出人 意料 但找寺么B A c 的正切值既合乎培养学生化 归思想的教学流程 又能真实反映学生情况 使得 课堂充满理性和灵动 教师及时将学生所想重新 设计并组织学生的学习活动 顺势将课堂向纵深 推进 和而不同 的课堂生成常常会碰撞迸发出 绚丽的火花 生成新的更有价值的见解 无论是作 三角形的内切圆还是外部直角三角形的构造与外 部等腰三角形的构造 都是学生个性化的想法 正 是数学逻辑整合的生动和谐的最佳体现1 2 4 问题变式 和而不同 师 大家对这个问题已经有了精彩的分析 新 意的解法 深刻的认识 但对数学家或好的问题解 决者来说 一个问题的解决往往孕育着新问题的 产生 同学们 你们能否通过改变数字 改变图形 或交换部分条件与部分结论或一般化 特殊化等 方式 提出一些类似的问题 并体会上述的解题思 想和解题方法对新问题是否适用呢 生1 2 已知原问题中0 0 的半径为1 其余条 件不变 求A P 的长 生1 3 将原问题中的条件A P 2 改为A P 一 3 其余条件不变 求o o 的半径 生1 4 将原问题中的条件点P 在线段A C 上 改为点P 在线段C A 的延长线上 其余条件不变 求O O 的半径 生1 5 将原问题中的条件点P 在线段A C 上 改为在点P 在直线A C 上 其余条件不变 求0 0 的半径 生1 6 将原问题中的条件点P 在线段A C 上 A P 2 改为在点P 在直线A C 上 C P 6 其 余条件不变 求0 0 的半径 评析学生如果没有经历有深度的过程 没 有在过程中去体验 感悟 发现 这样的学生便是 没有思想的学生 问题变式则可引导学生进行深 度思考 且学生的思维是活跃开放的 只要教师创 设合适的环境 并给予恰当的引导 学生的创造性 便可得到极大激发 利用主图 进行 和而不同 的迁移变化 由此及彼 由正向反 由表及里 由点 到面 这种多种思维方法的训练 不仅可缓解 克 服不良定势和意义障碍 还能培养学生多层次 多 角度提出更多问题 是提高学生数学学科自我监 控能力的关键措施 2 5 数学感悟 和而不同 教师情不自禁地说 老师为你们的出色表现 而自豪 一题多解与一题多变 妙极了 请问不同 的 解 与 变 之间有联系吗 对于上述 解 与 变 的获得 你在知识和方法上有何体会和 感悟 生1 7 在数学解题过程中审题不能只看题目 的表层 要全方位审视 多角度联想 此题从切线 信息的搜集 获取 运用 到A O 是么B A C 的角平 1 分线信息和 L B A C 的正切值信息的处理和制 厶 作 模型的探究与建构 都离不开信息的提取和 整合 生1 8 化归与转化的思想是解决数学问题的 根本思想 解题的过程实际上就是通过观察 分 析 类比 联想等思维过程一步步地把数学对象转 化到相对简单的问题模式的过程 生1 9 抓住问题实质 广泛联想 敢于猜想 作三角形的内切圆或外部构造直角三角形或等腰 三角形 找到角a 的半角 都需以一些常见的基本 图形为基底 构造已经认识的某个符合整体结构 与局部特征联系的数学模型的图形 往往可快捷 地获得解题思路 而且构造R t 下转第3 7 页 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 数学通报 3 7 N 则直线M N 的斜率为k 一一了b 2 一x o n Y o 设抛物线C 的方程为Y2 2 缸 点P x Y y O 为抛物线C 上的一点 直线P M P N 关于z z 对称 分别交抛物线C 于点M N 则直线M N 的斜率为k 一一鱼 Y 0 例2 2 0 1 1 年全国高中数学联赛一试1 1 题 作斜率为了1 的直线z 与椭圆c x 丽2T 百y 2 1 交于 A B 两点 如图所示 且P 3 2 2 在直线l 的左上方 V 厂 莎 O 矽 一 1 证明 P A B 的内切圆的圆心在一条定 直线上 2 若么A P B 一6 0 求 P A B 的面积 分析 1 设P 3 厄 一抠 P 一3 厄 厕分别是点P 3 抠 厄 关于z 轴 Y 轴的对称 点 则是 P 一一 忌加 志P 一一号 一 b 2 故P A P B 关于直线P P z 3 拉对称 记圆心 为I 则J 在直线P P 上 2 略 例3 2 0 0 4 年北京理科1 7 题 过抛物线Y 2 2 p x 户 o 上一定点P x Y 弘 o 作两 条直线分别交抛物线于A x Y B x Y I 求该直线上纵坐标为要的点到焦点F 厶 的距离 当P A P B 斜率存在且互补时 求 塑业的值 并证明直线A B 的斜率是非零 Y o 常数 解 J j 夕j O g r m 赶 设A x Y 1 B x 2 Y 2 故足A B 一一鱼 由馁三衰净糕 学一2 净塑业 一2 若点P x Y Y 0 为曲线C 外或内一 点 结论也非常有意思 读者不妨一试 上接第3 4 页 不仅仅限于在原有图形的内部 也可大胆在外部 开拓新天地 评析数学感悟就是要把数学的知识内化为 学生个人的知识 把数学的方式内化为学生自身 的行为方式 把数学的思想内化为学生个体的观 念品质 从学生交流的感受可以看到 我们的学生 也渴望能参与教学过程 希望成为主角 作为教学 中的主导者 我们教师应努力为学生创造这样一 种新氛围 让学生有时间去思考 去交流自己的所 思所得 让学生展现个性 释放灵性 真正成为数 学学习活动的主人 结束语 和实生物 和以处众 和也者 天下 之达道