大学力学数学知识补充.pdf

数学预备知识 一 微积分初步微积分初步 函数 导数和微分 2 1 函数 导数和微分函数 导数和微分 函数 函数 1 5 对应 取值 称称 一 函数 一 函数 xy xf 14 x是是 的函数的函数 yx y f u y f u y是u的函数 u g x u g x u是x的函数 复合函数 复合函数 称y是x的 复合函数 xgfy 函数 导数和微分 3 y f x yo y yo xo x y xo x x y 二 导数 二 导数 如图 函数y f x 函数 y f x 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率平均变化率 xy 在 0 xx 处的导数值 x y xf x xx 0 0 0 lim 导函数 导函数 函数 xfy 在任意位置 x处的导数值 简称 导数 记作 dx dy yxf x x y xf x 0 lim 函数 导数和微分 4 导数的基本公式 导数的基本运算法则 复合函数的导数复合函数的导数 ufy 则 xux uyy dx du du dy dx dy 或 已知 xu 的复合函数 为 即 xyxfy xx nn ee xx xx xx nxx c 6 ln 5 sin cos 4 cos sin 3 2 0 1 1 1 2 3 2 1 v uvvu v u uccuuvvuuv vuvu 例如 例如 求下列函数的导数 xy 3 sin 解 解 令 3 uy 则 xux uyy xusin 2 3u xxcossin3 2 xcos 二阶导数 xfy 对 x进行两次求导 2 2 dx yd yxf x 例如 例如 求函数 3 xy 的二阶导数 2 3xyx 函数 解 解 xxy xx 6 3 2 记作 函数 导数和微分 6 求函数的微分 2 3xy 解 解 3 1 2 xddy dxx 3 2 xdx6 定义 三 微分三 微分 xfy 在点 x处可导 则 xfy 在点 x 记作 dxxfdy 处的微分 函数 不定积分 7 2 不定积分不定积分 一 原函数 一 原函数 若存在函数 并有 xF xfxF 为 的一个原函数一个原函数 xF xf 则称 讨论 xf 只要有一个原函数 xF 它就有无穷多个原函数 ConstxF 函数 定义 二 不定积分 二 不定积分 1 概念概念 函数 的所有原函数所有原函数叫做 的不定积分 xf xf记作 dxxf xfxFCxFdxxf 其中 不定积分 8 2 不定积分的基本公式不定积分的基本公式 例如例如 dxx 1 Cx 2 3 3 2 3 不定积分的运算法则不定积分的运算法则 dxxf xuu 令 duug CuF CxuF dxdu xu 例如例如 求不定积分 dx x 1 1 1 1 1 1 1 1 xd x dx x du u 1 Cu lnCx 1ln xu 1令 定积分 9 3 定积分定积分 一 定积分的概念 一 定积分的概念 f i i n 1 0 b y a x i x n i i n b a xfdxxf 1 lim 为积分区间 称积分上 下限 baba 定积分的几何意义 定积分的几何意义 由函数曲线 自变量坐标轴以及积由函数曲线 自变量坐标轴以及积 分上 下限决定的曲边梯形的面积分上 下限决定的曲边梯形的面积 二 牛顿 二 牛顿 莱布尼茨公式 计算公式 莱布尼茨公式 计算公式 在区间 a b 内 xfxF 则 b a b a xFdxxf aFbF 数学预备知识 二 矢量矢量 矢量 11 1 矢量的概念矢量的概念 标量 标量 仅用正 负数值即可充分描述的量 如 时间 温度 矢量 矢量 具有一定大小和方向 并且加法遵从平行四边形法则 如 速度 加速度 力 表示法 表示法 几何上 矢量可表示为有方向的线段有方向的线段 大小 线段的长短 正值 方向 箭头的方向 矢端 矢尾 A A 书写上 以 A 表示 如 av 加速度 速度力F 印刷符号用黑体字黑体字 的量 矢量 12 大小 又称 模 记作 AA 或 方向 记作 A 称为 矢量 矢量 A 的单位矢的单位矢 模为1 方向与 A 一致的矢量 AAAAA 矢量与标量属于不同范畴 不能相等 直角坐标系 xyzo 中 沿x轴 y轴 z轴正方向的 kji 表示 单位矢用 iv v 8 z y x k j i iv 8 iv 8 例如 iv v 8 讨论讨论 矢量相等 大小相等 方向相同 如 错8 v vv 8 应写为 矢量 13 2 矢量的加减法矢量的加减法 1 矢量的加法矢量的加法 遵从平行四边形法则 或三角形法则 CBA B A C B A C B A 夹角 为 方向 夹角 为 大小 矢量 AC BA B tg BAABBAC C cos sin cos2 22 矢量 14 2 矢量的减法矢量的减法 加法的逆运算 ABABC 3 矢量的数乘矢量的数乘 矢量 与实数m相乘仍是一矢量 记作 A Am 4 矢量的正交分解矢量的正交分解 指矢量在坐标轴互相垂直的坐标系 如 直角坐标系 中的分解 投影 矢量 A 分别向直角坐标系的 zyx 轴作垂线 垂足的坐垂足的坐 A 在 zyx 轴上的投影或分量 记作 zyx AAA 标标称为 矢量 是可正可负的标量标量 矢量 15 y x z y A x A z A A 222 zyx AAAA 大小 o o 方向 用方向余弦表示 轴正向的夹角与为 zyxA A A A A A A z y x coscoscos 1coscoscos 222 且有 分解式可表示为 在直角坐标系中的正交故 矢量A kAjAiAA zyx 矢量 16 5 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积 1 矢量的标积 点积 矢量的标积 点积 定义 cos的夹角 为BAABBA 例如 1 ii0 ji 2 AAA 结果是一个标量标量 BA 投影表示 xxB A yyB A zzB A kAjAiA zyx kBjBiB zyx 矢量 17 kAjAiA zyx kBjBiB zyx 2 矢量的矢积 叉积 矢量的矢积 叉积 定义 BAC 度小于形成右手螺旋 所转角 方向 的夹角 为大小 CBA BAABC sin 结果是一个矢量矢量 BA 投影表示 kBA yx iBA yz jBA zx kBA xy jBA xz iBA zy kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy 矢量 18 6 矢量的导数矢量的导