数值分析1.pdf

数数数数 值值值值 分分分分 析析析析 前言前言前言前言 数值分析的任务数值分析的任务 数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和 有关理论的学科 数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和 有关理论的学科 本课在计算机解题过程中担负着数据处理 数值 方法的选择和研制 误差的分析 分配及估算等 任务 本课在计算机解题过程中担负着数据处理 数值 方法的选择和研制 误差的分析 分配及估算等 任务 数值分析是用来处理数值分析是用来处理 构造算法 使用算法 分析算法构造算法 使用算法 分析算法 前言前言前言前言 数值分析讲述的基本内容数值分析讲述的基本内容 如何把数学模型归结为数值问题如何把数学模型归结为数值问题 如何制定快速的算法如何制定快速的算法 如何估计一个给定算法的精度如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播分析误差在计算过程中的积累和传播 如何构造精度更高的算法如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量如何使算法较少的占用存储量 如何分析算法的优缺点如何分析算法的优缺点 前言前言前言前言 本课程的基本要求本课程的基本要求 掌握数值方法的基本原理掌握数值方法的基本原理 构造算法的基本思想和技巧构造算法的基本思想和技巧 明确如何在计算机上使用明确如何在计算机上使用 第一章第一章第一章第一章 数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差 本章内容本章内容本章内容本章内容 1 计数与数值 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 算术运算中的误差 4 算法举例 算法举例 5 数值计算中的误差 数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法 1 1 计数与数值计数与数值计数与数值计数与数值 1 1 远古的计数远古的计数1 1 远古的计数远古的计数 1 数就是一串符号或字母的约定性组合数就是一串符号或字母的约定性组合 用以 表示事物量或值的多寡程度 用以 表示事物量或值的多寡程度 2 计数产生计数产生 数值来源数值来源 数的表示法数的表示法 象形文字象形文字 罗马计数法罗马计数法 字母 写法 字母 写法 巴比伦计数法巴比伦计数法 符号 写法 符号 写法 1 2 罗马记数法罗马记数法1 2 罗马记数法罗马记数法 1 记数法记数法 用不多的几个字符就足够写出许多数的方法就叫 做记数法 用不多的几个字符就足够写出许多数的方法就叫 做记数法 2 罗马记数法非常有意义罗马记数法非常有意义 罗马记数法创造了一种奇妙的符号来计数罗马记数法创造了一种奇妙的符号来计数 1 5 10 50 100 I 1 V 5 X 10 I 1 V 5 X 10 I 1 V 5 X 10 I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 L 50 C 100 L 50 C 100 L 50 C 100 D 500 M 1000 D 500 M 1000 D 500 M 1000 D 500 M 1000 1 2 罗马记数法罗马记数法1 2 罗马记数法罗马记数法 3 罗马记数法如何计数罗马记数法如何计数 例如 3 7 4例如 3 7 4 CCC LXX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 L 40 400800900 更大的数如何表示呢 更大的数如何表示呢 CDDCCCCM 1000 M 1 3 巴比伦记数法巴比伦记数法1 3 巴比伦记数法巴比伦记数法 1 古巴比伦人的文化非常发达1 古巴比伦人的文化非常发达 1个明那个明那 60个舍克尔个舍克尔 货币流通量的增加需要更大的单位 货币流通量的增加需要更大的单位 1塔朗特银子塔朗特银子 60明那银子明那银子 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 14 28 2个塔朗特13个明那41个舍拉尔2个塔朗特13个明那41个舍拉尔 1 3 巴比伦记数法巴比伦记数法1 3 巴比伦记数法巴比伦记数法 形成了抽象数 形成了抽象数 表示32个1加上21个60 2 由记号位置不同而具有不同单位的记数法称 为进位制记数法 由记号位置不同而具有不同单位的记数法称 为进位制记数法 3 巴比伦记数法的缺点巴比伦记数法的缺点 不会准确使用不会准确使用0这个字符 进位的基数太大 运算规律复杂 这个字符 进位的基数太大 运算规律复杂 1 4 印度记数法印度记数法1 4 印度记数法印度记数法 1 15世纪后世纪后 印度文化发展起来 采用十进位制印度文化发展起来 采用十进位制 2 公元七世纪 阿拉伯人学会了印度人的计数技 巧 并传到欧洲 扩大到全世界 公元七世纪 阿拉伯人学会了印度人的计数技 巧 并传到欧洲 扩大到全世界 3 数的念法各民族有专称 数的念法各民族有专称 billion 英德英德 billion 美法美法 million 1000 thousand 100 hundred 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 十三世纪马可孛罗 mille 意大利文的千 one 表示很多 百万million 意 十三世纪马可孛罗 mille 意大利文的千 one 表示很多 百万million 意 中国的数字分成横式和竖式中国的数字分成横式和竖式 1 5 中国计数法中国计数法1 5 中国计数法中国计数法 横式 竖式 横式 竖式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如例如 1 2 8 9 3 0 4 83 0 4 8 1 6 通用的记数法通用的记数法1 6 通用的记数法通用的记数法 定点形式 定点数定点形式 定点数 n n 1 n n 1 1 0 1 2 1 0 1 2 m R nRn n 1Rn 1 m R nRn n 1Rn 1 1R0 1R 1 2R 2 1R0 1R 1 2R 2 mR m 其中左边叫整数部分 右边叫小数部分 mR m 其中左边叫整数部分 右边叫小数部分 R进制定点数R进制定点数 其中每个数字 i 其中每个数字 i j i j 0 1 j i j 0 1 n 是介于0与 n 是介于0与 R 1之间的正整数之间的正整数 该数的总位数称为字长该数的总位数称为字长 1 6 通用的记数法通用的记数法1 6 通用的记数法通用的记数法 浮点形式 浮点数 浮点形式 浮点数 Rp Rp 0 d1d2 0 d1d2 d1m R Rp d1m R Rp d1R 1 d2R 2 d1R 1 d2R 2 dmR m dmR m 其中 P 称为阶码 0 d1d2其中 P 称为阶码 0 d1d2 d1m R称为尾数 d1m R称为尾数 这里0 这里0 di R 1 i 0 1 i 0 1 m m 当d1 0时 称为规格化数 当d1 0时 称为不规格化数 尾数的位数称为字长 当d1 0时 称为规格化数 当d1 0时 称为不规格化数 尾数的位数称为字长 37 21829 10 102 0 3721829 10 103 0 03721829 10 定点数浮点规格数浮点非规格化定点数浮点规格数浮点非规格化 2 2 舍入方法舍入方法舍入方法舍入方法 与有效数字与有效数字与有效数字与有效数字 2 1 1 绝对误差绝对误差2 1 1 绝对误差绝对误差 设设A是精确值 是精确值 a是近似值 则定义两者之差是 绝对误差 是近似值 则定义两者之差是 绝对误差 a A为近似数a的绝对误差 简称 误差 a A为近似数a的绝对误差 简称 误差 a A 上界 称为绝对误差限 实际 应用中经常使用这个量进行衡量 a A 上界 称为绝对误差限 实际 应用中经常使用这个量进行衡量 由上式可推知 a A a 或 A a 由上式可推知 a A a 或 A a a a a a a a A 2 1 2 绝对误差限绝对误差限2 1 2 绝对误差限绝对误差限 例 用一把有毫米刻度的米尺测量桌子的长度 读出的长度 例 用一把有毫米刻度的米尺测量桌子的长度 读出的长度a 1235毫米 毫米 由米尺的精度我们知道 a A 1235 A 0 5毫米 即 1234 5 A 1235 5 这表明A在 1234 5 1235 5 区间内 写成 A 1235 0 5毫米 由米尺的精度我们知道 a A 1235 A 0 5毫米 即 1234 5 A 1235 5 这表明A在 1234 5 1235 5 区间内 写成 A 1235 0 5毫米 2 1 3 相对误差相对误差2 1 3 相对误差相对误差 譬如工人甲每生产一百个零件有一个次品 而 工人乙则平均生产五百个零件有一个次品 他 们的次品都是一个 但显然乙的技术水平要比 甲高 譬如工人甲每生产一百个零件有一个次品 而 工人乙则平均生产五百个零件有一个次品 他 们的次品都是一个 但显然乙的技术水平要比 甲高 所以 除考虑误差的大小外 还应考虑准确值所以 除考虑误差的大小外 还应考虑准确值 A本身的大小 本身的大小 2 1 3 相对误差相对误差2 1 3 相对误差相对误差 相对误差相对误差定义为绝对误差与精确值之比 A A 定义为绝对误差与精确值之比 A A 实际计算时用 A a代替 实际计算时用 A a代替 这样代替后 误差是这样代替后 误差是 2 1 AaAa Aa aA A A A A 10000 5 20000 10 20000 pmzm zm pm dd d d 要求米 米要求米 要求米 米要求米 2 2 舍入方法舍入方法2 2 舍入方法舍入方法 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似 数的处理方法称为舍入方法 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似 数的处理方法称为舍入方法 A a0 a1 am am 1 am n am n 1 高位部分高位部分低位部分低位部分 表示成表示成 A a0 a1 am am 1 am n 0 0 0 0 am n 1 2 2 1 截断法截断法2 2 1 截断法截断法 A a0 a1 am am 1 am n am n 1 高位部分高位部分低位部分低位部分 a A a A 0 0 0 am n 1 0 0 0 999 0 0 0 1 1x10 n n位n位n位n位n位n位 这种方法产生的绝对误差限不超过近似数这种方法产生的绝对误差限不超过近似数a最 末位的 最 末位的1个单位 称个单位 称a为准确到小数后第为准确到小数后第n位的 可靠数 每位数字均为可靠数字 位的 可靠数 每位数字均为可靠数字 2 2 2 四舍五入法四舍五入法2 2 2 四舍五入法四舍五入法 A a0 a1 am am 1 am n am n 1 高位部分高位部分低位部分低位部分 四舍情况 当四舍情况 当am n 1 1 2 3 4时 取时 取 a a0 a1 am am 1 am n 那么 那么 a A a A 0 0 0 am n 1 0 0 0 499 0 0 0 5 0 5x10 n 1 2 3 4 n位n位 n位n位 n位n位 2 2 2 四舍五入法四舍五入法2 2 2 四舍五入法四舍五入法 五入情况五入情况 当当am n 1 5 6 7 8 9时 取时 取 a a0 a1 am am 1 am n 1 那么那么 a A a A 0 0 0 1 0 0 0 am n 1 0 0 0 1 0 0 0 50 0 5x10 n 5 6 7 8 9 n位n位n位n位 n位n位 n位n位 四舍五入法的 四舍五入法的 0 5x10 n 在 在a的最末一位 上有半个单位误差 的最末一位 上有半个单位误差 2 2 3 改进的四舍五入法改进的四舍五入法2 2 3 改进的四舍五入法改进的四舍五入法 奇进偶不进和偶进奇不进方法奇进偶不进和偶进奇不进方法 am n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 舍去舍去进1进1 根据根据am n的奇偶决 定是否进 的奇偶决 定是否进1 对运算来说通常采用奇进偶不进法对运算来说通常采用奇进偶不进法 2 3 1 有效数字概念有效数字概念2 3 1 有效数字概念有效数字概念 对于形如 a a0 a1 对于形如 a a0 a1 am am 1 am am 1 am n a0 0 的近似数 若 a A 0 5x10 n 则称a为 具有m n 1位有效数字的有效数 其中每一位数 字都叫做a的 am n a0 0 的近似数 若 a A 0 5x10 n 则称a为 具有m n 1位有效数字的有效数 其中每一位数 字都叫做a的有效数字有效数字 例如例如 0 1234 0 5x10 4 0 5x10 4 2 3 1 有效数字概念有效数字概念2 3 1 有效数字概念有效数字概念 例 3 1415926535 例 3 1415926535 如果取作如果取作3 14 则有三位有效数字 误差限0 005 则有三位有效数字 误差限0 005 如果取作如果取作3 1416 则有五位有效数字 误差限为 0 00005 则有五位有效数字 误差限为 0 00005 2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论 推论推论1 对于给出的有效数 其绝对误差限不大 于其最末数字的半个单位 对于给出的有效数 其绝对误差限不大 于其最末数字的半个单位 00 10 2 1 10 10 2 1 nm m n aa 推论推论2 对于给出的一个有效数 其相对误差限可 估计如下 对于给出的一个有效数 其相对误差限可 估计如下 1010 10 2 1 1 10 mm n aa A 1 0 10 5 nm a 2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论 例 重力加速度常数例 重力加速度常数g g 9 80米米 秒秒2 g 980 厘米厘米 秒秒2 两者均有三位有效数字 两者均有三位有效数字 g 9 80 0 5 10 2米 0 5 10 2米 秒秒2 g 980 0 5厘米 0 5厘米 秒秒2 后者 的绝对误差大 相对误差分别为 后者 的绝对误差大 相对误差分别为 980 5 0 80 9 10 5 0 2 和 和 两者相等 与量纲的选取无关两者相等 与量纲的选取无关 2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论2 3 2 有效数字的推论有效数字的推论 760 1 759 1 例 用四位浮点数计算例 用四位浮点数计算 522 10 2 010 1316 010 1318 0 760 1 759 1 5 6 10 1734 0 10 5768 0 1 760 759 1 760 1 759 1 小 结小 结小 结小 结 绝对误差 绝对误差 设设A是精确值 是精确值 a是近似值 则定义两者之差 a A为近似数a的绝对误差 是近似值 则定义两者之差 a A为近似数a的绝对误差 绝对误差限 绝对误差限 a A 上界 称为绝对误差限 a A 上界 称为绝对误差限 相对误差 相对误差 绝对误差与精确值之比 A A为相对误差绝对误差与精确值之比 A A为相对误差 相对误差限相对误差限 A A A A 上界上界 称为相对误差限 称为相对误差限 绝对误差和相对误差有关系 a A绝对误差和相对误差有关系 a A 3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 加减的绝对误差限等于各数的绝对误差限之和加减的绝对误差限等于各数的绝对误差限之和 C x y y C C C dC dC dC dx dy dx dy x y 其中 dC dx dy dx dy x y 其中 x x x x y y y y 例1 1求近似数285 35 196 87 58 43 4 96的和 其中每个数的绝对误差限为0 5 10 2 例1 1求近似数285 35 196 87 58 43 4 96的和 其中每个数的绝对误差限为0 5 10 2 解 285 35 196 87 58 43 4 96 解 285 35 196 87 58 43 4 96 545 61 和545 61的绝对误差限为 4 0 5 10 2 0 02 0 5 10 1 因此和545 61应舍入为545 6 545 61 和545 61的绝对误差限为 4 0 5 10 2 0 02 0 5 10 1 因此和545 61应舍入为545 6 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 例1 2 求3 150950 15 426463 568 3758 7684 388的和 例1 2 求3 150950 15 426463 568 3758 7684 388的和 例题例题1 2 求和求和 3 150950 15 426463 568 3758 7684 388 8271 341213 3 150950 15 426463 568 3758 7684 388 8271 341213 0 0000005 0 0000005 0 00005 0 0005 0 0005510 0 0000005 0 0000005 0 00005 0 0005 0 0005510 0 5 10 3 0 5 10 3C 8271 341C 8271 341 没有意义 按最坏情况 估算误差 没有意义 按最坏情况 估算误差 按最坏情况 估算误差 按最坏情况 估算误差 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 例题例题例题例题1 2 1 2 求和求和求和求和 3 150950 15 426463 568 3758 7684 388 3 150950 15 426463 568 3758 7684 388 3 1510 15 4265 568 3758 7684 388 8271 3413 3 1510 15 4265 568 3758 7684 388 8271 3413 作舍入 处理 作舍入 处理 作舍入 处理 作舍入 处理 和的绝对误差限为和的绝对误差限为3 0 5 10 4 0 5 10 3 0 00065 yx x yx y yx 很小很小 约为1约为1 x xx yx yxyx 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 5 两个相近数相减 易失有效位两个相近数相减 易失有效位 yx dydx 两正数之差两正数之差 C x y的相对误差是y的相对误差是 因为因为x和和y的前几位有效数字必然相同 相减之 后有效数字位会大大减少 使有效数字严重损 失 的前几位有效数字必然相同 相减之 后有效数字位会大大减少 使有效数字严重损 失 例如 cos20 0 9994 1 cos20 0 0006例如 cos20 0 9994 1 cos20 0 0006 3 1 加减运算加减运算3 1 加减运算加减运算 避免这种情况 可以使用转换公式 或者增加字 长 维持一定有效位 保证精度 避免这种情况 可以使用转换公式 或者增加字 长 维持一定有效位 保证精度 1 1 1 1 lnlnln 2 sin 2 cos 2sin sin 1 1 1 21 2 1 21 充分大时当 接近时当 很小时当 很大时当 充分大时当 接近时当 很小时当 很大时当 x xx arctgarctgxxarctg xx x x xx xxx x xx xx 3 2 乘积运算乘积运算3 2 乘积运算乘积运算 乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之 和 其相对误差限等于各乘数相对误差限之和 乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之 和 其相对误差限等于各乘数相对误差限之和 xy yxydxxdydc yxdc yx 则上式成为若则上式成为若 y dy x dx y dy x dx xy ydxxdy c dc c 相对误差限为 例1 3 求c 12 2 73 56的相对误差限和绝对误 差限 例1 3 求c 12 2 73 56的相对误差限和绝对误 差限 解 c 0 05 12 2 0 005 73 56 0 0042 C 12 2 73 56 897 432 dc 897 432 0 0042 3 77 0 5 101 按dc将c舍成c 90 101 解 c 0 05 12 2 0 005 73 56 0 0042 C 12 2 73 56 897 432 dc 897 432 0 0042 3 77 0 5 101 按dc将c舍成c 90 101 3 2 乘积运算乘积运算3 2 乘积运算乘积运算 3 3 商运算商运算3 3 商运算商运算 商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对 误差限之和 商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对 误差限之和 2 y xdyydx dc y dy x dx y x y xdyydx c dc c 2 y dy x dx c dc c y x c 例1 4 求c 25 7 3 6的相对误差限和绝对误差 限 例1 4 求c 25 7 3 6的相对误差限和绝对误差 限 解 c 0 05 25 7 0 05 3 6 0 016 C 25 7 3 6 7 13889 dc 7 13889 0 016 0 11 0 5 100 按dc将c舍成c 7 解 c 0 05 25 7 0 05 3 6 0 016 C 25 7 3 6 7 13889 dc 7 13889 0 016 0 11 pxc p x pp pxdxpxdc 11 1 x dx p x dxpx c dc c p p 若令p 1 q 则可得x的q次根的相对误差是x本身 相对误差的1 q倍 若令p 1 q 则可得x的q次根的相对误差是x本身 相对误差的1 q倍 例1 5 求c 12 2 2的绝对误差限和相对误差 限 例1 5 求c 12 2 2的绝对误差限和相对误差 限 解 C 148 84 c 2 0 05 12 2 0 0082 dc 148 84 0 0082 2 44 0 5 101 按dc将c舍成c 15 101 解 C 148 84 c 2 0 05 12 2 0 0082 dc 148 84 0 0082 2 44 0 5 101 按dc将c舍成c 15 101 3 4 指数运算指数运算3 4 指数运算指数运算 例1 6 设正方形面积s 12 34 其绝对误差限 s 0 01 问边长a具有多大的相对误差限 和多少位有效数字 例1 6 设正方形面积s 12 34 其绝对误差限 s 0 01 问边长a具有多大的相对误差限 和多少位有效数字 解 因a s1 2 3 5128 s 0 01 12 34 0 0008 da 3 5128 0 0004 0 0014 0 5 10 3 0 0005 0 0014 取a 3 512 具有四位有效数字 a s 2 0 0004 解 因a s1 2 3 5128 s 0 01 12 34 0 0008 da 3 5128 0 0004 0 0014 0 5 10 3 0 0005 0 0014 取a 3 512 具有四位有效数字 a s 2 0 0004 书P14书P14 3 4 指数运算指数运算3 4 指数运算指数运算 3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 在各种数学模型中 它们的解与在各种数学模型中 它们的解与x1 1 x2 2 xn 有关 可以记为 n 有关 可以记为y f x1 1 x2 2 xn n 假定假定f在点在点 x x1 1 x x2 2 x xn n 可微 则当数据误差 较小时 解的误差限可估计如下 可微 则当数据误差 较小时 解的误差限可估计如下 2 1 11 nix x f x x f ii n i i i n i i i 其中其中 n n n x x f x x f x x f xxxdf 2 2 1 1 21 Ai 3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 解的相对误差限如下 解的相对误差限如下 i i i i i n i ii ii n i i n x x f x x f x x f x x f xxxf 其中 11 21 BiBi 系数系数Ai Bi的大小可以衡量解对数据误差的敏感 程度 的大小可以衡量解对数据误差的敏感 程度 3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计3 5数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 404 0 5 26 088 1 V dV 例1 7 已知球体的直径D 3 7cm 按v D3 6计 算体积 求其绝对误差限与相对误差限 例1 7 已知球体的直径D 3 7cm 按v D3 6计 算体积 求其绝对误差限与相对误差限 5 217 314 3 2 1 2 1 22 D D V 1 105 0 0016 0 dDd 1 1088 1 dD D V d V dV 5 267 314 3 6 1 14 3 3 V则若取解则若取解 44 87 3 6 1 6 1 33 D V 4 4 算法举例算法举例算法举例算法举例 例1 8 计算例1 8 计算 4 算法举例算法举例 4 算法举例算法举例 0135 00125 00003 0 0012 00143 00005 0 D 解解 1 算法算法1 分子分母分别计算后相除分子分母分别计算后相除 取取9位小数位小数 A 0 0005 0 0143 0 0012 0 00000715 0 0012 0 000000009 有舍入有舍入 B 0 0003 0 0125 0 0135 0 00000375 0 0135 0 000000051 有舍入有舍入 D A B 0 17647 真值为真值为0 16948148 9 105 0 BA 154 0098 0056 0 1051 105 0 109 105 0 9 9 9 9 D 1 105 0027 017647 0154 0 DDD 4 算法举例算法举例 4 算法举例算法举例 2 算法算法2 分成三组因子分成三组因子 每组只取六位小数计算每组只取六位小数计算 a 0 0005 0 0003 1 666667 有舍入有舍入 b 0 0143 0 0125 1 144000 c 0 0012 0 0135 0 088889 有舍入有舍入 D 1 666667 1 144000 0 088889 0 169482 真值为真值为0 16948148 0135 00125 00003 0 0012 00143 00005 0 D b bc ca a 6 105 0 ca 56 105 0101 caD 4 算法举例算法举例 4 算法举例算法举例 例1 9 试用5位有效数字计算e 5 5的值 P16 例1 9 试用5位有效数字计算e 5 5的值 P16 n 0 1 1 1 5 5000 4 5000 2 15 125 10 625 3 27 730 17 105 4 38 446 17 528 5 41 942 20 918 6 38 446 17 528 7 39 208 12 680 0 1 1 1 5 5000 4 5000 2 15 125 10 625 3 27 730 17 105 4 38 446 17 528 5 41 942 20 918 6 38 446 17 528 7 39 208 12 680 n x n n k k k x 1 n 8 20 768 8 088 9 12 692 4 604 10 6 9803 2 3763 11 3 4902 1 1139 12 1 5997 0 4858 13 0 6767 0 19096 14 0 26587 0 07491 15 0 09749 0 02258 8 20 768 8 088 9 12 692 4 604 10 6 9803 2 3763 11 3 4902 1 1139 12 1 5997 0 4858 13 0 6767 0 19096 14 0 26587 0 07491 15 0 09749 0 02258 n x n n k k k x 1 8 0 5 10 3 0 004 0 5 10 2 n 16 0 03351 0 01093 17 0 010842 0 000088 18 0 0033127 0 0034007 19 0 000958 0 0024418 20 0 0002637 0 0027055 21 0 000069 0 0026364 22 0 0000172 0 0026537 23 0 0000041 0 0026496 16 0 03351 0 01093 17 0 010842 0 000088 18 0 0033127 0 0034007 19 0 000958 0 0024418 20 0 0002637 0 0027055 21 0 000069 0 0026364 22 0 0000172 0 0026537 23 0 0000041 0 0026496 n x n n k k k x 1 真实值是真实值是 0 0040867 改变算法计算例1 9改变算法计算例1 9 先计算x 5 5的部分级数 再求倒数先计算x 5 5的部分级数 再求倒数 4 算法举例算法举例 4 算法举例算法举例 n 0 1 1 1 5 5 6 5000 2 15 125 21 625 3 27 730 49 355 4 38 129 87 484 5 41 942 129 426 6 38 446 167 87 7 30 208 198 08 0 1 1 1 5 5 6 5000 2 15 125 21 625 3 27 730 49 355 4 38 129 87 484 5 41 942 129 426 6 38 446 167 87 7 30 208 198 08 n x n n k k k x 1 n 8 20 768218 85 9 12 692 231 54 10 6 9803238 52 11 3 4902242 01 12 1 5997243 61 13 0 67676 244 29 14 0 26587 244 55 15 0 09749 244 65 8 20 768218 85 9 12 692 231 54 10 6 9803238 52 11 3 4902242 01 12 1 5997243 61 13 0 67676 244 29 14 0 26587 244 55 15 0 09749 244 65 n x n n k k k x 1 n 16 0 03351244 69 17 0 010842 244 70 16 0 03351244 69 17 0 010842 244 70 n x n n k k k x 1 8 0 5 10 3 3 0 5 10 4 4 0 5 10 5 0 5 10 6 0 0042 0 5 10 2 4 算法举例算法举例 4 算法举例算法举例 改变算法后前改变算法后前18项和的舍入误差限之和项和的舍入误差限之和 0 5 10 2 即即e5 5的近似值的近似值244 70具有绝对误差限具有绝对误差限 0 5 10 2 商商1 244 70的值的值0 00408663具有相对误差限具有相对误差限 0 1 0 5 R时时 例如 取例如 取e 5 5展开式中展开式中22项时的截断误差为项时的截断误差为 R21 e 5 5 5 5 22 22 5 5 22 22 0 000017 0 1 而 而 0 5 10 2 当 当 R时时 当 当 R时时 6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法 1 给定运算误差 确定参与运算的数值字长给定运算误差 确定参与运算的数值字长 若计算公式表示为若计算公式表示为 u f x1 x2 xn 设其允许的舍入误差为 设其允许的舍入误差为 xi 则计算结果的舍入 误差可按下式近似计算 则计算结果的舍入 误差可按下式近似计算 11 n i i i n i i x f x f du n i i x f 1 解得解得 例1 12长方形面积s ab 其中a 例1 12长方形面积s ab 其中a 5m b b 200m 计 算 计 算S的运算误差要求为 s 1m2 试确定两直角边的 允许误差 的运算误差要求为 s 1m2 试确定两直角边的 允许误差 解 因为ds bda adb 令da db 解得 ds a b 1 5 200 0 005 0 5 10 2 可见数值a b的字长应取至 小数后2位 解 因为ds bda adb 令da db 解得 ds a b 1 5 200 0 005 0 5 10 2 可见数值a b的字长应取至 小数后2位 6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法 6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法6 2 误差配置的处理方法误差配置的处理方法 2 近似式的项数已定而字长待定近似式的项数已定而字长待定 估算余式估算余式Rn的大小的大小 令 令 Rn 按照按照1可确定数值字长可确定数值字长 3 总误差 给定 要求确定项数和数值字长总误差 给定 要求确定项数和数值字长 应取 应取 Rn 2 按照 按照Rn的大小 确定项数的大小 确定项数 在计算公式和 已定情况下 按照在计算公式和 已定情况下 按照1可确定数值字 长 可确定数值字