数值分析课后参考答案10.pdf

第十章习题解答第十章习题解答 1 1 1 1 用用 EulerEulerEulerEuler 方法及改进的方法及改进的 EulerEulerEulerEuler 方法求解初值问题方法求解初值问题 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 2 yxyxyxyxyxyxyxyx y y y y 取取0 10 10 10 1h h h h 并将计算结果与精确值相比较 并将计算结果与精确值相比较 解 解 f x yxyf x yxyf x yxyf x yxy 由由 EulerEulerEulerEuler 公式及改进的公式及改进的 EulerEulerEulerEuler 方法 代入方法 代入0 10 10 10 1h h h h 有 有 1 1 1 1 1 1 1 1 Euler0 90 1Euler0 90 1Euler0 90 1Euler0 90 1 Euler0 9050 0950 005Euler0 9050 0950 005Euler0 9050 0950 005Euler0 9050 0950 005 nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn yyxyyxyyxyyx yyxyyxyyxyyx 方法方法 改进的方法改进的方法 依次计算结 依次计算结 果如下果如下 012345678910012345678910012345678910012345678910 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 000 10 20 30 40 50 60 70 80 91 000 10 20 30 40 50 60 70 80 91 000 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 21 80001 63001 48701 36831 27151 19441 121 80001 63001 48701 36831 27151 19441 121 80001 63001 48701 36831 27151 19441 121 80001 63001 48701 36831 27151 19441 13501 09151 06231 04613501 09151 06231 04613501 09151 06231 04613501 09151 06231 0461 2 1 8150 1 6571 1 5237 1 4124 2 1 8150 1 6571 1 5237 1 4124 2 1 8150 1 6571 1 5237 1 4124 2 1 8150 1 6571 1 5237 1 4124 1 3212 1 2482 1 1916 1 1499 1 3212 1 2482 1 1916 1 1499 1 3212 1 2482 1 1916 1 1499 1 3212 1 2482 1 1916 1 1499 1 12 1 12 1 12 1 12 n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y y y y y y 17 1 105617 1 105617 1 105617 1 1056 2 1 8145 1 6562 1 5225 1 2 1 8145 1 6562 1 5225 1 2 1 8145 1 6562 1 5225 1 2 1 8145 1 6562 1 5225 1 4110 1 3196 1 2464 1 1898 1 1 4110 1 3196 1 2464 1 1898 1 1 4110 1 3196 1 2464 1 1898 1 1 4110 1 3196 1 2464 1 1898 1 1480 1 1197 1 1036 480 1 1197 1 1036 480 1 1197 1 1036 480 1 1197 1 1036 y y y y n n n n y y y y为为 EulerEulerEulerEuler 方法的结果 方法的结果 n n n n y y y y为改进的为改进的 EulerEulerEulerEuler 方法的结果 方法的结果 y y y y为精确解 为精确解 2 2 2 2 用梯形公式求解初值问题用梯形公式求解初值问题 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 yyxyyxyyxyyx y y y y 证明其近似解为证明其近似解为 n n n n n n n n ahahahah y y y y ahahahah 证明证明 采用梯形公式得近似解为采用梯形公式得近似解为 11111111 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 222222222222 nnnnnnnnnnnnnnnn hhhhhhhhhhhh yyyyyyyyyyyyyyyy h h h h 因此因此 可得可得 2 2 2 2 120120120120 2222222222222222 2222222222222222 nnnnnnnn nnnnnnnnnnnn hhhhhhhhhhhhhhhh yyyyyyyyyyyyyyyy hhhhhhhhhhhhhhhh 证毕 证毕 3 3 3 3 试用 试用 EulerEulerEulerEuler 公式计算积分公式计算积分 2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x t t t t e dte dte dte dt 在点在点 x 0 5 x 0 5 x 0 5 x 0 5 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 的近似值 的近似值 解 解 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x f x yxef x yxef x yxef x yxe 由由 EulerEulerEulerEuler 公式得公式得 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 52 0 52 0 52 0 5 n n n n x x x x nnnnnnnnnnnn yyx eyyx eyyx eyyx e 计算可得计算可得 01234012340123401234 00 511 5200 511 5200 511 5200 511 52 00 64202 00116 745034 044100 64202 00116 745034 044100 64202 00116 745034 044100 64202 00116 745034 0441 n n n n n n n n n n n n x x x x y y y y 4 4 4 4 定初值问题定初值问题 0 0 0 0 00000000 sinsinsinsin yyxxyyxxyyxxyyxx y xyy xyy xyy xy 试用试用 TaylorTaylorTaylorTaylor 展开法导出一个三阶的显式公式 展开法导出一个三阶的显式公式 解 由解 由 TaylorTaylorTaylorTaylor 公式 并代入公式 并代入 sinsinsinsinyyyyyyyy 可得可得 234 234 234 234 234234234234 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 sin2cos2sinsin2cos2sinsin2cos2sinsin2cos2sin sin sin sin sin 22 3 22 3 22 3 22 3 nnnnnnnn nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn yxyxyxyxyxyxyxyx y xhy xy x hhhO hy xhy xy x hhhO hy xhy xy x hhhO hy xhy xy x hhhO h yyyyyyyyyyyy yyy hhhO hyyy hhhO hyyy hhhO hyyy hhhO h 故三阶的显式公式为故三阶的显式公式为 23232323 1 1 1 1 sin2cos2sinsin2cos2sinsin2cos2sinsin2cos2sin sinsinsinsin 46464646 nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn yyyyyyyyyyyy yyy hhhyyy hhhyyy hhhyyy hhh 5 5 5 5 已知初值问题已知初值问题 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 yxxyxyxxyxyxxyxyxxyx y y y y 试分别用改进的试分别用改进的 EulerEulerEulerEuler 方法和四阶方法和四阶 R KR KR KR K方法求解此问题 取步长为方法求解此问题 取步长为0 50 50 50 5h h h h 解 解 2 2 2 2 f x yxxyf x yxxyf x yxxyf x yxxy 由改进的由改进的 EulerEulerEulerEuler 方法和四阶方法和四阶 R KR KR KR K 方法 代入方法 代入0 50 50 50 5h h h h 1 1 1 1 111111111 1 1 1 11234112341123411234 1 1 1 1 21212121 32323232 43434343 EulerEulerEulerEuler 2 2 2 2 22 22 22 22 6 6 6 6 11111111 22222222 11111111 22222222 nnnnnnnnnnnnn n n n nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn n n n nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn yyhf xyyyhf xyyyhf xyyyhf xy h h h h yyf xyf xyyyf xyf xyyyf xyf xyyyf xyf xy h h h h RKyykkkkRKyykkkkRKyykkkkRKyykkkk kf xykf xykf xykf xy kf xh yhkkf xh yhkkf xh yhkkf xh yhk kf xh yhkkf xh yhkkf xh yhkkf xh yhk kf xh yhkkf xh yhkkf xh yhkkf xh yhk 改进的方法改进的方法 四阶算法四阶算法 计算可得计算可得 012012012012 00 5100 5100 5100 51 00 1875 0 710900 1875 0 710900 1875 0 710900 1875 0 7109 00 14390 632900 14390 632900 14390 632900 14390 6329 n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y y y y y y 其中其中 n n n n y y y y为改进的为改进的 EulerEulerEulerEuler 方法的结果 方法的结果 n n n n y y y y为四阶为四阶 R KR KR KR K方法的结果 方法的结果 6 6 6 6 试证明对任意的参数试证明对任意的参数 a a a a 以下以下 Runge KuttaRunge KuttaRunge KuttaRunge Kutta 公式是一个二阶公式公式是一个二阶公式 并导出其数值稳定条并导出其数值稳定条 件 件 123123123123 1 1 1 1 21212121 31313131 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn h h h h yykkyykkyykkyykk kf xykf xykf xykf xy kf xah yhkkf xah yhkkf xah yhkkf xah yhk kf xa h ya hkkf xa h ya hkkf xa h ya hkkf xa h ya hk 证明 将证明 将 23232323 k kk kk kk k做二元做二元 TaylorTaylorTaylorTaylor 展开展开 2 2 2 2 21212121 2 2 2 2 31313131 1 1 1 1 1 1 1 1 nnxnnynnnnxnnynnnnxnnynnnnxnnynn nnxnnynnnnxnnynnnnxnnynnnnxnnynn kf xyahfxyhk fxyO hkf xyahfxyhk fxyO hkf xyahfxyhk fxyO hkf xyahfxyhk fxyO h kf xya hfxya hk fxyO hkf xya hfxya hk fxyO hkf xya hfxya hk fxyO hkf xya hfxya hk fxyO h 代入得代入得 2 2 2 2 11111111 22222222 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222 nnnnxnnynnnnnnxnnynnnnnnxnnynnnnnnxnnynn nnnxnnynnnnnxnnynnnnnxnnynnnnnxnnynn h h h h yyf xyhfxyhk fxyO hyyf xyhfxyhk fxyO hyyf xyhfxyhk fxyO hyyf xyhfxyhk fxyO h hhhhhhhh yhf xyfxyffxyO hyhf xyfxyffxyO hyhf xyfxyffxyO hyhf xyfxyffxyO h 再将再将 1 1 1 1 n n n n y xy xy xy x 在点在点 n n n n x x x x展开展开 23 23 23 23 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n nnnnnnnnnnnn yxyxyxyx y xy xy x hhO hy xy xy x hhO hy xy xy x hhO hy xy xy x hhO h 式中 式中 nnnnnnnnnnnn nxynxynxynxy y xf xyy xf xyy xf xyy xf xy yxff fyxff fyxff fyxff f 代入后有代入后有 23232323 1 1 1 1 2 2 2 2 xyxyxyxy nnnnnnnn ffffffffffff y xy xfhhO hy xy xfhhO hy xy xfhhO hy xy xfhhO h 故故 3 3 3 3 111111111111 nnnnnnnnnnnn Ey xyO hEy xyO hEy xyO hEy xyO h 即对任意的参数 即对任意的参数 a a a a 公式是二阶公式 公式是二阶公式 下面讨论公式的数值稳定条件下面讨论公式的数值稳定条件 取模型方程取模型方程 y y y y 将将 f x yyf x yyf x yyf x yy 代入代入 i i i i k k k k得到得到 1 1 1 1 211211211211 31313131 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn kf xyykf xyykf xyykf xyy kf xah yhkyhkh ykf xah yhkyhkh ykf xah yhkyhkh ykf xah yhkyhkh y kf xa h ya hka h ykf xa h ya hka h ykf xa h ya hka h ykf xa h ya hka h y 再代入再代入 123123123123 2 2 2 2 nnnnnnnn h h h h yykkyykkyykkyykk 得到得到 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 nnnnnnnn a a a a yyhhyyhhyyhhyyhh 于是于是 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n a a a a hhhhhhhh 绝对稳定区为绝对稳定区为 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a a hhhhhhhh 7 7 7 7 试证明以下试证明以下 Runge KuttaRunge KuttaRunge KuttaRunge Kutta 公式是一个三阶公式 并导出其数值稳定条件 公式是一个三阶公式 并导出其数值稳定条件 1123112311231123 1 1 1 1 21212121 32323232 1 1 1 1 234 234 234 234 9 9 9 9 11111111 22222222 33333333 44444444 nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn yykkkyykkkyykkkyykkk khf xykhf xykhf xykhf xy khf xh ykkhf xh ykkhf xh ykkhf xh yk khf xh ykkhf xh ykkhf xh ykkhf xh yk 证明 将证明 将 23232323 k kk kk kk k做三元做三元 TaylorTaylorTaylorTaylor 展开展开 22222222 3 3 3 3 11111111 21212121 22222222 3 3 3 3 22222222 32323232 11111111 222424222424222424222424 331 999331 999331 999331 999 442 16816442 16816442 16816442 16816 xyxxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyy xyxxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyy hhhkkhhhkkhhhkkhhhkk kh ffk ffffO hkh ffk ffffO hkh ffk ffffO hkh ffk ffffO h hhkkhhkkhhkkhhkk kh fhfk ffffO hkh fhfk ffffO hkh fhfk ffffO hkh fhfk ffffO h 代入得代入得 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 12121212 222222222222 2 4 2 4 2 4 2 4 993993993993 9 2 9 2 9 2 9 2 9222922292229222 2 2 2 2 226226226226 nnxyxxxyyynnxyxxxyyynnxyxxxyyynnxyxxxyyy nxyxxxyxyyynxyxxxyxyyynxyxxxyxyyynxyxxxyxyyy hhfhhfhhfhhf yyfffh fhffkfO hyyfffh fhffkfO hyyfffh fhffkfO hyyfffh fhffkfO h hhhhhhhhhhhh yhfffffffffff fO hyhfffffffffff fO hyhfffffffffff fO hyhfffffffffff fO h 再将再将 1 1 1 1 n n n n y xy xy xy x 在点在点 n n n n x x x x展开展开 234 234 234 234 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 nnnnnnnn nnnnnnnnnnnn yxyxyxyxyxyxyxyx y xy xy x hhhO hy xy xy x hhhO hy xy xy x hhhO hy xy xy x hhhO h 式中式中 nnnnxynnnnxynnnnxynnnnxy y xf xyyxff fy xf xyyxff fy xf xyyxff fy xf xyyxff f 2 2 2 2 2 2 2 2 nxxxyxyyynxxxyxyyynxxxyxyyynxxxyxyyy yxffff f ff fyxffff f ff fyxffff f ff fyxffff f ff f 代入后有代入后有 3 3 3 3 2 2 42 2 42 2 42 2 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 xyxyxyxy nnxxxyxyyynnxxxyxyyynnxxxyxyyynnxxxyxyyy ffffffffffff h h h h y xy xfhhffff f fffO hy xy xfhhffff f fffO hy xy xfhhffff f fffO hy xy xfhhffff f fffO h 故故 4 4 4 4 111111111111 nnnnnnnnnnnn Ey xyO hEy xyO hEy xyO hEy xyO h 即公式是三阶公式 即公式是三阶公式 下面讨论公式的数值稳定条件下面讨论公式的数值稳定条件 取模型方程取模型方程 y y y y 将将 f x yyf x yyf x yyf x yy 代入代入 i i i i k k k k得到得到 1 1 1 1 211211211211 2 2 2 2 322322322322 111111111111 1 1 1 1 2222222222222222 33333333333333333333 1 1 1 1 44448444484444844448 nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnn khf xyhykhf xyhykhf xyhykhf xyhy h h h h khf xh ykh ykhykhf xh ykh ykhykhf xh ykh ykhykhf xh ykh ykhy khf xh ykh ykhhhykhf xh ykh ykhhhykhf xh ykh ykhhhykhf xh ykh ykhhhy 再代入再代入 1123112311231123 1 1 1 1 234 234 234 234 9 9 9 9 nnnnnnnn yykkkyykkkyykkkyykkk 得到得到 23232323 1 1 1 1 11111111 1 1 1 1 26262626 nnnnnnnn yyhhhyyhhhyyhhhyyhhh 于是于是 23232323 1 1 1 1 11111111 1 1 1 1 26262626 n n n n n n n n hhhhhhhhhhhh 绝对稳定区为绝对稳定区为 23232323 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 26262626 hhhhhhhhhhhh 8 8 8 8 用用 EulerEulerEulerEuler 方法求解下列问题 从数值稳定性条件考虑 对步长应做什么限制 方法求解下列问题 从数值稳定性条件考虑 对步长应做什么限制 1 1 1 1 6 0 10 6 0 10 6 0 10 6 0 10 0 0 0 0 x x x x yyexyyexyyexyyex yayayaya 2 2 2 2 2 2 2 2 10101010 1 0 10 1 0 10 1 0 10 1 0 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xyxyxyxy yxyxyxyx x x x x y y y y 解 由解 由 EulerEulerEulerEuler 公式公式 1 1 1 1 nnnnnnnnnnnnnnnn yyhf xyyyhf xyyyhf xyyyhf xy 对 对 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 n n n n x x x x nnnnnnnnnnnn yyhyeyyhyeyyhyeyyhye 若第 若第 n n n n 步和第步和第 n 1n 1n 1n 1 步分别有误差 则上步分别有误差 则上 式变为式变为 1 1 1 1 16 16 16 16 nnnnnnnn yh yyh yyh yyh y 两式相减得到 两式相减得到 1 1 1 11 1 1 1 16 16 16 16 nnnnnnnnnnnnnnnn yyhyyyyhyyyyhyyyyhyy 故当故当 1 1 1 1 16 1 16 1 16 1 16 1 3 3 3 3 hhhhhhhh 即0即0时时 1 1 1 1 用 用 EulerEulerEulerEuler 方法求解是数值稳定的 方法求解是数值稳定的 对对 2 2 2 2 1 1 1 12 2 2 2 10101010 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnn nnnnnnnn n n n n x yx yx yx y yyhyyhyyhyyh x x x x 若第若第 n n n n 步和第步和第 n 1n 1n 1n 1 步分别有误差步分别有误差 则上则上 式变为式变为 1 1 1 12 2 2 2 10101010 1 1 1 1 n n n n nnnnnnnnnnnn n n n n x x x x yyyyyyyyyyyy x x x x 两式相减得到 两式相减得到 1 1 1 11 1 1 12 2 2 2 10101010 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n nnnnnnnnnnnnnnnn n n n n x x x x yyhyyyyhyyyyhyyyyhyy x x x x 故当故当 2 2 2 2 101010102 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 15151515 n n n n n n n n x x x x hhhhhhhh x x x x 即0即0时时 2 2 2 2 用用 EulerEulerEulerEuler 方法求解是数值稳定的方法求解是数值稳定的 9 9 9 9 用二阶的用二阶的 AdamsAdamsAdamsAdams 预估校正公式求解初值问题预估校正公式求解初值问题 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 yyyyyyyy y y y y 取步长取步长0 20 20 20 2h h h h 求出 求出1 01 01 01 0 x x x x 时的近似值 表头用改进的时的近似值 表头用改进的 EulerEulerEulerEuler 方法 保留小数点方法 保留小数点 后三位后三位 解 计算结果如下 解 计算结果如下 012345012345012345012345 00 20 40 60 81 000 20 40 60 81 000 20 40 60 81 000 20 40 60 81 0 00 1800 3290 4510 5510 63200 1800 3290 4510 5510 63200 1800 3290 4510 5510 63200 1800 3290 4510 5510 632 n n n n n n n n n n n n x x x x y y y y 10101010 对初值问题 对初值问题 00000000 10101010 yyyyyyyy y xyy xyy xyy xy 用以下二阶用以下二阶 R KR KR KR K方法求解 并导出其绝对稳定域 方法求解 并导出其绝对稳定域 112112112112 1 1 1 1 21212121 1 1 1 1 2 2 2 2 nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn yykkyykkyykkyykk khf xykhf xykhf xykhf xy khf xh ykkhf xh ykkhf xh ykkhf xh yk 解解 10 10 10 10f x yyf x yyf x yyf x yy 代入二阶代入二阶 R KR KR KR K方法可得方法可得 1 1 1 1 50505050 nnnnnnnnnnnn yyhyyyhyyyhyyyhy 若第若第 n n n n 步和步和 第第 n 1n 1n 1n 1 步分别有误差 则