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数学吧精品帖 数学吧精品帖 之之 数列专题数列专题 作者 数学战士 编辑 Dether PartPartPartPart 1 1 1 1 1 1 vaua nn 1 这类题目一般是令vuxx 解出ax 则 aan 是公比为u的等比数列 2 2 nnn avaua 12 这类题目一般是令vuxx 2 解出 21 x xx 则 当 21 xx 时 nn n xbxaa 21 其中ba 为待定系数 可根据初始值 21 a a求出 当 21 xx 时 n n xbnaa 1 其中ba 为待定系数 可根据初始值 21 a a求出 3 3 tar vau a n n n 1 这类题目一般是令 trx vux x 解出 21 x xx 则 当 21 xx 时 2 1 xa xa n n 为等比数列 当 21 xx 时 1 1 xan 为等差数列 4 4 tar savau a n nn n 2 1 这类题目一般是令 trx svxux x 2 解出 21 x xx 然后计算 21 11 xa xa n n 看其是否等于 2 1 xa xa n n 的平方 5 5 n n n n a aba a 2 1 2 这类题目一般是由 n nnn abaaa 2 12 得 2 12 2 213 nnnnnn aaabaaa 从而 1 2 2 13 n nn n nn a aba a aba 即 1 2 n nn a aba 为常数列 等于 2 13 a aba 因此可化为第 2 种类型 6 6 2 2 1 nn aa 当 1 a绝对值不大于2时 令 2 arccos 1 a 用归纳法可证 2cos 2 1 n n a 当 1 a绝对值大于2时 令 t ta 1 1 用归纳法可证 1 2 1 2 1 n t ta n n 7 7 nn aa 2 1 当 1 a绝对值不大于2时 令 2 arccos 1 a 用归纳法可证 2 cos 2 1 n n a 当 1 a大于2时 令 t ta 1 1 用归纳法可证 1 1 2 1 2 1 1 n n t tan 8 8 cabaaa nnn 2 1 这类题目一般是配方 可化为 2 1 2 2baabaa nn 9 9 b n a nn aaa 12 这类题目一般是取对数 化为第 2 种类型 1010 上面方法无法奏效时 应先算前几项 归纳出通项 然后用数学归纳法证明 PartPartPartPart 2 2 2 2 第2 2种类型的扩展 nmmnmnmn auauaua 2211 若 m mmm uxuxux 2 2 1 1 有m个 两 两 不 等 的 根 m xxx 21 则 n mm nn n xvxvxva 2211 更重要的是 上述命题的逆命题成立 即 若 n mm nn n xvxvxva 2211 m xxx 21 为 m mmm uxuxux 2 2 1 1 的m个根 则 nmmnmnmn auauaua 2211 上面的逆命题有极其广泛的应用 证明极其简单 将通项代入即可 而且 m xxx 21 允许 重复 高中联赛二试中出现的许多题目可以用它解决 如 06 年第 3 题 00 年第 2 题 下面对逆命题的应用作简单介绍 PartPartPartPart 3 3 3 3 1 1 1 1 为完全平方数 求证 nnnn aaaaaa4 1 614 2112 11 2 12 347 347 347 347114 14 2 1 nn n nnnnn bab xx bbbab 因此 有两根由于 则令 证明 注 此处不设n次方 而设1 n次方 是为了便于解方程组 2 1 347 4 1 347 4 1 4 1 11 21 nn n a babb 从而 解得由 下面为证明 n a为完全平方数 自然想到配方 证毕 且 提到的逆命题知则由令 2 1 4 2 2 32 2 32 2 32 2 32 2112 11 2 11 ccccc partc nnn nn n nn 注 上面的证明中 即使你不知道 2 32 347 也不要紧 直接用347 代替 32 对证明没有任何影响 2 2 2 2 zyxzyxzyxzyx 3 555333 求设 1 1 0133 0133 1 3 3833 33 29 33 29 3 3299 33 3 29 93 2923 03 2 3 0 323 23 53 0123 2 2345 1234 2 2310 123 23 zyxtttt tttzyxc babca c bbacabaa bcbcbbaca baa cbbacabaa bbaaaaa acabaa partzyxa abt c attx y z c b xyzzxyza xyzyx nnnn nnn n 知从而由 的三个根 为方程即从而 得 代入得于是由 又 从而 又易知 提到的逆命题知 则由定义数列 解 3 3 3 3 为正整数对任意正整数 的三个根 求证 为 ac ac cb cb ba ba n xxxcba nnnnnn 01 23 故得证 由韦达定理得出又 提到的逆命题知 由 定义 证明 2 2 3 3 2 11 11 11 210 123 cbaaaa aaaapart c cbac b bacb a acba ac ac cb cb ba ba a nnnn nnn nnnnnn n 4 4 为完全平方数 求证 nnnnn a a aa aaaaa 24321134 421 2 51 2 51 0 1 1 1 2234 ii xxxxxx 所以四根为 可分解为由于 证明 下面仿 3 楼可证 但计算量要比 3