换元积分法和分部积分法.doc

4.3 换元积分法和分部积分法课题： 换元积分法和分部积分法目的要求： 掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法，会用第二类换元法（限于三角置换，幂置换），会查积分表。重点： 不定积分的第一类换元法和分部积分法难点： 不定积分的第一类换元法教学方法： 讲练结合教学时数： 6课时教学进程：当被积函数较为复杂，运用基本积分法不能奏效时，常采用换元积分法和分部积分法4.3.1换元积分法由于积分是微分的逆运算，因此有一个微分公式就有一个相应的积分公式，有一个微分方法也就有一个相应的积分方法与复合函数的微分法相对应的积分法称为换元积分法换元积分法分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两类 第一类换元积分法先看下面的例例求解在基本积分公式里虽有但这里不能直接应用，这是因为被积函数是一个复合函数为了运用这个公式，需先把原积分作下列变形，然后作变量代换后再进行计算：由于，所以确实是的原函数，这说明上述方法是正确的例说明，如果不定积分不能用基本积分公式直接求出，但被积表达式具有形式则作变量代换，得而积分可以求出，不妨设则于是得定理1（第一类换元积分法）设及连续，且，则作变量代换后，有 由定理1知：在不定积分基本公式中若积分变量不是自变量，而是中间变量（设连续），则公式仍成立例如： ；有了上面的结论，我们可以将一些不能直接运用公式的积分通过变量代换化为基本公式的形式而求得运用第一类换元积分法求不定积分的主要步骤分为两步：第一步把被积函数分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分是的函数，另一部分是的导数第二步凑微分，并作变量代换 ，从而把关于积分变量x的不定积分转化为关于新积分变量u的不定积分例2求解 把被积函数中的看作新变量，即，且，所以令作代换，得例3 求 (1)； (2)解(1) 把被积函数中的看作新变量u，即，且于是令，则 (2) 把被积函数中的看作新变量u，即，而，于是令，则很多情况下被积函数需乘以适当的常数才能化为复合函数与其中间变量导数的乘积的形式。而所乘的常数是用于凑中间变量的微分的，因此第一类换元积分法的关键是“凑微分”。第一类换元积分法又称为凑微分法熟练以后，新变量u可以省略不写例4 求例5求例6求例7求例8求上述例4例8的结果可以当公式使用，即基本积分公式（二）(14)；(15)；(16) ；(17) ；(18)；(19) ；(20)有些不定积分稍作变形便可运用上述公式例9 求例10求例11求例12 求解法一解法二注意：同一积分，可能有不同的解法，其结果在形式上可能不同，但实际上它们仅相差一个常数2第二类换元积分法第一类换元积分法是通过变量代换：，将积分化为，即我们也常常会遇到相反的情形，即适当选择变量代换，将积分化为积分，若积分容易求得，设，则用下述方法计算不定积分：其中是的反函数这是另一种形式的换元积分法定理2 (第二类换元积分法)设连续，的导数连续，且，若，则定理中关于连续性的假设是为了保证有关的原函数存在，关于的假设是为了保证能从解出，最终消掉变量运用第二类换元积分法的主要步骤是，作变量代换，从而将关于积分变量的不定积分化为关于积分变量的不定积分关键是存在反函数第二类换元积分法主要解决被积函数中带根号的一类积分，去根号是选的主要思路例13 求解令，则，,于是例14 求解令，则，因此得 例15 求（a）例16 求例17 求例18 求例18说明有些被积函数虽带有根号，但可利用公式和前面的方法解决第二类换元积分法可以用来解决被积函数中带有根号的某些积分：（1）当根号内含有的一次函数，如，时，可分别作幂代换，；（2）当被积函数含有根式，时，可分别作三角代换，4.3.2 分部积分法前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的现在我们推出不定积分的分部积分法这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法设函数，具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为或于是，对上式两边求不定积分，得即（4.3.1）或 (4.3.2)上述公式叫做分部积分公式运用分部积分公式求不定积分的主要步骤是把被积函数分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作，另一部分因式看作，而后运用公式，这样就把求不定积分的问题转化为求不定积分的问题例19求 例20求 一般地，选取和的原则是：(1)由易于求(2)不定积分比原不定积分容易求出在许多情况下，按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序选择u常常能做到这一点即当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以上述排列中次序在前的函数作为u而将排序在后的另一个函数选作熟练以后，和可省略不写，把含和的部分看在眼里，记在脑子里此时直接运用公式(4.3.2)较为方便例21求解把看作，看作，想着公式(4.3.2)，得 例22求例23求有些积分往往要把换元法和分部积分法结合起来使用才能求解例24求 4.3.3 简易积分表及其使用用前面介绍的方法我们已能解决一些简单的积分问题，为了实用方便，人们已将一些函数的不定积分汇编成表，这种表叫积分表本书后面列出的“简易积分表”是按被积函数的类型加以编排的，其中包括了最常用的一些积分公式使用积分表通常要先对被积函数作一个变换才能在积分表中查到例25求解被积函数含有，属于积分表中（一）类的积分按照公式，当，时，就有例26求解这个积分属于表中（二）类含有的积分按照公式15，当，时，有例27求解被积函数含有三角函数，在积分表第（十一）类中查得公式103， 104都是关于的公式，这要看还是来决定采用哪一个现在，所以用公式103，得例28求解这个积分在积分表中不能直接查到若令，则有，于是在积分表第（五）类中查得公式29，且，于是 例29求解这个积分属于积分表（八）类含有的积分其中公式72有两个结果，要看还是才能决定采用哪一个现在，即，所以应采用公式72中的第一个结果，得例30求解从积分表第（四）类中，查得公式28，得，上式右端的积分，再用公式22，得例31求解在积分表第（十四）类中查得公式136，即就本例而言，利用这个公式并不能求出最后结果，但是可使被积函数中的幂指数减少一次，重复使用这个公式可以使的幂指数继续减少，直到最后结果，这个公式叫做递推公式现在，两次运用公式136，得一般来说，查积分表可以节省时间，但是，只有掌握了前面学过的积分方法后才能灵活地使用积分表，而且有时对一些比较简单的积分，应用我们所掌握的积分方法计算比查表更快些例如，对用凑微分，很快就可得到结果关于不定积分，我们还要指出：对于初等函数来说，在其定义区间内，它的原函数一定存在这是不是说我们已经会求所有初等函数的不定积分了呢？事实远非如此不用说很复杂的初等函数，就连一些简单的初等函数，例如等，它们的原函数一定存在，但却不能用初等函数表示出来，有时称为“积不出来”它们的计