第8章_习题详解.pdf

第第 8 章章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的 z 域分析域分析 8 1 根据定义求以下序列的单边 z 变换及其收敛域 1 2 5 4 3 2 1 Nkuku 3 4 Nkukua k cos 2 1 0 kku k 分析 根据序列单边 z 变换的定义即可求出上述信号的 z 变换及收敛域 k k zkfzF 0 解 1 k k zkfzF 0 4321 54321 zzzz0 z 2 k k zkfzF 0 k N k z 1 0 1 1 1 z z N 0 z 3 k k zkfzF 0 kk N k za 1 0 1 1 1 1 az az N az 4 2 1 2 1 cos 2 1 00 0 kueekku kjkjkk k k zkfzF 0 2 1 2 1 2 1 00 00 kjk k kjk k ee 11 00 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 zeze jj2 0 1 0 1 4 1 cos1 cos2 2 1 zkz kz 2 1 z 8 2 根据单边 z 变换的位移性质 求以下序列的 z 变换及其收敛域 1 Nk 2 Nku 3 4 2 ku Nkua Nk 5 6 kua Nk Nkua k 分析 单边 z 变换的位移特性有以下三种形式 8 1 zFznkunkf nz 8 2 1 0 n k kn zkfzFzkunkfZ 8 3 1 nk kn zkfzFzkunkfZ 对于因果序列的位移 利用式 8 1 非因果序列的位移 利用式 8 2 和 8 3 解 176 信号与系统学习指导及习题详解 1 利用因果序列的位移特性 有 N zzF 0 z 2 利用因果序列的位移特性 有 1 1 z z zF N 1 z 3 2 1 2 2 kukukuku 利用因果序列的位移特性 有 1 1 21 1 1 21 z z zz zF 0 z 4 利用因果序列的位移特性 有 1 1 az z zF N az 5 由于 直接应用指数信号的 z 变换 可得 kuaakua kNNk 1 1 az a zF N az 6 将改写成 利用因果序列的位移特性 可得 Nkuak Nkuaa NkN 1 1 az za zF NN az 8 3 根据 z 变换的性质 求以下序列的单边 z 变换及其收敛域 1 2 kukak 1 kukak 3 4 1 2 kuk Nkukuk 5 6 i k i b 0 i k i k ba 0 分析 利用 z 变换的性质求信号 z 变换的关键是根据待分析信号的构成 确定合适的信号 作为基本信号 采用相应的 z 变换性质 解 1 由 1 1 1 az kua Zk 以及 z 域微分特性 有 1 1 d d 1 azz zkukaZ k 21 1 1 az az az 2 将改写为 1 kukak 1 1 1 1 11 kuaakuakakuka kkk 利用 1 题结果及因果序列的位移特性 可得 1 kukaZ k 1 1 21 22 1 1 az az az za 21 1 1 az az az 3 将改写为 1 2 kuk 2 1 22 kukkukukkuk 利用 u k 的 z 变换及 z 域微分特性 有 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 177 1 1 1 z kuZ 1 1 d d 1 zz zkkuZ 21 1 1 z z 1 d d 21 1 2 z z z zkukZ 31 21 1 z zz 故 121 1 31 21 1 1 1 2 1 zz z z zz zF 31 1 1 1 z z 1 z 4 将 Nkukuk 改写为 NkNuNkuNkkkuNkukuk 利用 3 题结论及因果序列的位移特性 可得 121 1 21 1 1 1 1 z Nz z zz z z zF NN 21 11 1 1 1 z zNzzz NN 0 z 5 将改写为 i k i b 0 0 kubkub ki k i 利用卷积特性 1 1 1 11 0 bzz bZ i k i 1max bz 6 利用 5 题结果及指数加权特性 有 1 1 1 11 0 abzaz baZ i k i k max abaz 8 4 求以下周期序列的单边 z 变换 1 L L 2 1 0 12 0 2 1 0 2 1 nnk nnk kf 2 1 0 ikfky k i i 分析 周期为N的单边周期序列可以表示为第一个周期序列f kukfN 1 k 及其位移 f1 k lN 的线性组合 即 kukfN 1 0 lNkf l 这样 若计算出f1 k 的z变换F1 z 利用因果序列的位移特性和线性特性 则可求得其单边周 期序列的z变换为 Nl l N zzFkukfZ 1 0 N z zF 1 1 1 z 178 信号与系统学习指导及习题详解 解 1 f k 可表示为 L 4 2 kkkkf 利用 k 的 z 变换及因果序列的位移特性 可得 2 42 1 1 1 z zzzFL 1 z 2 将 y k 改写为 1 1 0 kfkuikfky k k i i 利用 1 题的结果及卷积特性 可得 1 1 1 21 zz zY 1 z 8 5 已知1 1 22 z z z zFkfZ 利用 z 变换的性质 求下列各式的单边 z 变换 及其收敛域 1 2 1 kfkf 2 2 1 2 kfkf k 3 2 2 1 3 kfkf k 4 4 kkfkf 5 2 5 kfkkf 6 0 6 ifkf k i 7 8 0 7 ikfkf k i 1 8 ikfkf k i 分析 本题的关键是判断f1 k f8 k 各信号是 f k 经过什么运算得到的 然后根据其运算 利用相应的z变换性质即可求出它们的z变换 解 1 利用因果序列的位移特性 可得1 1 22 1 1 z z z zF 2 利用指数加权特性 可得 1 2 1 2 22 2 z z z zF 3 利用 1 题结果及指数加权特性 可得 1 2 1 2 22 1 3 z z z zF 4 利用 z 域微分特性 可得 1 1 3 1 d d 32 3 22 4 z z zz z z z zzF 5 利用 4 题结果及线性加权特性 可得 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 179 2232 3 45 1 2 1 3 2 z z z zz zFzFzF 1 1 3 32 3 z z zz 6 f 6 k 可以表示为 f k u k 利用卷积特性可得 1 1 1 22 2 6 z zz z zF 7 f 7 k 可以表示为 f k u k 利用卷积特性可得 1 1 1 22 2 7 z zz z zF 8 f 8 k 可以表示为 f k u k 1 利用因果序列的位移特性及卷积特性 可得 1 1 1 22 8 z zz z zF 8 6 已知因果序列 f k 的 z 变换式 F z 试求 f k 的初值和终值 f 0 f 1 f 1 5 0 1 1 2 zz zz zF 2 3 1 2 1 2 2 zz z zF 分析 利用初值定理和终值定理即可求出 f k 的初值 f 0 和终值 f 将 f k 左移 1 再利 用初值定理即可求出 f 1 但在应用终值定理时 只有序列终值存在 即 F z 的极点在单位圆 内 z 1 除外 终值定理才适用 解 1 由初值定理 有 lim 0 zFf z 0 5 0 1 1 lim 2 zz zz z 利用位移特性 有 0 1 fzFzkfZ 对上式应用初值定理 可得 0 lim 1 fzFzf z 由于 5 0 1 zz z zF 其极点为 1 0 5 故序列终值存在 由终值定理 有 1 lim 1 zFzf z 3 2 5 0 lim 1 z z z 2 与 1 相似 可求出0 3 1 1 2 0 fff 8 7 已知 不计算 F z 利用 z 变换的性质 求下列各式 的原函数 kfZzF kuakf k 1 2 1 zFzzF N 2 2 zFzF 3 4 3 zzFzF 1 1 1 4 zF z zF 180 信号与系统学习指导及习题详解 5 6 2 5 zFzzF N 1 6 zFzF 分析 序列时域和z域具有一一对应关系 若能够判断出F1 z 至F6 z 的z域表达式是信号f k 经过什么运算才得到的 则将f k 进行相应的运算即可求出F1 z 至F6 z 的时域表达式 解 1 利用因果序列的位移特性 有 1 NkuaNkfkf Nk 2 利用指数加权特性 有 2 2 1 2 ku a kfkf kk 3 利用 z 域微分加权特性 有 3 kukakkfkf k 4 利用求和特性或卷积特性 有 i k i akfkukf 0 4 5 利用 2 题结果及因果序列的位移特性 有 2 25 Nku a Nkfkf Nk 6 利用双边 z 变换的时域翻转特性 有 6 kuakfkf k 8 8 求以下各式的单边 z 反变换 f k 1 2 1 4 1 1 z z zF 2 1 1 log 1 az zF 3 21 1 1 z zF 4 22 4 1 1 zzF 分析 利用常用信号的 z 变换和 z 变换的性质可以求出一般信号的 z 变换 反之 若能够 判断出 F z 是哪个常用信号 经过什么运算得到的 则将这个常用信号进行相应的运算即可求 出 F z 的时域表达式 f k 解 1 将 F z 改写为 2 1 4 1 1 z z zF 221 1 2 1 2 cos1 2 sin 2 1 2 zz z 利用 22 0 1 0 1 0 cos21 sin sin zaaz az kkuaZ k 可得 2 sin 2 1 2 kukkf k 2 利用的幂级数展开 1log r 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 181 1 1 1log 1 z 2 11 31 1 21 1 zz zF 21 1 651 52 zz z 32 z 3 由于 2 21 1 1 2 1 z z kuZ k 左 右边序列的 z 变换没有公共收敛区域 故该序列双边 z 变换不存在 4 11 31 1 21 1 zz zF 21 1 651 52 zz z 2 z 8 12 根据 z 变换的性质求以下序列的 z 变换及其收敛域 1 kukf 2 kuakf k 3 4 Nkuakf Nk k akf 5 NkuNkuakf k 6 kkf k 4 cos 2 1 分析 题中的信号为左边信号或双边序列 应利用双边 z 变换的性质 解 1 利用 1 1 1 z ku Z 以及时域翻转特性 可得 1 zFkf Z 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 185 1 1 1 z z kuZ 1 z 2 利用 1 1 1 az kua Zk 以及时域翻转特性 可得 1 1 1 az az kuaZ k az 4 k akf 1 kuakua kk 1 1 1 az kuaZ k az 11 1 1 1 za kuaZ k 1 az 当1 a时 z 变换不存在 当1 a时 z 变换存在 111 1 1 1 1 azza aZ k 1 z 6 kkf k 4 cos 2 1 2 1 2 1 4 j 4 jkk k ee 由第 4 小题结论 可得 11 5 01 1 21 1 2 1 zz Z k 25 0 z 利用双边 z 变换的指数加权特性 有 4 cos 2 1 kZ k 5 01 1 21 1 5 01 1 21 1 2 1 1 4 j 1 4 j 1 4 j 1 4 j zezezeze 25 0 4 cos 1 1 4 4 cos 41 1 2 1 2121 zzzz 25 0 f Rz的圆外区域 f Rz的圆内区域 z 对应的 f k 是因果序列 2 1 9 1 z 对应的 f k 是非因果序列 9 1 1 1 1 2 az az zF z zz z zF 4 1 231 21 1 f Rz的圆外区域 则将其展开为z 1的幂级数 则级数的系数就是右边序 列f k 若F z 的收敛域为 a 的圆外区域 所以f k 是右边序列 将F z 用长除法展开为z 1的 级数 有 M L 1 1 11 22 221 1 1 221 1 za zaaz az az zaaz az 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 187 即 LL kk zazaaz az zF 221 1 1 1 1 与双边 z 变换的定义比较 可得 kuakf k 2 因为收敛域是 z z 4 1 z和 2 1 4 1 z对应右边序列 即有 4 1 2 1 3 4 kukf kk 4 1 z对应左边序列 即有 1 4 1 2 1 3 4 kukf kk 2 1 4 1 z时 2 1 1 kukf k 当 2 1 z时 1 2 1 1 kukf k 当1 2 1 z时 2 1 1 kukukf k 8 16 用部分分式法求以下各式的 z 反变换 f k 1 25 0 5 21 1 21 1 z zz z zF 2 5 0 5 21 1 21 1 z zz z zF 3 2 1 3 1 56 1 21 z zz zF 4 5 0 25 01 21 1 z zz z zF 5 15 0 25 01 1 211 1 z zzz z zF 6 5 0 5 0 1 1 2 z zzz zF 解 1 将 F z 用部分分式展开为 21 1 5 21 1 zz z zF 1 1 2 1 1 3 1 21 3 2 z z 由于 F z 的收敛域为25 0 z区域的闭合围线内有一个极点 z 0 5 其留数为 5 0 1 5 0 1 5 0 Res z k z k zzFzzzF k z k z z z 2 1 3 1 2 1 5 0 当k 1 时 在 1 k zzF2LL 对 f t 以等间隔 T 抽样得到离散时间序列 即 kf kTt tfkf 求的 z 变换 kf 分析 先对 F s 进行 Laplace 反变换获得 f t 再对 f t 等间隔抽样得到 f k 最后在对 f k 进行 z 变换即得 F z 解 对 F s 进行 Laplace 反变换 可得 1 tueAtf tp l M l l 因为 1 kueAtfkf kTp l M l kTt l 所以 对 f k 进行 z 变换可得 190 信号与系统学习指导及习题详解 1 1 1 ze A kfZzF Tp l M l l max 1 TpTpTp Ml eeez LL 8 19 求下列各离散时间 LTI 系统的零输入响应 零状态响应和完全响应 1 1 3 1 kfkyky 2 1 kukf k 1 1 y 2 1 3 1 kfkyky 3 1 kukf k 1 1 y 3 1 1 3 1 kfkfkyky 2 1 kukf k 1 1 y 4 2 3 1 1 3 4 kfkykyky 2 1 kukf k 1 1 y 5 2 2 y 2 2 1 2 2 1 kfkfkykyky kukf 5 0 1 y 25 0 2 y 6 1 1 2 kfkfkyky 2 1 kukf k 2 1 y 1 2 y 分析 利用单边z变换的位移特性 将描述离散时间系统的时域差分方程变换成z域代数方 程 此代数方程中同时体现了系统的初始状态 解此代数方程 即可分别求得系统零输入响应 yx k 零状态响应yf k 及完全响应y k 解 1 对差分方程两边做单边 z 变换得 1 3 1 3 1 1 zFyzYzzY 3 1 1 1 3 1 1 3 1 11 zF zz y zY 零输入响应的 z 域表达式为 1 3 1 1 3 1 z zYx 进行 z 反变换得 0 3 1 3 1 kky k x 由于 1 2 1 1 1 z kfZzF 故零状态响应的 z 域表达式为 11 2 1 1 1 3 1 1 1 zz zYf 11 2 1 1 3 3 1 1 2 zz 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 191 进行 z 反变换得 2 1 3 3 1 2 kuky kk f 完全响应为 kykyky fx 0 2 1 3 3 1 3 5 k kk 2 至 5 题与 1 题相似 其答案分别为 2 0 3 1 3 1 kky k x 3 1 1 kukky k f kykyky fx 0 3 1 3 4 3 1 kk kk 3 0 3 1 3 1 kky k x 2 1 9 3 1 8 kuky kk f kykyky fx 0 2 1 9 3 1 3 23 k kk 4 0 3 1 2 1 2 5 kky k x 2 1 4 3 1 5 kuky kk f kykyky fx 0 2 1 4 3 1 2 1 2 15 k kk 5 0 2 kky k x kkukyf 0 2 kkkykyky k fx 6 设 k 2 n 则差分方程可改写为 2 1 1 nfnfnyny 对差分方程两边做单边 z 变换得 1 211 zFzzyzYzzY 11 1 1 21 1 zF z zz z y zY 零输入响应的 z 域表达式为 1 1 2 z zYx 进行 z 反变换得 0 1 2 kky k x 零状态响应的 z 域表达式为 1 1 21 2 1 1 1 1 z z zz zYf 1 1 2 1 1 3 2 1 3 4 2 z z 进行 z 反变换得 2 1 3 2 1 3 4 2 kukky kk f kykyky fx 0 2 1 3 2 1 3 2 2 kk kk 192 信号与系统学习指导及习题详解 8 20 已知某线性时不变系统在阶跃信号 u k 激励下产生的阶跃响应为 2 1 kukg k 试 求 1 该系统的系统函数 H z 和单位脉冲响应 h k 2 在 3 1 kukf k 激励下产生的零状态响应 y k 分析 先由阶跃响应求出系统的系统函数 H z 再由 zHzFzYf 求出在 f k 激励 下的 y k 解 1 根据系统函数的定义 可求出 1 1 2 1 1 1 z z kuZ zG zH 进行 z 反变换得 1 2 1 kukkh k 2 由于 1 3 1 1 1 z kfZzF 故 f k 激励下的零状态响应 y k 的 z 域表达式为 zHzFzY 3 1 1 2 1 1 1 11 1 zz z 11 3 1 1 4 2 1 1 3 zz 进行 z 反变换得 2 1 3 3 1 4 kuky kk 8 21 已知描述离散时间系统的差分方程为 2 8 1 1 4 3 kfkykyky 求此系统的系统函数 H z 单位脉冲响应 h k 及其阶跃响应 g k 分析 对差分方程两边进行 z 变换 由系统函数的定义 zFzYzH f 即可求出 H z 对其进行 z 反变换可得单位脉冲响应 h k 利用 zHzFzYf 可以求出阶跃信号作用在 系统上的响应 也可以应用阶跃响应 g k 与单位脉冲响应 h k 的关系求出 nhkg k n 解 对差分方程两边进行 z 变换 有 8 1 4 3 21 zFzYzzYzzY fff 由系统函数的定义 可得 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 193 21 8 1 4 3 1 1 zz zF zY zH f 11 4 1 1 1 2 1 1 2 zz 进行 z 反变换得 1 zHZkh 4 1 2 1 2 ku kk 阶跃响应的 z 变换式为 1 8 1 4 3 1 1 121 zzz kuZzHzG 11 1 4 1 1 3 1 2 1 1 2 1 3 8 zz z 进行 z 反变换得 4 1 3 1 2 1 2 3 8 kukg kk 8 22 一初始状态为零的离散系统 当输入 2sin kukkf 时 测得输出 2cos22sin2 2 kukkeky k 求该系统的系统函数 H z 解 f k 和 y k 的 z 变换式分别为 21 1 2cos21 2sin 2 sin zz z kkuZzF 21 1 21 1 12 2cos21 2cos1 2 2cos21 2sin 1 2 zz z zz z ze zY 2cos21 1 2cos22sin2 22cos22 sin 2112 22212 zzze zeeze 由系统函数的定义 有 zF zY zH 12 1222 1 2cos22sin2 22cos22 sin ze zeee 8 23 LTI 离散系统初始状态为 y 1 8 y 2 2 当输入时 输出响应为 5 0 kukf k 5 0 1 5 0 5 0 5 0 4 1 kukukkuky kkk 求系统函数 zH 分析 系统函数定义为零状态响应的 z 变换与激励信号的 z 变换之比 但本题给出的是系 统的完全响应 因此 必须从完全响应中分解出零输入响应和零状态响应 解 零输入响应的形式由差分方程的特征根决定 零状态响应与输入信号和特征根有关 由 于完全响应 y k 中的与输入信号无关 故 0 5 是系统的一个特征根 又由于 且完全响应 y k 中含有项 故 0 5 也是系统的特征根 由 此可以确定零输入响应的形式为 5 0 ku k 5 0 kukf k 1 5 0 1 kuk k kk x BAky 5 0 5 0 代入初始状态322 1 BAy 244 2 BAy可求出 A 1 B 0 5 194 信号与系统学习指导及习题详解 故 0 5 0 5 0 5 0 kky kk x 零状态响应为 kykyky xf 5 0 5 0 1 5 0 5 0 5 0 3 1 kukukku kkk 对其进行 z 变换 可得 11 1 21 22 1 5 01 5 0 5 01 5 0 5 01 5 0 5 01 3 zz z z z z zYf 5 01 5 01 5 0 5 45 2 121 22 zz z 根据系统函数的定义 可得 zF zY zH f 22 2 5 01 125 15 2 z z 8 24 已知描述离散时间系统的差分方程为 1 4 2 1 2 kfkfkyky 当该系统的输入序列为 1 1 2 3 时 求此系统的零状态响应 ky f 分析 由差分方程求出系统的系统函数 H z 再由 zHzFzYf 求出零状态响应的 z 域表达式 对其进行 z 反变换即可 或者求出系统的单位脉冲响应 再由 f k h k 求出 ky f 1 zHZkh ky f 解 对差分方程两边进行 z 变换 并根据系统函数的定义 可得 1 1 1 1 21 8 2 21 42 z z z z zF zY zH f 对其进行 z 反变换 可得 2 8 2 kukkh k 将输入序列 1 1 2 3 用单位脉冲序列表示为 3 3 2 2 1 kkkkkf 直接由时域可求出零状态响应为 khkfkyf 3 2 3 2 2 4 1 2 4 2 8 2 kukukukukf kkkk 8 25 已知描述离散时间系统的差分方程为 2 2 1 2 2 1 3 kfkfkykyky 系统的初始状态为 4 3 2 2 1 1 yy 当输入信号序列为时 系统的完 全响应 试求 kf 0 12 2 kky k kf 分析 先根据系统的初始状态求出系统的零输入响应 从时域或z域求 再从完全响应中 分解出零状态响应 求出零状态响应的z域表达式及系统函数H z 利用F z Yf z H z 即可求 出输入序列 解 由 z 域求解 令 f k 0 对齐次差分方程进行单边 z 变换 可得 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 195 0 2 2 1 2 2 1 3 3 121 yyzzYzyzYzzY xxx 故零输入响应的 z 域表达式为 1121 1 21 1 1 1 21 1 231231 2 2 1 2 1 3 zzzz z zz yyzy zYx 进行 z 反变换 可得 12 kuky k x 因为完全响应等于零输入响应与零状态响应之和 所以 12 kukykyky k xf 对其进行 z 变换 可得 21 1 231 zz z zYf 根据系统函数的定义 有 21 21 231 2 zz zz zF zY zH f 故输入序列的 z 域表达式为 121 1 21 1 2 zzz z zH zY zF f 进行 z 反变换 即得 2 kukf k 8 26 一初始状态为零的离散系统 当输入 f k u k 时 测得输出 2 3 1 2 1 kuky kk 试确定描述该系统的差分方程 分析 已知输入 f k 激励下的零状态响应 y k 根据系统函数的定义可求出 H z 由于 zD zN zF zY zH f 故有 zFzNzYzD f 对其进行 z 反变换即得系统的差分方程 解 对 f k 和 y k 进行 z 变换 可得 1 1 1 z kfZzF 1 111 1 3 1 1 1 2 1 1 1 z zz kyZzY 1 6 1 6 5 1 6 1 2 3 2 121 21 zzz zz 196 信号与系统学习指导及习题详解 由系统函数的定义有 zF zY zH 21 21 6 1 6 5 1 6 1 2 3 2 zz zz 即 6 1 2 3 2 6 1 6 5 1 2121 zFzzzYzz 进行 z 反变换 可得 2 6 1 1 2 3 2 2 6 1 1 6 5 kfkfkfkykyky 8 27 已知某离散时间系统函数 H z 试画出其零极点分布图 并判断系统的稳定性 4 32 1 2 zzz z zH 分析 z 域离散时间系统稳定的充要条件是 H z 的收敛域应包括 z 平面单位圆 因果系统 稳定的充要条件是 H z 的所有极点都在单位圆内 因此 计算出系统的极点 并得出全部可 能的收敛域即可判断系统是否稳定 解 系统的零极点分别为5 1 5 0 0 1 31 pppz z 其零极点分布图如图 8 所示 H z 可能的收敛域为5 1 z 5 0 z和5 15 0 z和5 0 z均不包含 单位圆 故系统不稳定 只有当收敛域为5 15 0 z时才包含单位圆 故系统稳定 对于因果系统 由于单位圆外有一极点 故系统不稳定 Re z Im z 0 5 1 51 图8 1 题 8 27 零极点分布图 8 28 已知某离散时间系统函数 H z 的零极点分布图如题 8 28 图所示 试定性画出各系统 单位脉冲响应 h k 的波形和系统的幅频特性曲线 Re z Im z 0 8 2 0 5 Re z Im z 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 197 a b 0 9 Re z Im z 0 8 0 8 Re z Im z c d j0 8 j0 8 Re z Im z 0 8 1350 Re z Im z e f 题 8 28 图 分析 H z 的极点决定了的 h k 波形 一般 实数单极点 p r 对应的单位脉冲响应为 kurKkh k 共轭复数极点对应的单位脉冲响应为 jj reprep 21 cos kukrKkh k 系统的频响特性可以利用向量法绘出 也可以借助 MATLAB 得到 一般 向量法不适合高阶 系统 对于二阶以上的系统往往借助 MATLAB 绘制频响特性 本题均为一 二阶系统 可以 采用向量法 向量法的关键是求出由零点到单位圆上 0 2 点所做向量的模和相角 j e j N j 以及极点到单位圆上点所做向量的模和相角 j e i D i 再由 n mj DDD NNN KeH L L 21 21 2121nm j e LL 即可得到系统的幅频特性和相频特性 解 a 由零极点分布图 系统在单位内 z 0 8 处有一个极点 故其单位脉冲响应的形式为 8 0 kuKkh k 由此可以定性地画出其波形 如图 8 2 a 所示 采用向量法 如图 8 2 b 所示 由零 极点分别向单位圆上各点所做向量 由于零点 在原点 故其到单位圆各向量的模 N 均为 1 当 j e 0 时 极点到单位圆上点向量的模 D 0 2 0 j e 198 信号与系统学习指导及习题详解 所以 K D K D N KeH j 5 1 0 在 0的其它点 极点到单位圆上各点向量的模 D 逐渐增大 因而 j e DKeH j 逐渐减小 当 时 D 最大为 1 8 此时 j eH最小 为 K D KeH j 9 51 由此可以定性地画出系统的幅频特性 如图 8 2 c 所示 k 0 h k Re z Im z 0 8 D N ej 0 2 a 单位脉冲响应 b 向量表示 c 幅频特性曲线 图8 2 题 8 28 a 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 b 由零极点分布图 系统在单位内有一对共轭复数极点 故其单位脉冲响应 的形式为 4 j 4 j 5 0 5 0ee 4 cos 5 0 kukKkh k 由此可以定性地画出其波形 如图 8 3 a 所示 由于系统在单位内有一对共轭复数极点 在单位外有一对与极点成倒数 关系的共轭复数零点 由 信号与系统教材 例 8 24 d 可知 当系统函数的零 极点互为共轭倒数关系出现时 系统为全通系统 其幅频特性为常数 故由此可以定性地画出 系统的幅频特性 如图 8 3 b 所示 4 j 4 j 5 0 5 0ee 4 j 4 j 2 2ee k 0 h k ej 0 2 a b 图8 3 题 8 28 b 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 参考 a 小题 可以分别画出 c d e f 各系统的 h k 波形和幅频特性曲线 如图 8 4所示 k 0 h k ej 0 2 a 题 8 28 c 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 199 k 0 h k ej 0 2 b 题 8 28 d 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 k 0 h k ej 0 2 c 题 8 28 e 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 k 0 h k ej 0 2 d 题 8 28 f 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 图8 4 题 8 28 c d e f 的 h k 波形和系统的幅频特性曲线 需要说明的是 b e f 系统的系统函数在单位圆内均有一对共轭复数极点 其单位脉冲 响应的形式均为 4 cos 5 0 kukKkh k 但题解所画各 h k 波形却不完全相同 其原因在于考虑了零点的作用 零点对 h k 波形的幅度 和相位均有影响 8 29 试画出下列离散时间系统的直接形式 级联和并联形式模拟方框图 1 3 1 1 2 1 1 1 11 2 zz z zH 2 2 1 1 2 1 1 21 121 1 zzz z zH 3 2 5 0 1 12 zzz z zH 4 6 0 4 0 8 0 2 zzz zz zH 分析 将 H z 的分子和分母表示成关于z 1的多项式形式 即可画出其直接型结构 将H z 表示为实系数一阶和二阶子系统之积的形式 画出各子系统的直接型结构 再将其级联即得级 联型结构 将H z 表示为实系数一阶和二阶子系统之和的形式 画出各子系统的直接型结构 再将其并联即得并联型结构 一般 实数极点对应一阶子系统 共轭复数极点对应二阶子系统 解 2 将 H z 改写为 200 信号与系统学习指导及习题详解 321 1 4 1 2 3 1 21 zzz z zH 由此可画出其直接型结构 如图 8 5 a 所示 H z 有一对共轭复数极点 其对应实系数二阶子系统 故将 H z 表示一阶和二阶子系统之 积的形式 即 121 1 2 1 1 1 2 1 1 21 zzz z zH 由此可画出其级联型结构 如图 8 5 b 所示 将 H z 表示一阶和二阶子系统之和的形式 即 121 1 2 1 1 5 2 1 1 54 zzz z zH 由此可画出其并联型结构 如图 8 5 c 所示 z 1 z 1 3 2 2 z 1 1 4 Y z F z a 直接型结构 z 1 z 1 1 2 2 Y z F z z 1 1 2 b 级联型结构 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 201 z 1 z 1 1 2 5 F z z 1 1 2 5 Y z 4 c 并联型结构 图8 5 题 8 29 2 的模拟方框图 3 将 H z 改写为 321 43 4 1 4 5 21 2 zzz zz zH 由此可画出其直接型结构 如图 8 6 a 所示 H z 的极点均为实数极点 对应实系数一阶子系统 故将 H z 表示为一阶子系统之积的形 式 即 1 1 1 1 1 21 5 015 011 2 z z z z z zz zH 由此可画出其级联型结构 如图 8 6 b 所示 将 H z 表示一阶子系统之和的形式 即 21 1 1 1 1 1 1 5 01 16 5 01 8 1 12 4 z z z z z z zzH 由此可画出其并联型结构 如图 8 6 c 所示 z 1 z 1 5 4 2 F z Y z 2 z 1 1 4 z 1 a 直接型结构 202 信号与系统学习指导及习题详解 z 1 z 1 1 F z 2 Y z z 1 0 5 z 1 0 5 b 级联型结构 z 1 1 z 1 0 5 z 1 0 5 8 16 z 1 2 z 14 F z Y z c 并联型结构 图8 6 题 8 29 3 的模拟方框图 1 4 题与 2 3 题相似 为了得到直接形式 级联和并联形式模拟框图 将 H z 分别表示为 1 21 2 6 1 6 1 1 1 zz z zH 11 2 3 1 1 1 2 1 1 1 zz z 11 3 1 1 4 2 1 1 3 6 zz 4 321 21 192 008 01 2 zzz zz zH 11 1 1 1 6 01 1 4 01 21 8 01 zz z z z 111 6 01 13 4 01 3 4 8 01 3 35 zzz 结构框图略 8 30 已知离散因果系统的模拟方框图如题 8 30 图所示 求系统函数 H z 并确定系统稳定时 的 K 值范围 z 1 K 3 f k y k 4 g k a 第 8 章 离散时间信号与系统的 z 域分析 203 z 1 z 1F z Y z K 2 b 题 8 30 图 分析 根据模拟方框图的一般规律 可以求出系统函数 H z 再由系统稳定的充要条件 即可确定使系统稳定的 K 值范围 模拟方框图的一般规律为 若系统函数 H z 为 n n m m zazaza zbzbzbb zH L L 2 2 1 1 2 2 1 10 1 则模拟方框图的各反馈回路的传输函数分别为 对应 H z 的分母 模拟方框图的各条前向通路的系统函数分别为 对应 H z 的分子 n n n n zazazaza 1 1 2 2 1 1 m m m m zbzbzbzbb 1 1 2 2 1 10 解 a 根据模拟方框图的一般规律 其系统函数 H z 为 1 1 3 1 41 z K z zH 对因果系统 系统稳定的条件是极点在单位圆内 即1 3 K 由此得 3 K b 根据模拟方框图的一般规律 其系统函数 H z 为 21 21 1 2 Kzz zz zH 对因果系统 系统稳定的条件是极点在单位圆内 即1 2 411 2 1 K p 由此得 10 K 8 31 已知离散时间系统的单位脉冲响应 求系统的系统函数 H z 描述系统的差分方程 系统的模拟方框图