数学物理方程Ch.3-4复习资料.pdf

第三章 调和方程 1 什么叫调和方程 答 叫 n 维调和方程 1 12 2 n n x xx xx x uuu 0 2 举出调和函数的例子 并说明它的物理意义 例 222 11 x y z r xyz 它除了点0r 以外 是 3 R中的调和函数 物理意义 P69 引力场的势 静电场的电势等 3 调和方程有哪几种定解条件 为什么没有初始条件 答 有四种边界条件 P70 内问题 外问题 狄利克雷内问题 诺伊曼内问题 狄利克雷外问题 诺伊曼外问题 因为方程与时间无关 所以没有初始条件 4 对于 Dirichlet 外问题 或 Neumann 外问题 为什么要附加条件 lim 0 r u x y z 答 若无此条件 则解可能不唯一 例如 与 1 1u 2 1 u r 都满足 0 xxyyzz uuu 222 1xyz 222 1 1 xyz u 5 平均值定理的内容是什么 并证明之 答 P77 平均值公式 设函数在某区域 u M 内调和 0 M是中 的任一点 则对以 0 M为中心 a为半径完全落在区域 的内部的球面 a 成立 0 2 1 4 a u Muds a 证明过程 P77 6 极值原理的内容是什么 答 P77 极值原理 对不恒等于常数的调和函数 其在 区域的任何内点上的值不可能达到它在 u x y z 上的上界或下界 7 三维区域上的格林函数是 0 0 1 4 M M Gg M r M 格林函数的物理意义 P81 82 格林函数在静电学中有明显的物理 意义 设在点 0 M处置一单位点电荷 那么它在自由空间所产生的静 电场的电位为 0 1 4 M M r 如果在 0 M点的点电荷包围在一个封闭的导电 面内 而这个导电面又是接地的 此时在导电面内的电位就可以用格 林函数 0 0 1 4 M M G来表示 它在导电面上恒等于零 而函数 正好表示导电面上感应电荷所产生的电位 g M M r 0 g M M 8 三维空间中 半径为 R 的球上的格林函数是 答 P82 00 0 0 111 4 M MM M R G M M rr 9 球 2222 xyzR 上 0 xxyyzz uuu 2222 xyzR x y z Dirichlet 内问题 uf 2222 xyzR 的求解公式是 答 P83 求解公式 22 0 03 22 2 00 1 4 2cos M R R u Mf M dS R RRr 10 上半空间的格林函数是 上半空间的 Dirichlet 问题的求解公式 是 答 格林函数是 P83 0 22222 00000 111 4 G M M xxyyzzxxyyzz 2 0 求解公式是 P84 0 000 3 222 2 000 2 zf x y u xyzdxdy xxyyz 11 的基本解是什么 0u 答 维数时 2n 1 lnu r 维数3n 时 1 u r 12 求出函数 u u 满足 uu4 xxyy 222 0 xyaa 0u 222 xya 解 为所求 222 uxya 13 举例说明 对方程 不成立极值原理 0 xxyy uucu 0c 解 设 区域2c 0 0 且设 1 sin sin 2 u x yxy 于是 0 xxyy uuu x y 并且 注 表示 u 0 的边界 但是在 中的 u x y 2 2 处取值 1 2 22 u 即 在中取到上 的最大值所以 极值原理不成立 u 14 利用能量积分法证明 泊松方程 Dirichlet 内问题的解是唯一的 Neumann 内问题的解在允许相差一个任意常数的意义下是唯一的 证明 对于泊松方程 uf x y z x y z Dirichlet 内问题 u r x y z 如果它有两个解和 记uu 1 u x y z 2 ux y z 21 u 于是 有 0u x y z 0u r 作 222 xyz E uuuudxdydz 于是 xxyyzz E uuuuuuuu u dxdydz xxyyzz uuuuuudxdydz u uds n 最后一个等式的成立是应用了O G公式 因为 所以 0 r u 0E u 从而或者0 xyz uuu 12 uuc 又因为 所以 12 uu 00c 得 12 uu Neumann内问题解的唯一性 仿照上面的步骤 15 设u在区域 中调和 试证明哈那克不等式 即3 21 证明 P88的推导过程 16 P91 习题 12 证明处处满足平均值公式 2 11 的连续函数 一定是调和函数 证明 u是连续函数 对于任意的 0 M以 0 M为球心 为半径作球 K 使其完全落在 内 在K 内求解Dirichlet问题 0v K 内 Kvu 由泊松公式知存在唯一解v 所以 v是K 内调和函数 所以对于v 成立平均值公式 由条件 u亦成立平均值公式 故u M 由 00 v M 0 M的任意性即得 在内成立u v 所以u在 中调和 17 P74 习题 6 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值 问题所描述的矩形平板 0 0 xau b 上的稳定温度分布 22 22 0 uu xy 1 29 0 0uyu a y 0 sin x u x a 0u x b 解 令u x代入 1 29 的第一式得 yX x Y y X x Y y分别满足 0XxX x 1 30 0 0XX a 及 0YyY y 1 31 由第一章讨论知 1 30 仅当0 时有非零解 2 k k a 1 2k 1 32 sin kk k x XxA a 1 33 将 1 32 式代入 1 31 式得 kk yy kkk YyC eC e 故 1 29 的解为 1 sin kk yy aa kk k k u x yA eB ex a 1 34 由边界条件得 1 sinsin kk k kx ABx aa 故 1 35 11 1AB AB 0 kk 1k 又 1 sin k bk b aa kk k k A eB ex a 0 0 k bk b aa kk A eB e 1 2k 1 36 联立 1 35 及 1 36 解得 1 2 1 1 b a A e 2 12 2 1 bb aa b a ee B b sh e a 0 kk AB 1k 将 1 37 代入解的表达式 1 34 得 2 2 sin sin 1 b yy aaa b a xb sh y x aa u x yee b a sh e a u 2 18 调和函数的极值原理与热传导方程的极值原理的差别是什么 答 设函数u在中满足热传导方程ua u在 1 2 txx 中满足调和方程 0 ttxx uu 则 在 中的最大值不大于它在 1 u 的边界 上的最大值 u在 中的最小值不小于它在 1 的边界 上的最小值 但是对于 若u 则在 2 u 2 c 2 u 中的任一点的值必小于在上的 最大值 在中任一点的值必大于它在 2 u 2 u 上的最小值 19证明 调和方程的Neumann外问题的解是稳定的 证 设是 i u0 i u 3 x y zR i i u f n 222 lim 0 i xyz u x y z 的解 作Vu 则记 12 u 12 fff 0V 3 x y zR3 x y zR i u f x y z n 222 lim 0 xyz V x y z 设0 使得 f x y z max r x y zS f 00 y 点为双曲型的 x 若 2 称方程在 0 中为双曲型的 若在中每点都有 称方程在 0 中为椭圆型的 若在中每点都有 称方程在 0 中为抛物型的 2 三类方程的标准形式是什么 答 详见P98 P99 1 11 和 1 12 1 13 和 1 14 1 17 3 对三类方程各举一例 自己从前三章所学内容寻找 4 化下列方程为标准形式并进行分类 1 452 xxxyyyxy uuuuu 0 解 故方程是椭圆型的 2 2510 2 2 2 dy i dydxidx yxixc dx 令2yx x 得 2 x uuu uuy 2 xy uuu 44 xx uuuu uuyy 原方程化为 0uuu 2 22 20 xxxyyy x uxyuy u 解 故方程是抛物型的 2222 0 x yx y 得 dyy dxx