重庆科创学院微分方程电子教案第1节.doc

重庆科创职业学院授课方案（教案） 课名：高等应用数学（下） 教师： 乔旭安 班级： 编写时间： 课题：6.1微分方程的基本概念授课时数2节教学目的及要求：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等。教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解。教学步骤及内容 ： 一、两个实例例1 一条曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为横坐标平方的倍，求这条曲线的方程。解：设曲线方程为。由导数的几何意义可知函数满 同时还满足以下条件： 时， 把式两端积分，得 即 其中是任意常数。把条件代入式，得， 由此解出并代入式，得到所求曲线方程：旁批栏：例2 设有一质量为的物体，从空中某处，不计空气阻力而只受重力作用由静止状态自由降落。试求物体的运动规律即物体在自由降落过程中所经过的路程与时间的函数关系。解 设物体在时刻所经过的路程为，根据牛顿第二定律可知，作用在物体上的外力 (重力)应等于物体的质量m与加速度的乘积，于是得， 即将上式改写为，因此可得由于物体由静止状态自由下落，所以还应满足条件：对式两端积分一次，得再对上式两端积分，得其中是两个任意常数。把式中的两个条件分别代入式和式于是，所求的自由落体的运动规律为：二、微分方程的基本概念1微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。和式均是微分方程。旁批栏：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程是一阶微分方程；方程是二阶微分方程方程。又如，方程是四阶微分方程。2微分方程的解、通解与特解若将某个函数及其导数代入微分方程，能使微分方程成为恒等式，则称此函数为微分方程的解。例如，函数和都是微分方程的解；函数和都是微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数是方程的解，它含有一个任意常数，而方程是一阶的，所以函数是方程的通解。又如，函数是方程的解，它含有两个任意常数，而方程是二阶的，所以函数是方程的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件，例2中的条件，便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，或写成 其中，都是给定的值；旁批栏：如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：时，或写成 ，其中，和都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如式是方程满足条件的特解；式是方程满足条件的特解。例3 验证：函数 是微分方程 的解。解 求出所给函数的导数 把 及 的表达式代入方程得+函数及其导数代入方程后成为一个恒等式，因此函数是微分方程的解。例4 已知函数当 时是微分方程的通解，求满足初始条件的特解。旁批栏：解 将条件“ 时，”代入式得。将条件“ 时，”代入（16）式，得。把的值代入式，就得所求的特解为 。三、小结与思考：本节讲述了微分方程的基本概念及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方