第2次课 计算方法插值.pdf

1 计算方法计算方法 2 插值方法插值方法 航空科学与工程学院航空科学与工程学院 2 需要解决的问题类型需要解决的问题类型 基本内容基本内容 代数方程求根 代数方程求根 微分微分 方程方程 求解 求解 积分积分 方程方程 求解 求解 数值预测 数值预测 计算方法绪论计算方法绪论 3 数值预测数值预测 问题的提出问题的提出 各种典型问题及对应的算法各种典型问题及对应的算法 插值方法插值方法 4 2 0 引言引言 典型问题的回顾典型问题的回顾 设已知互异数据对设已知互异数据对 xi yi i 0 1 n 构造构造n次多项式次多项式 使得使得pn xi yi 如何确定待定系数如何确定待定系数ai n i i in xaxp 0 插值方法插值方法 5 线性方程组的解法线性方程组的解法 线性代数线性代数 解的唯一性 解的唯一性 问题 问题 计算量大 计算量大 效率低效率低 新增加一个或多个数新增加一个或多个数 据对 据对 寻求另一种方法寻求另一种方法 插值方法插值方法 6 特例特例1 设已知数据对设已知数据对 x0 y0 x1 y1 构造 构造 次多项式次多项式 使得使得p1 xi yi 1 xp 插值方法插值方法 7 特例特例2 设已知数据对设已知数据对 xi yi i 0 1 2 构造 构造 次多项式次多项式 使得使得p2 xi yi 2 xp 插值方法插值方法 8 递推递推 设已知数据对设已知数据对 xi yi i 0 1 n 构造 构造n 次多项式次多项式 使得使得pn xi yi xp n 插值方法插值方法 插值问题中的一个非常典型的问题插值问题中的一个非常典型的问题 9 2 1 问题的提出问题的提出 数值预测数值预测 计算函数值计算函数值 Q 函数关系复杂 没 函数关系复杂 没 有解析表达式 或者函数形有解析表达式 或者函数形 式未知 式未知 常见的有 由观测数据常见的有 由观测数据 离散数据离散数据 计算未观测到的计算未观测到的 点的函数值 点的函数值 由观测数据由观测数据构造构造一个一个适当的简单函数近似适当的简单函数近似的的代替代替 要寻求的函数要寻求的函数 插值法 插值法 0 0 Y X 插值方法插值方法 代数插值代数插值 简单函数为代数多项式简单函数为代数多项式 10 x P 3 01 0 999 3 015 3 02 0 9993 3 03 0 9995 3 04 0 9997 3 05 0 9998 3 06 0 9998 3 07 0 9999 3 08 0 9999 3 09 1 11 插值需要满足的条件插值需要满足的条件 插值方法插值方法 满足已知条件 满足已知条件 近似函数 近似函数 精度高 精度高 简单 简单 12 2 2 几类典型问题几类典型问题 几类典型问题 几类典型问题 问题问题1 设函数设函数y f x 定义域为定义域为 a b x0 x1 xn是是 a b 上的上的n 1个互异点 且个互异点 且yi f xi 已知 要构造一个函数已知 要构造一个函数g x 使得 使得 g xi yi i 0 1 n 第第1类类 问题问题3 问题问题1 问题问题2 即过给定点 也要求导数相同 即过给定点 也要求导数相同 第第3类类 问题问题4 不过节点不过节点 第第4类 类 插值方法插值方法 问题问题2 求做求做n次多项式次多项式pn x 使满足条件 使满足条件 为一组已给数据 为一组已给数据 第第2类类 1 0 0 nky k 1 0 00 nkyxp kk n 13 2 3 问题问题1 2 3 1 基本概念基本概念 问题问题1 设函数设函数y f x 定义域为定义域为 a b x0 x1 xn 是是 a b 上的上的n 1个互异点 且个互异点 且yi f xi 已知 要构造已知 要构造 一个函数一个函数g x 使得 使得g xi yi i 0 1 n 插值方法插值方法 误差函数 误差函数 r x f x g x 要求要求 r x 在在 a b 上比较小 即上比较小 即g x 较好地逼近较好地逼近 f x 14 点点x0 x1 xn为为插值基点插值基点 插值节点插值节点 简称 简称 基点基点 节点节点 min x0 x1 xn max x0 x1 xn 为为插值区间插值区间 f x 为求插函数 为求插函数 g x 为插值函数 为插值函数 r x 为插值公式的余项 为插值公式的余项 f x g x r x 为为 带余项的带余项的 插值公式 插值公式 插值方法插值方法 15 依据依据 xi yi 构造出插值函数构造出插值函数g x 然后在任意点 然后在任意点x 计算计算g x 作为作为f x 的近似值的近似值 插值插值 点点x为插值点 为插值点 内插内插 插值点位于插值区间内的插值过程 插值点位于插值区间内的插值过程 外插外插 插值点位于插值区间外的插值过程 也插值点位于插值区间外的插值过程 也 叫外推 叫外推 插值方法插值方法 16 要求 要求 效率高效率高 精度高精度高 插值函数插值函数形式简单形式简单 多项式 有理分式 多项式 有理分式 代数插值法代数插值法 g x p x 为插值多项式 为插值多项式 Lagrange插值公式插值公式 Aitken插值公式插值公式 Newton插值公式插值公式 插值方法插值方法 17 2 3 2 Lagrange插值公式插值公式 Lagrange插值多项式插值多项式 令令R x n 1表示所有的不高于表示所有的不高于n次的实系数次的实系数 多项式和零多项式构成的集合 假设函数多项式和零多项式构成的集合 假设函数y f x 的已知值的已知值 xi yi yi f xi xi互异 互异 i 0 1 n 寻找一个多项式 寻找一个多项式p x R x n 1 满足 满足 p xi f xi i 0 1 n 插值方法插值方法 18 基函数基函数 记记 为为lagrange基本多项式或插值基函数 基本多项式或插值基函数 n kj j jk j k xx xx xl 0 lk x 的性质的性质 lk xj kj 插值方法插值方法 19 则则 为为Lagrange插值公式 插值公式 n k kk n k kkn xlyxlxfxp 00 性质性质 Pn xi yi 唯一性唯一性 定理定理 插值方法插值方法 20 几个典型特例几个典型特例 图示图示 基函数基函数 图形图形 与插值公式与插值公式 线性插值线性插值 二次多项式插值二次多项式插值 抛物线插值抛物线插值 插值方法插值方法 21 例题例题 P16 例例2 P17 例例3 插值方法插值方法 22 例题例题 已知某函数已知某函数f x 的若干离散点如下 的若干离散点如下 插值求插值求f 1 5 精确值精确值0 5118277 Q 23 解 解 1 一次插值一次插值 2 二次插值二次插值 24 Exercises 习题习题1 第第39 40页页 的的 第第6 9 11 12题 题 插值方法插值方法 25 Lagrange余项定理余项定理 Lagrange插值余项插值余项 rn x f x pn x Lagrange余项定理余项定理 设设f x 在包含在包含n 1个互异节点个互异节点x0 x1 xn 在内的区间在内的区间 a b 内具有内具有n阶连续导数 且在阶连续导数 且在 a b 内存在内存在n 1阶有界导数 则当阶有界导数 则当x a b 必存在一点 必存在一点 a b 使得 使得 n k k n xx n f xr 0 1 1 插