2014版通用《复习方略》(人教A版数学理)单元评估检测(二).doc

单元评估检测(二)第二章 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=的定义域为()(A)(0,8(B)(-2,8(C)(2,8(D)8,+)2.(2013三亚模拟)幂函数的图象过点(2,),则它的单调增区间是()(A)(0,+)(B)0,+)(C)(-,+)(D)(-,0)3.已知实数a=log45,b=()0,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为()(A)bca(B)bac(C)cab(D)cb0),g(x)=m有零点,求m的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=(-1x1)为奇函数，其中a为不等于1的常数；(1)求a的值.(2)若对任意的x-1,1，f(x)m恒成立，求m的取值范围.20.(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益f(x)与投资额x成正比,投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比(单位:万元).已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图):(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21.(12分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ex.(1)若函数(x)=f(x)-,求函数(x)的单调区间.(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.22.(12分)(2012湖北高考)设函数f(x)axn(1x)b(x0)，n为整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a，b的值.(2)求函数f(x)的最大值.(3)证明：f(x).答案解析1.【解析】选B.由-21,b=()0=1,c=log30.40,故cba.4.【解析】选A.f(1)=log21=0,所以f(f(1)=f(0)=2.因为0,所以f()=4+1=5,所以f(f(1)+f() =2+5=7,故选A.5.【解析】选B.f(x)=(xcosx-sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函数递增,则f(x)0,又各选项均为正实数区间,所以sinx0,故选B.6.【解析】选D.f(x)为(-,+)上的减函数,解得0a2.7.【解析】选A.由f(x+4)=f(x)知函数f(x)的周期为4,故f(7)=f(7-24)=f(-1)=-f(1)=-2.8.【解析】选A.由题知f(x)=3x2+2ax+b，则解得或经检验满足题意，故，故选A.9.【解析】选A.函数f(x)ln(1x2)的定义域为(1,1)，且f(x)为偶函数，当x(0,1)时，函数f(x)ln(1x2)为单调递减函数；当x(1,0)时，函数f(x)为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A.10.【解析】选B.因为f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,所以函数f(x)是周期函数,周期T=4,所以f(8.5)=9.11.【解析】选B.如图为f(x)的图象,由图象知f(x)的值域为(-1,+),若f(g(x)的值域是0,+),只需g(x)(-,-10,+).12.【思路点拨】令g(x)=,根据g(x)的单调性比较大小.【解析】选A.令g(x)=,则g(x)=,由已知得,当x0时,g(x)0.故函数g(x)在(0,+)上是增函数，又ab0,故g(a)g(b)，即bf(a)af(b).13.【解析】由f(t)=3t+sint+1=2得3t+sint=1,所以f(-t)=-3t-sint+1=-1+1=0.答案:014.【解析】由exf(x)ex+1得exf(x)-11.令h(x)=exf(x)-1,则由f(0)=2知，h(0)=1,故原不等式为h(x)h(0).又h(x)=exf(x)+f(x)-1,依题意得h(x)0,故h(x)在R上是增函数.由h(x)h(0)得x0.答案：(0，+)15.【解析】设f(x)=2x3-6x2+7,则f(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为x(0,2),所以有f(x)0,所以f(x)在(0，2)内单调递减，又f(0)=70,f(2)=-10,所以在(0,2)内存在唯一的x0,使f(x0)=0,因此，方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.答案：116.【解析】作出函数f(x)的图象如图,由图象可知当直线为y=x+1时,直线与函数f(x)只有一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线y=x+1向下平移,此时直线和函数f(x)恒有两个交点,所以a0)的大致图象.如图,可知若使g(x)=m有零点,则只需m2e.方法三:由g(x)=m得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根且e20,故根据根与系数的关系得m0,故等价于故m2e.19.【解析】(1)f(x)=(-1x1)为奇函数,f(-x)=-f(x)，对x-1,1恒成立，所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)a=1，因为a为不等于1的常数，所以a=-1.(2)f(x)=(-1x1),设t=(-1x1)，f(t)=log2t,因为t=-1+在-1,1上递减,所以，又因为f(t)=log2t在上是增函数，所以f(t)min=.因为对任意的x-1,1，f(x)m恒成立，所以f(x)minm,所以m.20.【解析】(1)设f(x)=k1x,g(x)=k2,所以f(1)=k1,g(1)=k2,即f(x)=x(x0),g(x)=(x0).(2)设投资债券类产品a万元,则股票类投资为(20-a)万元,依题意得:y=f(a)+g(20-a)=(0a20).令t= (0t2),则y=+3.所以当t=2,即a=16万元时,收益最大,ymax=3万元.综上,投资债券类产品16万元,股票类产品4万元,可获得最大收益,最大收益是3万元.21.【解析】(1)(x)=f(x)-=ln x-,(x)=.x0且x1,(x)0,函数(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+).(2)f(x)=,f(x0)=,切线l的方程为y-ln x0=(x-x0),即y=x+ln x0-1. 设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1,),g(x)=ex,=,x1=-ln x0,直线l的方程也为y-=(x+ln x0),即y=x+. 由得ln x0-1=,.下证：在区间(1,+)上x0存在且唯一.由(1)可知，(x)=在区间(1,+)上递增.又(e)=0,(e2)=ln e2-=0,结合零点存在性定理，说明方程(x)=0必在区间(e,e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x0,故结论成立.22.【思路点拨】本题(1)易解,(2)问中直接求导,根据零点讨论单调性求解;(3)要构造函数利用函数的单调性证明.【解析】(1)因为f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn，所以f(1)a，又因为切线xy1的斜率为1，所以a1，即a1.故a1，b0.(2)由(1)知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1(x).令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零点x0.在(0，)上，f(x)0，f(x)单调递增；而在(，)上，f(x)0，f(x)单调递减故f(x)在(0，)上的最大值为f()()n(1).(3)令(t)ln t1(t0)，则(t)(t0)在(0,1)上，(t)0，(t)单调递减；在(1，)上，(t)0，(t)单调递增故(t)在(0，)上的最小值为(1)0，所以(t)0(t1)，即ln t1(t1)令t1，得，即ln()n1ln e，所以()n1e，即.由(2)知，f(x)，故所证不等式成立【变式备选】已知函数f(x)=ex-1-x.(1)求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若存在x-1,ln,使a-ex+1+x0成立,求a的取值范围.(3)当x0时,f(x)tx2恒成立,求t的取值范围.【解析】(1)f(x)=ex-1,f(1)=e-2,f(1)=e-1.f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1.(2)aex-1-x,即a0时,f(x)0,x0时,f(x)0,