卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014).docx

卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目 录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题22011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案52012年卓越联盟自主招生数学试题112012卓越联盟自主招生数学真题答案解析142013年卓越联盟自主招生数学试题202013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案222014年卓越联盟自主招生数学试题 26 2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值: 分 时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知则( ) A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( ) A. B. C. D.9.数列共有11项,且 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值; 12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短? 13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值. 14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明: 15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明. 2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以 因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故 15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析 对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。 对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。 2012年卓越联盟自主招生数学试题卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试 数 学 本卷共100分，考试用时90分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求（1）已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则（A） (B) (C) (D) （2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（ ）（A）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上若，则实数的取值范围为（A） (B) (C) (D) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为 （6）设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，则 （7）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落入区域内的概率为 (8)如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则 （用表示）三、解答题（本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在中，三个内角、所对边分别为、已知（1）求角的大小； （2）求的最大值 （10）（本题满分13分）设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于两点（1）求椭圆方程； （2）若直线与轴相交于点，且，求的值；（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的恒有（11）（本题满分15分）设，（1）证明：；（2）若，证明：（12）（本题满分15分）已知数列中，（1）若对都成立，求的取值范围；（2）当时，证明 2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案(1)A； （2）B； （3）C； （4）B（5）； （6）2； （7）； （8） 2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题）1. 不等式的解集为_2. 在三棱锥中，底面，二面角的大小为，三棱锥的体积为，则直线与平面所成的角的正弦值为_3. 当实数变化时，不在任何直线上的所有点形成的图形的面积为_4. 已知函数设为实数，若存在实数，使，则的取值范围是_填空题（每题6分，共24分）5. 已知，分别在区间和内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为则的值为_6. 设，为平面上夹角为（）的两个单位向量，为平面上的一个固定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标现有两个点，的斜坐标分别为，则，两点的距离为_7. 若函数的图象的对称中心与轴距离最小的对称轴为，则实数的值为_8. 已知集合，满足，若中元素的个数不是中的元素，中元素的个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为_解答题（共56分）9. （13分）设，函数，（1）若，求在区间上的最大值 （2）若，求与的值10. （13分）已知双曲线（，）的两条渐进线的斜率之积为，左右两支上分别由动点和（1）设直线的斜率为1，经过点，且，求实数的值（2）设点关于轴的对称点为若直线，分别与轴相交于点，为坐标原点，证明11. （15分）已知为上的可导函数，对任意的，有，（1）对任意的，证明：（）；（2）若，证明，12. （15分）已知实数列满足，常数对任意的，有设为所有满足上述条件的数列的集合（1）求的值；（2）设，且存在，使证明：；（3）设集合，求中所有正数之和附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案选择题（注：原题是选择题）1. 答案：提示：，把原式视作的三次多项式分解因式即可2. 答案：提示：仔细算算3. 答案：提示：原式视作的二次方程，判别式即可4. 答案：提示：仔细算算填空题5. 答案：提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题6. 答案：提示：显然7. 答案：提示：仔细算算8. 答案：44提示：按中元素个数（,）逐个进行分类讨论解答题9. 答案：（1）；（2），（）；，提示：10. 答案：（1）；（2）提示：，再带入，即可11. 提示：（1）即证，构造函数，对求导证明在上单增即可（2）由条件知是上的单增函数，故不可能恒等于零如果存在正实数，及实数，使，则对任意，则当时，与条件矛盾如果存在正实数，及实数，使，则对任意，存在，满足则当时，与条件也矛盾总之，题目中的条件永远不成立故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题12. 提示：（1）化简，可得对任意正整数成立，左边在无穷大时是无穷小，所以（2）方法一：假设是1，2，3，中满足中的最大角标则方法二：假设是1，2，