高等数学 第五章 第1节 不定积分的概念与性质(中央财经大学).pdf

第五章第五章 不定积分不定积分 经济数学经济数学 微积分微积分 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 中央财经大学 一 不定积分 1 原函数的定义 I 为则称上有若在某区间xFxfxF I 上的一个原函数在区间xf 则一个函数要有原函数 他们构成一个函数族必有无穷多个原函数 CxF 的所有原函数 是否包含了我们要问 xfCxF 定义定义定义定义 I 上的任意两个在区间是设xfxGxF 则有原函数 I xxfxGxfxF I 为常数即CxCxFxG I xCxFxG故 差一个常数任意两个原函数之间相就是说 的所有原函数包含了xfCxF I 0 xxGxFxGxF于是 定理定理定理定理 I 则它上的原函数存在在区间若xf 则它的所的一个原函数为若 xfxF 的形式有原函数可表示为CxF 为任意常数其中C 仅相差一个常数的任意两个原函数之间 问 题 什么样的函数的原函 数一定存在 I I 上原函数存在在则若xfCxf 结论结论 结论结论 域内原函数存在基本初等函数在其定义 结论结论 区间内原函数存在初等函数在其有定义的 定义定义定义定义上的全体原函数的集合在区间 I xf I xxfxFxF 记为上的不定积分在称为 I xf d 为任意常数CCxFxxf 的一个原函数 为其中 xfxF 称为被积表达式 称为被积函数 d xxfxf 称为不定积分号 称为积分常数C 一 不定积分的概念 的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf 的不定积分为求函数xf 运算求不定积分是求导的逆 例如 d2 2 22 Cxxxxx sin dcos cos sinCxxxxx lnd 1 1 lnCxx xx x 每一个求导 公式 反过 来就是一个 求原函数的 公式 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式 函数函数 在某区间上的一个原函数在某区间上的一个原函数 xf xF 在几何上表示一条曲线在几何上表示一条曲线 称为 称为积分曲线积分曲线 x 这条曲线上点这条曲线上点 处的切线斜率等于处的切线斜率等于 即 即 xf 满足满足 xfxF x y o x xFy 由于函数由于函数 的不定积分是的不定积分是 的全的全 xf xf CxF 体原函数体原函数 为任意常数 对于每一个给定的为任意常数 对于每一个给定的 值时 都有值时 都有CC C一条确定的积分曲线 当一条确定的积分曲线 当 取不同的值时 就得到不同的积分曲线 取不同的值时 就得到不同的积分曲线 CxF 所有的积分曲线所有的积分曲线 组成了组成了积分曲线族积分曲线族 因为任意两条积分曲线 因为任意两条积分曲线 的纵坐标之间只相差一个常数 见的纵坐标之间只相差一个常数 见定理定理 故它们都可以由曲线 故它们都可以由曲线 xF 沿纵坐标轴方向上下平移而得到 沿纵坐标轴方向上下平移而得到 x 由于积分曲线族中的每一条积分曲线在点由于积分曲线族中的每一条积分曲线在点 处的切线斜率都等于处的切线斜率都等于 xfx 因此它们在点 因此它们在点 处的切线互相平行 处的切线互相平行 二 不定积分的几何意义二 不定积分的几何意义 它是一族抛物线 如图 它是一族抛物线 如图 所以所以 xfy 设所求曲线为设所求曲线为 由题意可知 该曲线上点 由题意可知 该曲线上点 处的切线处的切线 如果已知如果已知 的原函数满足条件 在点的原函数满足条件 在点 处原函数的值处原函数的值 就 就 可以确定积分常数可以确定积分常数 的值 从而找到一个特定的原函数 在几何上的值 从而找到一个特定的原函数 在几何上 它就是过点它就是过点 的那一条积分曲线 具体的做法是 把已知点的那一条积分曲线 具体的做法是 把已知点 代入代入 求得常数 求得常数 就可得所要求的积分曲线 就可得所要求的积分曲线 xf 0 x 0 y C 00 yx CxFy 00 y xC 例例 求过点求过点 且其切线的斜率为 且其切线的斜率为 的曲线方程 的曲线方程 x2 2 1 解 解 x2斜率为斜率为 即 即 xxf2 Cxxdxxfy 2 2 y x o 将将 代入上式 得代入上式 得2 1 yx1 C 因此 所求曲线的方程为因此 所求曲线的方程为 1 2 xy Cxy 2 1 2 xy 2 1 性质性质性质性质 1 1 1 1 1 1 1 1 d xfxxf d d dxxfxxf d Cxfxxf dCxfxf 逆运算 三 不定积分的基本性质 性质性质性质性质 2 2 2 2 2 2 2 2 则设 I 21 Rxfxf d d d 2121 xxfbxxfaxxbfxaf 为常数其中ba 函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质 例1 d 12 33 xx求 解 d1 6128 d 12 24633 xxxxxx xxxxxxxdd6d12d8 246 2 5 12 7 8 357 Cxxxx 例2 d 1 132 2 x x xx 求 解 1 6 52 1 132 2 除法 x x x xx x x xx x xx d 1 6 52 d 1 132 2 x x xxxd 1 1 6d5d2 1 ln65 2 Cxxx 绝对值绝对值 例3 d 1 3 2 2 x x x 求 解 x x xx x x x x x d 1 1 3d3d 1 333 d 1 3 22 2 2 2 arctan33Cxx 利用加一项 减一项的方法 例4 1 d x e x 求 解 x e e xx e ee e x x x x xx x d 1 dd 1 1 1 d 1ln Cex x 利用加一项 减一项的方法 例5 d ba bxax x 求 解 x bxaxbabxax x d 111 d x bx x axba d 1 d 11 ln 1 C bx ax ba 部分分式法 例6 d sincos 2cos 22 x xx x 求 解 d sincos sincos d sincos 2cos 22 22 22 x xx xx x xx x x x x x d cos 1 d sin 1 22 tancotCxx 下面看另一种解法 例6 d sincos 2cos 22 x xx x 求 解 x xx x x xx x d sincos4 2cos 4d sincos 2cos 2222 x x x d 2 sin 2cos2 2 22 1 v v v 2sin 2 C x 有何想法 两个解法答案不同 你 例7 sin1 d x x 求 解 d sin1 sin1 sin1 sin1 d x xx x x x x x x d cos sin1 2 x x x x x d cos sin d cos 1 22 sectanCxx 想想它 是谁的 导数 怎么怎么 做 做 利用平方差公式 例8 d2 xe xx 求 解C e e xexe x xxx 2ln 2 d 2 d2 2ln1 2 C e xx aaa xx ln 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 1 1 1 Cx Cx lnCa a x ln 1 Ce x Cx cos Cx sinCx tan Cx cotCx sec Cx csc arcsin arcco