2006-2013 华南理工大学高等数学上期末考试(含答案).doc

2012-2013学年第一学期高等数学试卷（A卷）一、 填空题（每小题4分，20分）1写出数列以常数为极限的定义： 对所有，存在，当时有2设，则 8 3方程确定了隐函数，则4设，且，则5.二、 计算下列各题（每小题5分，共15分）6、设数列满足：，且。证明：存在，并求出此极限解 因为，所以，设，则由数学归纳法得，从而数列有界；又，从而数列是一个单调减少的有界数列。根据单调有界准则存在，设。则，即，得，即7、求极限 解 原式（等价无穷小替换）8、求极限解 三、 解答下列各题（每小题5分，共20分）9、已知，求解 从而10、设，求解 ，由莱布尼茨公式11、设由参数方程确定，求解 ，从而12、写出带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式解 从而发现， 由公式得在0与之间。四、 计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算解 14、解 令，则，由辅助三角形原式五、 解答下列各题（每小题5分，共15分）15、设在连续，且。证明证 分段积分对进行换元，令，则时，时，从而，由已知，即，进而因此16、计算解 令，则时，时；则17、判别广义积分的敛散性解 为瑕点，从而发散，因此原式发散六、 解答下列各题（每小题5分，共10分）18、求由和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积解 交点为，交点为，交点为，分清边界曲线的上下左右，作图（略）19、求双扭线在圆内部的图形的面积。解 由转化公式，得圆的极坐标方程为，从而双扭线与圆的交点处，交点关于极轴对称，分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出七、 证明题（每小题5分，共10分）20、设在上可微，且。试证：存在，使证 由积分中值定理，从而 也形成了一个区间。令，由已知，在区间上连续，在内可导，又，由罗尔定理，得存在存在，使，即21、设函数在闭区间上连续，证明：在闭区间上存在原函数证 由于函数在闭区间上连续，可设由于从而位于与之间，再由连续性，从而，由原函数的定义知是在闭区间上的一个原函数，因此在闭区间上存在原函数2011-2012学年第一学期高等数学试卷（A卷）一. 填空题 (共6小题,每小题3分,共18分)1设连续,则2 带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为: _;3曲线的渐近线方程为_;4设5 6. 设.二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1求极限2求极限3 求极限4设函数 ，讨论在点处的连续性三.解答下列各题 (共3小题,每小题5分,共15分)1已知2设是否可导?如果可导,求出3设函数由参数方程所确定,求四. 解答下列各题(共2小题,每小题5分,共10分)1计算，2计算五. 解答下列各题(共4小题,每小题5分,共20分) 1 在下列两个积分中确定哪个积分值大,并说明理由2计算3. 计算4. 设六. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)1. 求由所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.2. 求心形线的全长.七. 证明题(5分)设函数在闭区间上连续, 在闭区间上不变号,证明:至少存在一点2010-2011学年第一学期高等数学试卷（A卷）一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1当时,是无穷小,则实数_0 ；2设，则；3设在可导，则=4曲线的拐点为 （1，0） ；5设，则在点处取极小值二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1求极限解： .3.22求极限解：，.2.33 求极限解： 4设函数 ，讨论在点处的连续性与可导性解：，由于，故在点处连续3，故在点处不可导.2三.解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1由方程确定了隐函数，求的二阶导数解：.3 .32设，其中二阶可导，且，求和解：3.33指出数列中最大的数，并说明理由解：设， 故 。.2 当单调递增，当单调递减2又，因此中最大的数就是中最大的数，所以中最大的数是.2四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)1设，求解 .2.2.22计算解：令，当取，当时取.2原式=.43设，求解: .3.1,.24设,试在所决定的平面内，求一个与垂直的单位向量解: .4 .2五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 2 求心形线围成的图形面积解: .4.22求摆线的一拱与轴所围成的平面图形绕旋转所得旋转体的体积解：.42六. 证明下列各题(共2小题)1(本题6分)写出拉格朗日中值定理，并给出证明. 写出拉格朗日中值定理2证明.42(本题5分)设函数在上三阶可导，且和在有界.试证：和在有界.证明：存在正数，使得，；.1由泰勒中值定理，介于之间；，介于之间；3相减，相加，即得和在有界.1_ _ 2009-2010学年度第一学期高等数学（上）期末考试试卷_ _ 三. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1(09)设时,与是同阶无穷小,则_3_；2(09)设，则；3(09)若曲线的拐点为（1, 3），则常数，；4(09)曲线的渐近线方程为；5. (09)在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为 四. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1 (09)已知，指出函数的间断点及其类型为间断点.2分3分从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点.1分2 (09)设函数在点处可导，求的值从而3分由可导知.2分3 (09)已知，试确定常数和的值用罗比达法则.2分.3分4(09)3分.2分五. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1(09)由方程确定了隐函数，求微分5分即1分2(09)求由参数方程所确定函数的二阶导数3分.3分3(09)已知函数连续，求.3分3分四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)1(09).62(09)令，则，当时，当时，2分原式=3分.1分3(09)=4(09)已知三点,和,计算：(1)以,为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于,的单位向量 3分.3分五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 3 (09)求和围成图形的公共部分的面积.4分 =2分2(09)求由曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积 =4分2分六. 证明下列各题(共2小题)1(09) (本题6分)设函数在上连续，利用定义证明函数在上可导，且=，.2分因为在上连续，由积分中值定理得，其中，.2分再利用的连续性得.故.2分2(09) (本题5分)设函数在上连续，且，试证：（1）存在 ，使得；（2）若在上可导，则存在，使得（1），由积分第一中值定理的，存在，使得，故存在 ，使得.3分（2）由积分中值定理，存在，使得.由拉格朗日中值定理，则存在，使得，由（1）知.2分高等数学试卷（2008-2009学年期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系） 一、 填空题（共18分）1(08) 3分 设，则的间断点为，它是第 二 类间断点2(08) 3分若，则3(08) 3分设可微，且，则4(08) 3分 5、(08) 3分 已知的一个原函数为，则6、(08) 3分 设，则二、 计算下列各题（）1、(08) 5分 设，求解：2、(08) 5分求极限解：原式3、(08) 5分 已知有一阶连续导数，且，求极限解：原式=4、(08) 5分求极限解：原式=三、 (08)解答下列各题每小题5分，共20分 1 (08)已知两曲线与在点处的切线相同，求此切线方程解：对从而在点处的切线为2 (08)设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的的取值范围解：曲线下凸要求，即因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为3 (08)设具有二阶连续导数，且，若（1）确定，使在内连续；（2）求解：（1）连续则必有(2)当时而所以4、(08)设函数由方程确定，求解：对方程两边求导书两边求导书，得四、 解答下列各题每小题5分，共20分 1、(08)计算解：原式2、(08)计算解：令，则。当时取，当时取，原式3、(08)计算 解：原式=4、(08)设，求解：对，作换元，则。当时，当时，从而因此另解：令从而五、 (08) 本小题10分 设直线与曲线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的面积为（1）试确定常数的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积解：令则由问题的实际意义及定义域内驻点的唯一性可知，当时达到最小，最小值为六、 证明下列各题每小题6分，共12分 (08)1、当时，证明：证：在区间上函数满足lagerange定理的条件，从而存在使得从而另证：当时，由积分种植定理与单调性有从而得证2、(08)设在上二阶导数连续，且，证明：在上至少存在一点使得证：令，则由已知，在上三阶导数连续，在处作二阶泰勒展开，有从而（由介值定理）另证：由已知在处作一阶泰勒展开，有由最值定理有，由对称区间积分性质由估值公式从而，由介值定理使因此高等数学试卷（2007-2008学年期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系） 七、 填空题1(07) 3分 设，则2(07) 3分3(07) 3分已知的三个顶点的坐标为，则4(07) 3分 曲线的弧长等于5、(07) 3分 八、 单项选择题1、(07) 3分 设，则（D）A. B. C. D. 2、(07) 3分 设，则当时（B）A.与是等价无穷小量 B. 与是同阶但非等价无穷小量C. 是比高阶的无穷小量 D. 是比低阶的无穷小量3、(07) 3分 设在上严格单调减少，在处有极大值，则（A）A. 在处有极小值 B. 在处有极大值C. 在处有最小值 D. 在处既无极值也无最值4、(07) 3分在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B） (A) (B) (C) (D) 5、(07) 3分若连续曲线与在上关于轴对称，则积分的值为（D）A、 B、 C、 D、九、 (07)解答下列各题每小题7分，共14分 4 (07) 设参数方程，求解：，5 (07)求曲线在拐点处的切线方程解：，令，由于时，时，为拐点故要求的切线为：十、 解答下列各题每小题7分，共14分 1、(07)计算定积分 解：原式2、(07)计算不定积分解：令则原式十一、 (07) 本小题8分 确定常数的值，使函数在处连续且可导解：，由在处连续知由在处可导知十二、 (07) 本题8分 已知的一个原函数是，求解：由于的一个原函数是，从而因此七、(07) 本题8分设在上可导，且，试证：，使证明：由积分中值定理，令，则在上连续可导，且由罗尔定理，使八、 (07)证明方程在内有且仅有一个实根证明：设则连续且可导，且连续可导，从而在上单调增，故当时，故而在上单调增，因此在上若有零点则必为惟一的一个零点又由闭区间上连续函数的零点定理，在上确有零点因此在上确有惟一零点，也即方程在内有且仅有一个实根九、 (07)已知曲线与曲线在点有公共切线，求：（1）常数的值其切点；（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积解：（1）对曲线，对曲线，由于在点有公共切线，从而（2）由图形分析得出由于从而 高等数学试卷（2006-2007学年期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系） 十三、 填空题1(06)3分 函数的定义域是2(06) 3分3(06) 3分设，则4(06) 3分 设，则5、(06) 3分 若十四、 单项选择题1、(06) 3分 极限 （D）A. B. C. D. 不存在2、(06) 3分 下列函数在上适合罗尔定理条件的是（B）A. B. C. D. 3、(06) 3分 下列函数中哪一个不是的原函数（C）A. B. C. D. 4、(06) 3分设，则（D）(A) (B) (C) (D) 5、(06) 3分设在上连续，则（A）A、 B、 C、 D、对十五、 每小题6分，共26分 6 (06) 计算极限解 原式7 (06)设确定了是的函数，求解 8 (06)计算不定积分解 ，9 (06)计算定积分解 令，则 原式或十六、 解答下列各题每小题7分，共14分 1、(06)在曲线上求一点，使它到点的距离为最小解 设 求得唯一解，又 故在唯一驻点处取得极小值也是最小值 相应地，故所求点为2、(06)设