高职高等数学 第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质.pdf

沈阳工程学院 第一节 定积分的概念与性质第一节 定积分的概念与性质 Concept and Properities of Definite Integral 教学目的教学目的 理解定积分的概念 掌握定积分的性质 了解定积分的几何意义 会用定积分表示 曲边梯形的面积 课题课题 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的性质 教学重点教学重点 定积分的概念 性质和几何意义 教学难点教学难点 定积分的概念 教学方法教学方法 精讲定积分的定义和几何意义 练习用定积分的几何意义求定积分 教学内容教学内容 一 两个引例 引例 一 两个引例 引例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形是指在直角坐标系中 由闭区间 a b上的连续曲线 0 yf xf x 和直 线 xa xb 及x轴所围成的平面图形AabB 如图 5 1 所示 图 5 1图 5 2 怎样计算曲边梯形的面积呢 由于曲边梯形的高 f x在区间 a b上是连续变化的 在 很小一段区间上它的变化很小 近似于不变 因此 如果把区间 a b划分为许多小区间 那么曲 边梯形也相应地被划分成许多小曲边梯形 在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替 同一区间上小曲边梯形的变高 那么 每个小曲边梯形就可以近似看成小矩形 我们就以所有 这些小矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值 并把区间 a b无限细分下去 使每个小 区间的长度都趋于零 这时所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积 根据上面的分析 可按下面四个步骤计算曲边梯形的面积 如图 5 2 所示 1 分割 在区间 a b内用分点 0121 iin axxxxxxb 把区间分成n个小 区间 011211 iinn x xx xxxxx 这些小区间的长度分别记为 1 1 2 iii xxxin 过每一个分点作平行于y轴的直线 它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形 小曲边梯形的 面积记为 1 2 i A in 2 近似 在每个小区间 1 1 2 ii xxin 上任取一点 1 iiii xx 以 i f 为高 i x 为 底作小矩形 用小矩形的面积 ii fx 近似代替第i个小曲边梯形的面积 i A 即 1 2 iii Afxin 3 求和 把n个小矩形的面积加起来 得和式 沈阳工程学院 1122 1 n nnii i fxfxfxfx 就是曲边梯形面积的近似值 即 11 nn iii ii AAfx 4 取极限 当分点个数无限增加 即n 且小区间长度的最大值 max i x 趋于 0 时 如果和式的极限存在 这个极限值就是曲边梯形的面积 即 0 1 lim n ii i Afx 引例引例 2 变速直线运动的路程 设一质点作变速直线运动 已知速度 vv t 是时间t的连续函数 求在时间间隔 12 T T上质点经过的路程S 由于质点作变速直线运动 速度是变化的 不能用匀速运动的路程公式Svt 去求路程 我们用下面的四个步骤去求 1 分割 在时间间隔 12 T T内用分点 1012112 iinn TtttttttT 把 12 T T分成n个小区间 011211 iinn t tt ttttt 这些小区间的长度分别记为 1 1 2 iii tttin 2 近似 任取 1 iii tt 用 i 点的速度 i v 近似代替质点在 1 ii tt 上的速度 因为时间间隔 1 ii tt 很小 速度的变化不是很大 那么质点在时间间隔 1 ii tt 上经过的路程 i S 近似为 ii vt 即 1 2 iii Svtin 3 求和 因质点在时间间隔 12 T T上所经过的路程 1 n i i SS 所以 1 n ii i Svt 4 取极限 设max i t 当0 时 如果上述和式的极限存在 这个极限值就是质点在时间 间隔 12 T T上所经过的路程 即 0 1 lim n ii i Svt 二 定积分的定义 定义 二 定积分的定义 定义 设函数 f x为区间 a b上的有界函数 任意取分点 0121 iin axxxxxxb 把区间 a b分成n个小区间 1 1 2 ii xxin 称为子区间 其长度记为 沈阳工程学院 1iii xxx 在每个小区间 1 ii xx 上任取一点 1 iiii xx 得相应的函数值 i f 作乘积 ii fx 把所有这些乘积加起来 得和式 1 n ii i fx 令max i x 若0 时 上述和式的极限存在 则称函数 f x在区间 a b上可 积 此极限值叫做函数 f x在区间 a b上的定积分 记作 b a f x dx 即 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 其中 f x叫做被积函数 f x dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 区间 a b叫积分区 间 a b分别叫积分下限于上限 说明 说明 1 所谓和式极限存在 即函数可积 是指不论对区间 a b怎样的分法和 i 怎样的 取法 极限都存在且相等 2 如果 f x在 a b上连续或有有限个第一类间断点 那么定义中的和式极限一定存 在 3 因为和式极限是由函数 f x与区间 a b所确定 所以定积分只与被积函数和积分 区间有关而与积分变量的记号无关 即 bbb aaa f x dxf t dtf u du 4 该定义是在ab 的情况下给出的 但不管ab 还是ab 总有 bb aa f x dxf x dx 特别地 当ab 时 规定 0 b a f x dx 根据定积分的定义 上面的两个例子都可以表示为定积分 曲边梯形的面积A是函数 f x在区间 a b上的定积分 即 b a Af x dx 变速直线运动的路程S是速度函数 v t在时间间隔 12 T T上的定积分 即 2 1 T T Sv t dt 三 定积分的几何意义三 定积分的几何意义 当 0f x 时 b a f x dx 表示由曲线 yf x 直线 xa xb x 轴所围成的曲边 梯形的面积 当 0f x 时 曲边梯形在x轴的下方 b a f x dxA 即当 0f x 时 f x在 a b上的定积分等于曲边梯形面积的相反数 因此 在一般情况 下 定积分 b a f x dx 表示几个曲边梯形面积的代数和 如图 5 3 所示 沈阳工程学院 图 5 3 四 定积分的性质四 定积分的性质 设函数 f x g x在所讨论的区间上可积 则定积分有如下性质 性质性质 1 两个函数和的定积分等于它们定积分的和 即 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 这个性质可以推广到有限多个函数的情形 性质性质 2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前面 即 bb aa kf x dxkf x dx 性质性质 3 对任意的c 有 bcb aac f x dxf x dxf x dx 这一性质叫做定积分对积分区间 a b的可加性 即不论 ca b 还是 ca b 均成立 性质性质 4 如果在 a b上 1f x 那么 b a f x dxba 性质性质 5 如果在 a b上有 f xg x 那么 bb aa f xg x dx 特别地 有 bb aa f x dxf x dx 性质性质 6 估值定理 如果 f x在 a b上的最大值为M 最小值为m 那么 b a m baf x dxM ba 性质性质 7 积分中值定理 如果 f x在 a b上连续 那么 a b内至少存在一点 使 b a f x dxfba 例 例 1 比较下列各对积分值的大小 1 1 2 0 x dx 与 1 0 xdx 2 1 010 xdx 与 1 0 5xdx 解解 1 因为在 0 1 上 2 xx 所以 11 2 00 x dxxdx 2 因为在 0 1 上有105 xx 所以 11 00 105 xx dxdx 例 2 估计定积分 1 1 x e dx 的值的范围 解解 设 x f xe 因为 0 x fxe 所以 f x在 1 1 上单调减少 从而 沈阳工程学院 1 max f xMee 1 min 1 f xme e 因此 由估值定理有 1 1 2 2 x e dxe e 课堂练习课堂练习 1 用定积分表示由曲线 3 yx 直线1 2xx 及0y 所围成的曲边