第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案.pdf

4 6数学通报 2 0 1 2 年第5 l 卷第5 期 第十五届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题和参考答案 2 0 1 2 年3 月2 5 日 1 满分1 6 分 2 0 1 1 年国庆期间 上海新世 界购物中心策划出一套 积点购物 营销方案 即 在活动期间 商品的售价按照一定的比率全部折 算成积点 这次全场商品共分为A B C 三类 一件A 类商品的售价 元 与折算成的点数比是 l 1 一件B 类商品的售价 元 与折算成的点 数比是1 1 5 一件C 类商品的售价 元 与折 算成的点数比是1 1 9 顾客选定商品后 累 计积点 顾客按每满5 0 0 个积点付2 0 0 元的方式 付款 如果积点a 不是5 0 0 的整数倍 口 5 0 0 b f 其中b 为正整数 o c 0 5 0 5 f o 5 0 2 5 0 2 5 f o 2 5 0 2 5 0 2 5 0 2 5 2 f 1 1 厂 3 f 2 1 f 3 1 f 2 2 由此 可得f 3 3 1 2 3 厂 3 3 f 2 2 2 也知道 f 3 3 大于不涉 及3 年以上的任何存款组合的本利和 这样 只 需比较f 3 3 和 5 1 的大小就可以了 而 这已由 1 可知结果 所以 结论是 对于6 年 存期 最大收益是两个三年期组合 3 满分1 6 分 2 月1 8 日至2 2 日第七届世 界草莓大会在北京市昌平区召开 请你根据下面 的地图推算出昌平区的面积 解答要点解法会是多样的 要给出明确的 方法 比如 分割求和的方法 按照度量 画出 足够细的网格 通过计算网格数得到近似解答 或者图形割补的方法 将这个不规则的图形通过 割补拼成近似规范的的图形 再按照度量计算得 到近似解答 昌平区的实际面积是1 3 4 3 平方公 里 在方法正确的基础上 与实际数值误差不超 过4 0 平方公里即可 瘁弧心勰弧 璐乳 汛0 3 3 4 曩 年 万方数据 4 8 数学通报2 0 1 2 年第5 1 卷第5 期 4 满分1 6 分 经观察 人们发现鲑鱼在河 中逆流行进时 所消耗的能量为E C V 3 T 其中 口为行进时相对于河水的速度 T 为行进的时间 单位 小时 C 为常数 如果水的流速为4 k m h 鲑鱼在河中逆流行进2 0 0k m 问它在怎 样的速度下能使消耗的能量最少 解由已知 鲑鱼相对于河岸的速度百一 2 个o 幽o 又可以表示为 v 4 所以T 旦兰 口一4 于是 E C V 3T 2 0 0 c 口 4 即 E 2 0 0 掣 2 0 0 立些墼磐型里 一2 0 0 c f 雷z 1 2 面 4 8 罂1 2 0 0 c 2 2 3 2 詈 吾 4 4 因为蚕一2 既是 矛一2 2 的最小值点 也是 詈 吾 的最小值点 所以当面一2 时 即当口 一6 时 取得E 量小 2 1 6 0 0 c 或者通过求E 的导数得结论 F 4 0 0 c v 2 若三寺 令E 7 0 得铆2 6 当u 6 时 E 7 6 时 E 7 0 所以础 6 时E 取得最 小值 鲑鱼以每小时6k m 的相对于河水的速度行 进时所消耗的能量最少 5 满分1 8 分 如果有三门高炮独立射击 目标 用户 表示 第i 门高炮命中目标 的概率 那么 三门高炮都命中目标 的概率就是p P P 三门高炮都不命中目标 的概率是 1 一 P 1 一P z 1 一P a 请依据以上的概率计算 法则 回答下列问题 如果每门高炮击中敌机的概率是十分之一 1 用十门高炮一定能击中敌机吗 若认为 一定能击中 请说明理由 若认为不一定能 请 计算出击中敌机的概率 2 要想能以不小于0 9 的概率击中敌机 至少需设置多少门高炮 解答 1 用十门高炮不一定能击中敌机 因为 P 用十门高炮击中敌机 P 十门高 炮中至少有一门击中了敌机 一1 一P 十门高炮都没有击中敌机 一1 一 1 一P 第一门高炮击中敌机 1 一 P 第二门高炮击中敌机 1 一 P 第十门高炮击中敌机 一 一拼 o 6 5 1 2 设至少需要竹门高炮就能以不小于0 9 的概率击中敌机 则 0 9 P 用竹门高炮击中敌机 P 起门高 炮中至少有一门击中了敌机 1 一P n 门高炮都没有击中敌机 万方数据 2 0 1 2 年第5 l 卷第5 期数学通报 4 9 一 一1 一南 即挖满足不等式0 9 1 0 9 0 1 解得 竹 2 2 至少需要2 2 门高炮才能以不小于0 9 的概 率击中敌机 6 满分1 8 分 初赛时 我们计算了 从密 度均匀 薄厚一致 半径为r 的圆形纸板上剪下 来的开角为2 口的弓形纸板A B D 的重心位置 这个位置是在弓形板的对称轴上距圆心0 点的 距离为z 一孚萨 詈朵篡面的点 n 0 k 一0 E U陟 现在有两个半径均为r 的圆 圆心分别为点 O 和07 A B 为两个圆周的交点 则圆弧 A D B 和圆弧A E B 围成了一个月牙儿的图形 A D B E 若设计一种特殊的月牙儿 使得这个月 牙儿的重心刚好位于月牙儿的内圆弧A E B 的中 点E 的位置上 这时么B 0 7 0 0 如图所示 请 你根据上面得到的弓形板重心的结论 求0 满足 的方程 解答由问题可知 四边形A 0 7 8 0 是一个 边长为r 的菱形 么E 0 7 B 一0 D D B T f 一良 月牙的图形是由O O 上的弓形A D B 中挖掉0 d 上 的弓形A E B 得到的图形 弓形A D B 上的么A 2 u O 么A d B 2 0 10 9 i 2 r c o s O S 0 B r 2s i n o c o s 0 S 廓形A D 肋 r 2 丁c 日 S 扇形肛B 0 一r 2 0 可得s B 形A D B c r 2 丌一目 s i n O c o s O 记作 S D S 日形 B c r 2 口一s i n O c o s O 记作S E 则 S s D S E r 2 丌一2 0 2 s i n O c o s O 根据题意可知 弓形A D B C 的重心Z 弓 形A E B C 的重心Z 以及月牙的重心Z 都应位于 直线C D 上 如果记它们与圆心O 点的距离分别 为z D z E 和z 则有z E z D 工 且应用初赛 时得到的结论可知 一堑 醴1 30 s i n O c o s O 堑3 羔s i n O c o s O 3 c 删 口一 一堑 丝 翌二盟 3 一疗 一s i n 7 r 一日 c 0 8 一0 2 r s i n 3 0 3 丌一口 s i n O c o s O 注意到S S E S 所以 S z z D 一S E x D 3 L E 由此可得 S D z D S E z E z 一 一 将前面分析的结果代入这个式子 化简后 可得 z2 c o s O O s i n O c o s O 一r r 2 0 s i n O c o s O L 1 如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的E 点 则有 3 2 r r 2 c o s O r 1 2 c o s O 或 一1 2 c o s O 2 联立 1 2 可得生成这个月牙的扇形的 开角口满足的方程是 1 z c o s0 一等筹器S 1 器 7 一 L 口一n 仃C O S F 上接第4 5 页 2 t a n 4 5 5 z 一2 一 5 t a n 4 5 2 y 一1 O 3 z 7 y 一1 3 0 由例题的求解可以看出 应用本文中所给出 的定理解答过已知点与已知直线平行 垂直 特 别是与已知直线夹角为任意定值的直线方程 使 问题变得非常容易 只需一步就可以得到正确 答案 参考文献 l 人民教育出