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数学压轴题精炼一数学压轴题精炼一数学压轴题精炼一数学压轴题精炼一 1 12 分 已知抛物线 椭圆和双曲线都经过点 1 2M 它们在x轴上有共同焦点 椭圆和双曲 线的对称轴是坐标轴 抛物线的顶点为坐标原点 求这三条曲线的方程 已知动直线过点 3 0P 交抛物线于 A B两点 是否存在垂直于x轴的直线l 被以AP为直 径的圆截得的弦长为定值 若存在 求出l 的方程 若不存在 说明理由 解 设抛物线方程为 2 20ypx p 将 1 2M代入方程得2p 2 4yx 抛物线方程为 1 分 由题意知椭圆 双曲线的焦点为 2 1 1 0 1 0 FF c 1 2 分 对于椭圆 22 2 12 21 121 1422 2aMFMF 2 2 222 22 12 1232 2 22 2 1 32 222 2 a a bac xy 椭圆方程为 4 分 对于双曲线 12 22 22aMFMF 2 222 22 21 32 2 2 22 1 32 22 22 a a bca xy 双曲线方程为 6 分 设AP的中点为C l 的方程为 xa 以AP为直径的圆交l 于 D E两点 DE中点为H 令 11 11 3 22 xy A x y C 7 分 2 2 11 1 1 11 3 22 31 23 22 DCAPxy x CHaxa 2 2222 2 111 2 1 2 11 323 44 23 2462 22 2 2 DHDCCHxyxa axaa aDH DEDH lx 当时 为定值 为定值 此时 的方程为 12 分 2 14 分 已知正项数列 n a中 1 6a 点 1 nnn A aa 在抛物线 2 1yx 上 数列 n b中 点 nn Bn b在过点 0 1 以方向向量为 1 2的直线上 求数列 nn ab的通项公式 若 n n a f n b n为奇数 n为偶数 问是否存在kN 使 274f kf k 成立 若存在 求出 k值 若不存在 说明理由 对任意正整数n 不等式 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb L 成立 求正数a的取值范围 解 将点 1 nnn A aa 代入 2 1yx 中得 11 1 11 1 15 21 21 nnnn n n aaaad aann l yxbn 直线 4 分 5 21 n f n n n为奇数 n为偶数 5 分 27274 2754 21 4 27 35 227145 2 4 kkf kf k kkk kk kkk k Q当 为偶数时 为奇数 当 为奇数时 为偶数 舍去 综上 存在唯一的符合条件 8 分 由 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb L 12 12 121 1 1111 111 23 1111 111 23 11111 11111 25 1 23123 2424 1 23 2525 n n nn n a bbbn f n bbbn f n bbbb n f n nnnn f nbn nn L L L 即 记 2 2 min 2523 41616 1 41615 1 144 5 1 3155 4 5 0 15 nn nn nn f nf nf n f nf a 由 4y4x 0 x x 2 2 y 22 解得 3 6 y 3 32 x 点 E 的坐标为 3 6 3 32 OEON2 综上 OEON2 的充要条件是3 AB 12 分 4 本小题满分 14 分 已知函数 24 1 x f x Rx 1 试证函数 x f的图象关于点 4 1 2 1 对称 2 若数列 a n 的通项公式为 m 2 1n Nm m n fanL 求数列 a n 的前 m 项和 Sm 3 设数列 b n 满足 3 1 b1 n 2 n1n bbb 设 1b 1 1b 1 1b 1 T n21 n L 若 2 中的 n S满足对任意不小于 2 的正整数 n nn TS 由 得 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 即 1nnn b 1 b 1 1b 1 1n1n11nn3221 n b 1 3 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 T L 10 分 bb 0bbb n1n 2 nn1n 数列 b n 是单调递增数列 n T关于 n 递增 当2n 且 Nn时 2n TT 81 52 1 9 4 9 4 b 9 4 1 3 1 3 1 b 3 1 b 321 52 75 b 1 3TT 1 2n 12 分 52 75 Sm 即 52 75 1m3 12 1 39 4 6 39 238 m tan EPFtanEPMFPM 221 3 223 222 22 23 1 663 t tttttt 当6t 时 3 30 3 tan EPFEPF o 6 14 分 已知数列 n a中 1 1 3 a 当2n 时 其前n项和 n S满足 2 2 21 n n n S a S M F EO y A B P x 2 求 n S的表达式及 2 lim n n n a S 的值 3 求数列 n a的通项公式 4 设 33 11 21 21 n b nn 求证 当nN 且2n 时 nn ab 解 1 2 111 1 211 22 2 21 n nnnnnnn nnn S aSSSSS Sn SSS 所以 1 n S 是等差数列 则 1 21 n S n 2 22 limlim2 212lim1 n nn nnn n a SSS 2 当2n 时 1 2 112 212141 nnn aSS nnn 综上 2 1 1 3 2 2 14 n n a n n 3 令 11 2121 ab nn 当2n 时 有 1 0 3 ba 当2n 时 11 0 213n 令 23 1 0 3 fxxxx 则 f x在 1 0 3 递增 又 111 0 21213nn 所以 33 11 2121 gg nn 即 nn ab 法 2 2233 33 1111 2121 21 21 nn abbaba nn nn 22 ab ababab 2 22 22 abab abaabb 1 1 22 ba ab a ab b 3 因 333 111110 22222 3 aba ba 所以 1 1 0 22 ba a ab b 由 1 3 4 知 nn ab 法 3 令 22 g bababab 则 1 210 2 a gbbab 所以 22 0 32g bmax gg amax aaaa 因 1 0 3 a 则 2 10aaa a 2 214 323 3 0 339 aaa aa 所以 22 0g bababab 5 由 1 2 5 知 nn ab 0 b 0 的右顶点为 A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲线的两 条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR O 为坐标原点 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范 围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y a b x a 解得 OR bak ab bak kab 同理可得 OQ bak ab bak kab OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 4 分 设 OP m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2 222 22 kab ba n2 222 222 kab bak OP 2 m2 n2 222 22 kab ba 222 222 kab bak 222 222 kab k1 ba 点 P 在双曲线上 b2 a2k2 0 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR 4 分 2 由条件得 222 222 kab k1 ba 4ab 2 分 即 k2 2 2 a4ab abb4 0 4b a 得 e 4 17 2 分 数学压轴题精练三数学压轴题精练三数学压轴题精练三数学压轴题精练三 1 本小题满分 13 分 如图 已知双曲线C x a y b ab 2 2 2 2 100 的右准线l1与一条渐近线l2交 于点 M F 是双曲线 C 的右焦点 O 为坐标原点 I 求证 OMMF II 若 MF 1且双曲线 C 的离心率e 6 2 求 双 曲 线 C 的方程 III 在 II 的条件下 直线l3过点 A 0 1 与双曲线 C 右支交于不同的两点 P Q 且 P 在 A Q 之间 满足APAQ 试判断 的范围 并用代数方法给出证明 解 I Q右准线l1 2 x a c 渐近线l2 y b a x M a c ab c F ccab 2 222 0 Q OM a c ab c 2 MFc a c ab c b c ab c 22 QOM MF a b c a b c OMMF 22 2 22 2 0 3 分 II Qe b a eab 6 2 1 2 2 2 222 Q MF b c a b c bba c ba 111 11 4 2 22 2 222 2 22 双曲线 C 的方程为 x y 2 2 2 1 7 分 III 由题意可得01 120 1616 120 4 12 0 4 12 0 2 2 1 0 120 2 22 12 2 12 2 2 2 k kk xx k k x x k k k k k 1 2 2 k 11 分 QAPAQxyxy 1122 11 得xx 12 1 4 12 4 12 116 4 12 4 21 2 2 21 2 2 2 2 2 22 2 2 22 x k k x k k k k kk Q 1 2 2 0211 1 4 2 2 kk 14210 22 的取值范围是 0 1 13 分 2 本小题满分 13 分 已知函数f x x n xnf nnxnnN 00 111 数列 an满足af n nN n I 求数列 an的通项公式 II 设 x 轴 直线xa 与函数yf x 的图象所围成的封闭图形的面积为S aa 0 求 S nS nnN 1 III 在集合MN NkkZ 2 且10001500 10051 对一切nN 恒成立 若存在 则这样的正整数 N 共有多少个 并求出满 足条件的最小的正整数 N 若不存在 请说明理由 IV 请构造一个与 an有关的数列 bn 使得lim n n bbb 12 L存在 并求出这个极限值 解 I QnN f nn nnf nnf n 111 f nf nn 1 1 分 ff ff ff 101 212 323 f nf nn 1 将这 n 个式子相加 得 f nfn n n 0123 1 2 L Qf f n n n 00 1 2 a n n nN n 1 2 3 分 II S nS n 1为一直角梯形 n 1时为直角三角形 的面积 该梯形的两底边的长分别为 f nf n 1 高为 1 S nS n f nf naa nn 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 22 2 n nn nn 6 分 III 设满足条件的正整数 N 存在 则 n nnn n 1 2 1005 22 10052010 2 又M 200020022008201020122998 LL N201020122998 均满足条件 它们构成首项为 2010 公差为 2 的等差数列 设共有 m 个满足条件的正整数 N 则2010212998 m 解得m 495 M中满足条件的正整数 N 存在 共有 495 个 Nmin 2010 9 分 IV 设b a n n 1 即b n nnn n 2 1 2 11 1 则bbb nnn n12 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 2 1 1 1 LL 显然 其极限存在 并且lim lim n n n bbb n 12 2 1 1 2L 10 分 注 b c a n n c 为非零常数 bbqq n a n n a n nn 1 2 01 2 1 2 1 等都能使lim n n bbb 12 L 存在 19 本小题满分 14 分 设双曲线 y a x 2 2 2 3 1 的两个焦点分别为FF 12 离心率为 2 I 求此双曲线的渐近线ll 12 的方程 II 若 A B 分别为ll 12 上的点 且25 12 ABF F 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 并说明 轨迹是什么曲线 III 过点N 10 能否作出直线l 使l与双曲线交于 P Q 两点 且OPOQ 0 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解 I Qeca 24 22 Qcaac 22 312 双曲线方程为y x 2 2 3 1 渐近线方程为yx 3 3 4 分 II 设A xyB xy 1122 AB 的中点 M xy Q25 5 2 5 2 210 10 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3 3 3 10 12 12 12 2 12 2 11221212 12121212 12 2 12 2 ABF F ABF Fc xxyy yxyxxxxyyy yyxxyyxx yyxx 又 3 2 1 3 2100 75 3 25 1 22 22 yx xy 即 则 M 的轨迹是中心在原点 焦点在 x 轴上 长轴长为10 3 短轴长为 10 3 3 的椭圆 9 分 III 假设存在满足条件的直线l 设lyk xlP xyQ xy 与双曲线交于 1 1122 QOPOQ x xy y x xkxx x xkx xxxi 0 0 110 10 1212 12 2 12 12 2 1212 由得 则 yk x y x kxk xk xx k k x x k k ii 1 3 1 316330 6 31 33 31 2 2 222 12 2 2 12 2 2 由 i ii 得k 2 30 k 不存在 即不存在满足条件的直线l 14 分 3 本小题满分 13 分 已知数列 an 的前 n 项和为SnN n 且Smma nn 1对任意自然数都成立 其中 m 为 常数 且m 1 I 求证数列 an是等比数列 II 设数列 an 的公比qf m 数列 bn满足 babf b nn111 1 3 nnN 2 试问当 m 为何值时 lim lg lim n ba n b bb bb b nn 3 122334 bb nn1 成立 解 I 由已知Smma nn 11 11 Smma nn 1 2 由 12 得 amama nnn 11 即 mama nn 1 1 对任意nN 都成立 Qmm a a m m a n n n 为常数 且 即为等比数列分 ba b y a x 的左焦点为F 上顶点为A 过点A与AF垂直的直线分别交椭圆 和x轴正半轴于P Q两点 且P分向量AQ所成的比为 8 5 1 求椭圆的离心率 2 若过FQA 三点的圆恰好与直线 033 yx相切 求椭圆方程 解 1 设点 0 0 0 cFxQ 其中 0 22 bAbac 由P分AQ所成的比为 8 5 得 13 5 13 8 0 bxP 2 分 ax a x 2 3 1 13 5 13 8 0 2 2 2 02 4 分 而AQFAbxAQbcFA 0 0 AQFA c b xbcx 2 0 2 0 0 5 分 由 知0232 32 222 aaccacb 2 1 0232 2 eee 6 分 2 满足条件的圆心为 0 2 22 c cb O 0 22 22222 cOc c cca c cb 8 分 圆半径a c a c b r 22 2 2 2 10 分 由圆与直线 033 yx相切得 a c 2 3 又3 2 1 2 bacca 椭圆方程为1 34 22 yx 12 分 5 本小题满分 14 分 理 给定正整数n和正数b 对于满足条件baa n 2 11 的所有无穷等差数列 n a 试求 1221 nnn aaayL的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 文 给定正整数n和正数b 对于满足条件baa n 2 11 的所有无穷等差数列 n a 试求 1221 nnn aaayL的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 理 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 dnan ndadaa aaay n nnn nnn 21 1 1 111 1221 L L L d nn an n 2 1 1 1 4 分 2 1 2 1 11 11 aa an nd an n nn 3 2 1 11 aa n n 7 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1 n a时 等号 成立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为 8 49 1 bn 14 分 文 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 2 1 2 1 1 21 1 11 1 111 1221 nd and nn an dnan ndadaa aaay nn n nnn nnn L L L 3 2 1 2 1 11 11 1 aa naa an n n n 6 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1 n a时 等号成立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为 8 49 1 bn 14 分 6 本小题满分 12 分 垂直于 x 轴的直线交双曲线22 22 yx于 M N 不同两点 A1 A2分别为双曲线的左顶点和右顶 点 设直线 A1M 与 A2N 交于点 P x0 y0 证明 2 2 0 2 0 为定值yx 过 P 作斜率为 0 0 2y x 的直线 l 原点到直线 l 的距离为 d 求 d 的最小值 解 证明 0 2 0 2 211111 AAyxNyxM Q则设 2 2 1 1 1 x x y yMA的方程为直线 直线 A2N 的方程为 2 2 1 1 x x y y 4 分 得 2 2 2 2 1 2 12 x x y y 分为定值 的交点与是直线 即 822 22 2 2 1 22 2 0 2 0 2100 22222 1 2 1 LL Q Q yx NAMAyxP yxxyyx 02222 2 00 2 0 2 00 0 0 0 yyxxyxxx y x yyl整理得结合的方程为 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 22 2 4 2 y yyx d 于是 10 分 1 1 2 21122 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y dyyyxQ 当1 1 1 2 00 取最小值时dyy 12 分 7 本小题满分 14 分 已知函数xxxfsin 若 0 的值域试求函数xfx 若 3 2 3 2 0 0 x f xff x 求证 若 3 2 3 2 1 1 x f xff Zkkkkkx 与猜想的大小关系 不必写出比较过程 解 为增函数时当 0cos1 0 xfxxfx 分的值域为即 求得所以 上连续在区间又 4 0 0 0 0 LL xf xffxff xf 设 3 2 3 2 x f xff xg 3 2 sin 3 sin 2 xxf xg 即 3 2 coscos 3 1 x xxg 6 分 xxg x x 得由 0 0 3 2 0 0 Q 0 0 为减函数时当xgxgx 分因而 有对 的最小值为则 上连续在区间 10 3 2 3 2 0 0 0 L Q x f xff gxgx xgg xg 在题设条件下 当 k 为偶数时 3 2 3 2x f xff 当 k 为奇数时 3 2 3 2x f xff 14 分 数学压轴题精炼二数学压轴题精炼二数学压轴题精炼二数学压轴题精炼二 1 本小题满分 12 分 已知常数 a 0 n 为正整数 fn x x n x a n x 0 是关于 x 的函数 1 判定函数 fn x 的单调性 并证明你的结论 2 对任意 n a 证明 f n 1 n 1 0 x 0 fn x a 0 时 fn x xn x a n是关于 x 的减函数 当 n a 时 有 n 1 n n 1 a n nn n a n 2 分 又 f n 1 x n 1 xn x a n f n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 a n n f n 1 n 1 u v 所以 p x 不满足题设条件 2 分三种情况讨论 10 若 u v 1 0 则 g u g v 1 u 1 v u v 满足题设条件 20 若 u v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v v u 满足题设条件 30 若 u 1 0 v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v u v v u v u u v 满足题设条件 40若 u 0 1 v 1 0 同理可证满足题设条件 综合上述得 g x 满足条件 3 本小题满分 14 分 已知点 P t y 在函数 f x 1x x x 1 的图象上 且有 t2 c2at 4c2 0 c 0 1 求证 ac 4 2 求证 在 1 上 f x 单调递增 3 仅理科做 求证 f a f c 1 证 1 t R t 1 c2a 2 16c2 c4a2 16c2 0 c 0 c2a2 16 ac 4 2 由 f x 1 1x 1 法 1 设 1 x1 x2 则 f x2 f x1 1 1x 1 2 1 1x 1 1 1x 1x xx 12 21 1 x1 x2 x1 x2 0 x2 1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 0 得 x 1 x 1 时 f x 单调递增 3 仅理科做 f x 在 x 1 时单调递增 c a 4 0 f c f a 4 1 a 4 a 4 4 a 4 f a f c 1 a a 4 a 4 4 a a 4 a 4 1 即 f a f c 1 4 本小题满分 15 分 设定义在 R 上的函数 432 01234 f xa xa xa xa xa 其中 i a R i 0 1 2 3 4 当 x 1 时 f x 取得极大值 2 3 并且函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 1 求 f x 的表达式 2 试在函数 f x 的图象上求两点 使这两点为切点的切线互相垂直 且切点的横坐标都在区间 2 2 上 3 若 212 1 3 N 23 nn nn nn xyn 求证 4 3 nn f xf y 解 1 3 1 3 f xxx 5 分 2 2 0 0 2 3 或 2 0 0 2 3 10 分 3 用导数求最值 可证得 4 1 1 3 nn f xf yff ab 求证 ln 1 b ba b ba ba b ba baQ 一方面 由 1 知x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 0 1 f b ba f 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 bab ba 1 ln 8 分 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xGQ xG在 1 上是增函数且在 0 xx 处连续 又01 1 G 当1 x时 0 1 GxG xxln 即 b ba b ba ln 综上所述 ln 1 b ba b ba ba 则 0 0 0 BcD aC c 由3BDDC 得3 caca 即2ca 222 16 124 2 ABACa ABACa ABACa 3 分 x y D O C A B x y D O C A B 解之得1a 2 3cb 双曲线E的方程为 2 2 1 3 y x 5 分 2 设在x轴上存在定点 0 G t 使 BCGMGN uuu ruuuu ruuur 设直线的方程为xmky 1122 M x yN xy 由MPPN uuuruuur 得 12 0yy 即 1 2 y y 6 分 4 0 BC uuu r 1212 GMGNxtxt yy uuuu ruuur BCGMGN uuu ruuuu ruuur 12 xtxt 即 12 kymtkymt 8 分 把 代入 得 1212 2 0ky ymtyy 9 分 把xmky 代入 2 2 1 3 y x 并整理得 222 31 63 1 0kykmym 其中 2 310k 且0 即 2 1 3 k 且 22 31km 2 1212 22 63 1 3131 kmm yyy y kk 10 分 代入 得 2 22 6 1 6 0 3131 k mkm mt kk 化简得kmtk 当 1 t m 时 上式恒成立 因此 在x轴上存在定点 1 0 G m 使 BCGMGN uuu ruuuu ruuur 12 分 9 本小题满分 14 分 已知数列 n a各项均不为 0 其前n项和为 n S 且对任意 n N N N N 都有 1 nn p Sppa p为大于 N B C O y x G M P 1 的常数 记 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S L 1 求 n a 2 试比较 1 f n 与 1 2 p f n p 的大小 n N N N N 3 求证 21 11 21 1 2 21 1 12 n pp nf nfffn pp L n N N N N 解 1 1 nn p Sppa 11 1 nn p Sppa 得 11 1 nnn p apapa 即 1nn apa 3 分 在 中令1n 可得 1 ap n a是首项为 1 ap 公比为p的等比数列 n n ap 4 分 2 由 1 可得 1 1 11 nn n ppp p S pp 12 12 1 CCCn nnnn aaa L 122 1CCC 1 1 nnnn nnn ppppp L 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S L1 1 2 1 n nn pp pp 5 分 1 f n 1 11 1 1 2 1 n nn pp pp 而 1 2 p f n p 1 11 1 1 2 n nn pp ppp 且1p 11 10 nn ppp 10p 1 f n 1 2 p f n p n N N N N 8 分 3 由 2 知 1 1 2 p f p 1 f n 1 2 p f n p n N N N N 当2n 时 21 1111 1 2 1 2222 nn pppp f nf nf nf pppp kk 且 3 3 2 2 21 k kk xx由 N 1 3 是线段 AB 的中点 得 3 3 1 2 221 kkk xx 解得 k 1 代入 得 即 12 的取值范围是 12 于是 直线 AB 的方程为 04 1 3 yxxy即 解法 2 设 2211 yxByxA则有 0 3 3 21212121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyyyxxxx yx yx 依题意 3 21 21 21 yy xx kxx AB N 1 3 是 AB 的中点 1 6 2 2121 AB kyyxx从而 又由 N 1 3 在椭圆内 12313 22 的取值范围是 12 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 1 CD 垂直平分 AB 直线 CD 的方程为 y 3 x 1 即 x y 2 0 代入椭圆方程 整理得 0444 2 xx 又设 4433 yxDyxCCD 的中点为 4300 xxyxC则是方程 的两根 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 1 1 0043043 Mxyxxxxx即且 于是由弦长公式可得 3 2 1 1 43 2 xx k CD 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程得01684 2 xx 同理可得 12 2 1 21 2 xxkAB 当12 时 12 2 3 2CDAB 假设存在 12 使得 A B C D 四点共圆 则 CD 必为圆的直径 点 M 为圆心 点 M 到直线 AB 的距离为 2 23 2 4 2 3 2 1 2 4 00 yx d 于是 由 式和勾股定理可得 2 2 3 2 12 2 9 2 22222 CDAB dMBMA 故当 12 时 A B C D 四点匀在以 M 为圆心 2 CD 为半径的圆上 注 上述解法中最后一步可按如下解法获得 A B C D 共圆 ACD 为直角三角形 A 为直角 AN 2 CN DN 即 2 2 2 2 d CD d CDAB 由 式知 式左边 2 12 由 和 知 式右边 2 12 2 9 2 3 2 23 2 3 2 2 23 2 3 2 式成立 即 A B C D 四点共圆 解法 2 由 解法 1 及 12 CD 垂直平分 AB 直线 CD 方程为13 xy 代入椭圆方程 整理得 0444 2 xx 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程 整理得 01684 2 xx 解 和 式可得 2 31 2 122 4 32 1 xx 不妨设 2 33 2 31 2 33 2 31 12 2 1 3 12 2 1 1 DCA 2 1233 2 3123 CA 2 1233 2 3123 DA 计算可得0 DACA A 在以 CD 为直径的圆上 又 B 为 A 关于 CD 的对称点 A B C D 四点共圆 注 也可用勾股定理证明 AC AD 3 本小题满分 14 分 已知不等式nn n 其中 log 2 11 3 1 2 1 2 L为大于 2 的整数 log2n表示不超过n 2 log的最 大整数 设数列 n a的各项为正 且满足 L 4 3 2 0 1 1 1 n an na abba n n n 证明L 5 4 3 log2 2 2 时 对任意 b 0 都有 5 1 n a 本小题主要考查数列 极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想 证法 1 当 111 0 2 11 1 1 1 nana an aan na an nn n nn n n log2 2 2 log2 log 2 111 2 2 21 nb b a b nb n ba ba n n 证法 2 设 n nf 1 3 1 2 1 L 首先利用数学归纳法证不等式 5 4 3 1 L n bnf b an i 当 n 3 时 由 3 1 1 2 2 3 3 1 3 3 3 3 1 1 2 2 2 3 bf b a a a a a a 知不等式成立 ii 假设当 n k k 3 时 不等式成立 即 1bkf b ak 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b bkf k k a k k ak ak a k k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 bkf b b k kf b bbkfkk bk 即当 n k 1 时 不等式也成立 由 i ii 知 5 4 3 1 L n bnf b an 又由已知不等式得 5 4 3 log2 2 log 2 1 1 2 2 L n nb b bn b an 有极限 且 0lim n n a 5 1 log 2 log 2 log2 2 222 nnn 故取 N 1024 可使当 n N 时 都有 5 1 半焦距为c 则 2 111 2 222 22 2 24 2 3 1 1 43 a MAa AFac c a aac c a abc abc xy 由题意 得 故椭圆方程为 00 4 0Pyy 设 00 1122 121 1 00 21 12 2 120 0 001212 12 35 0 2 22 15 tan 115152 15 1515tan 15 arctan 15 yy PFkPFk FPFPFM FPF yy kk FPF k kyy yyFPFFPF FPF Q 设直线的斜率 直线的斜率 为锐角 当 即 时 取到最大值 此时最大 故的最大值为 5 已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称 且 2 2f xxx 求函数 g x的解析式 解不等式 1g xf xx 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 本题主要考查函数图象的对称 二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识 以及综合运用所学知 识分析和解决问题的能力 满分 14 分 解 设函数 yf x 的图象上任意一点 00 Q xy关于原点的对称点为 P x y 则 0 0 00 0 2 0 2 xx xx yyyy 即 点 00 Q xy在函数 yf x 的图象上 222 22 2yxxyxxg xxx 即 故 由 2 1210g xf xxxx 可得 当1x 时 2 210 xx 此时不等式无解 当1x 时 2 210 xx 解得 1 1 2 x 因此 原不等式的解集为 1 1 2 2 12 11h xxx 1411 1h xx 当时 在上是增函数 1 1 1 1 x 当时 对称轴的方程为 1 11 1 1 1 时 则 h x 4 其中等号当 x 2 时成立 若 x 1 时 则 h x 0 其中等号当 x 0 时成立 函数 h x 的值域是 0 1 4 3 令 f x sin2x cos2x 4 则 g x f x sin2 x 4 cos2 x 4 cos2x sin2x 于是 h x f x f x sin2x co2sx cos2x sin2x cos4x 另解令 f x 1 2sin2x 2 g x f x 1 2sin2 x 1 2sin2x 于是 h x f x f x 1 2sin2x 1 2sin2x cos4x 7 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 8 分 第 3 小题满分 6 分 在直角坐标平面中 已知点 P1 1 2 P2 2 22 Pn n 2n 其中 n 是正整数 对平面上任一点 A0 记 A1为 A0关于点 P1的对称点 A2为 A1关于点 P2的对称点 AN为 AN 1关于点 PN的对称点 1 求向量 20A A的坐标 2 当点 A0在曲线 C 上移动时 点 A2的轨迹是函数 y f x 的图象 其中 f x 是以 3 为周期的周期函数 且当 x 0 3 时 f x lgx 求以曲线 C 为图象的函数在 1 4 上的解析式 3 对任意偶数 n 用 n 表示向量 n AA0的坐标 解 1 设点 A0 x y A0为 P1关于点的对称点 A0的坐标为 2 x 4 y A1为 P2关于点的对称点 A2的坐标为 2 x 4 y 20A A 2 4 2 20A A 2 4 f x 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位 再向上平移 4 个单位得到 因 此 曲 线 C 是 函 数 y g x 的 图 象 其 中 g x 是 以 3 为 周 期 的 周 期 函 数 且 当 x 2 1 时 g x lg x 2 4 于是 当 x 1 4 时 g x lg x 1 4 另解设点 A0 x y A2 x2 y2 于是 x2 x 2 y2 y 4 若 3 x2 6 则 0 x2 3 3 于是 f x2 f x2 3 lg x2 3 当 1 x 4 时 则 3 x2 6 y 4 lg x 1 当 x 1 4 时 g x lg x 1 4 3 n AA0 nn AAAAAA 24220 L 由于 kkkk PPAA 212222 2 得 n AA0 2 nn PPPPPP 14321 L 2 1 2 1 23 1 2n 1 2 2 n 3 12 2 n n 3 12 4 n 数学压轴题精炼四数学压轴题精炼四数学压轴题精炼四数学压轴题精炼四 1 本小题满分 14 分 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上是增函数 求实数 a 的值组成的集合 A 设关于x的方程 f x x 1 的两个非零实根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 本小题主要考查函数的单调性 导数的应用和不等式等有关知识 考查数形结合及分类讨论思想和灵活 运用数学知识分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 解 f x 22 2 2 224 x xax 22 2 2 2 2 x axx f x 在 1 1 上是增函数 f x 0 对 x 1 1 恒成立 即 x2 ax 2 0 对 x 1 1 恒成立 设 x x2 ax 2 方法一 1 1 a 2 0 1 a 1 1 1 a 2 0 对 x 1 1 f x 是连续函数 且只有当 a 1 时 f 1 0 以及当 a 1 时 f 1 0 A a 1 a 1 方法二 2 a 0 2 a 0 x1 x2是方程 x2 ax 2 0 的两非零实根 x1 x2 a 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a x1x2 2 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 当且仅当 m2 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 即 m2 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 设 g t m2 tm 2 mt m2 2 方法一 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 其取值范围 是 m m 2 或 m 2 方法二 当 m 0 时 显然不成立 当 m 0 时 m 0 m0 y2 0 由 y 2 1 x2 得 y x 过点 P 的切线的斜率 k切 x1 直线 l 的斜率 kl 切 k 1 1 1 x 直线 l 的方程为 y 2 1 x12 1 1 x x x1 方法一 联立 消去 y 得 x2 1 2 x x x12 2 0 M 是 PQ 的中点 x0 2 21 xx 1 1 x y0 2 1 x12 1 1 x x0 x1 消去 x1 得 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 方法二 由 y1 2 1 x12 y2 2 1 x22 x0 2 21 xx 得 y1 y2 2 1 x12 2 1 x22 2 1 x1 x2 x1 x2 x0 x1 x2 则 x0 21 21 xx yy kl 1 1 x x1 0 1 x 将上式代入 并整理 得 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 设直线 l y kx b 依题意 k 0 b 0 则 T 0 b 分别过 P Q 作 PP x 轴 QQ y 轴 垂足分别为 P Q 则 SQ ST SP ST 21 y b y b QQ OT PP OT y 2 1 x2 由消去 x 得 y2 2 k2 b y b2 0 y kx b y1 y2 2 k2 b 则 y1y2 b2 方法一 SQ ST SP ST b 21 11 yy 2 b 21 1 yy 2 b 2 1 b 2 y1 y2可取一切不相等的正数 SQ ST SP ST 的取值范围是 2 方法二 SQ ST SP ST b 21 21 yy yy b 2 2 2 b bk 当 b 0 时 SQ ST SP ST b 2 2 2 b bk b bk 2 2 b k 2 2 2 2 当 b0 于是 k2 2b 0 即 k2 2b 所以 SQ ST SP ST b bb 2 2 2 当 b 0 时 b k 2 2 可取一切正数 SQ ST SP ST 的取值范围是 2 方法三 由 P Q T 三点共线得 kTQ KTP 即 2 2 x by 1 1 x by 则 x1y2 bx1 x2y1 bx2 即 b x2 x1 x2y1 x1y2 于是 b 12 2 21 2 12 2 1 2 1 xx xxxx 2 1 x1x2 SQ ST SP ST 21 y b y b 1 2 1 21x x 1 2 1 21x x 1 2 x x 2 1 x x 2 1 2 x x 可取一切不等于 1 的正数 SQ ST SP ST 的取值范围是 2 3 本小题满分 12 分 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 将造成 400 万元的损 失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 不采取预防措施时 总费用即损失期望为 400 0 3 120 万元 若单独采取措施甲 则预防措施费用为 45 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 0 1 损失期望值为 400 0 1 40 万元 所以总费用为 45 40 85 万元 若单独采取预防措施乙 则预防措施费用为 30 万元 发生突发事件的概率为 1 0 85 0 15 损 失期望值为 400 0 15 60 万元 所以总费用为 30 60 90 万元 若联合采取甲 乙两种预防措施 则预防措施费用为 45 30 75 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 1 0 85 0 015 损失期望值为 400 0 015 6 万元 所以总费用为 75 6 81 万 元 综合 比较其总费用可知 应选择联合采取甲 乙两种预防措施 可使总费用最少 4 本小题满分 14 分 已知 2 1 1 0 11 L n a aaaaaa n nn 满足数列 I 已知数列 n a极限存在且大于零 求 n n aA lim 将 A 用 a 表示 II 设 2 1 1 AbA b bnAab n n nnn 证明L III 若L 2 1 2 1 nb n n 对都成立 求 a 的取值范围 本小题主要考查数列 数列极限的概念和数学归纳法 考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能 力 满分 14 分 解 I 由两边取极限得对且存在 n nn n n n a aaAaAa 1 0 lim lim 1 2 4 0 2 4 1 22 aa AA aa A A aA又解得 II 11 11 Ab aAb a aaAba n n n nnn 得由 都成立对即L 2 1 111 1 1 n AbA b b AbA b AbAAb Aab n n n n n nn n III 2 1 4 2 1 2 1 2 1 aaab得令 2 1 2 1 2 3 2 3 14 2 1 4 2 1 2 2 都成立对时现证明当 解得 L nba aaa aa n