第四章 数值积分.ppt

数值分析 第四章数值积分与数值微分 电子科学系 4 1引言 在科学和工程中经常要求定积分 Newton Leibniz 在实际中会碰到以下两种问题 1 找到原函数F x 如2 f x 的值是通过测量或数值计算得到的的一张数据表 例 为了计算瑞士国土的面积 首先对地图作了如下测量 以西向东方向为x轴 由南向北方向为y轴 选择方便的原点 并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段 在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标 数据如表 单位mm 瑞士地图的外形如图 比例尺18mm 40km 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积 并与其精确值41288平方公里比较 即由曲线及相应的与坐标轴平行的线段围成的面积等于以b a为底 为高的矩形面积 所以可看成在区间 a b 内的平均高度 只要对提供一种算法 相应地便获得一种数值求积方法 由定积分中值定理可知 若在区间 a b 内连续 则存在 使得 左矩形公式 右矩形公式 中矩形公式 梯形公式 Simpson公式 例如 数值求积 取 a b 内若干节点处的高度 通过加权平均近似得出平均高度 从而构造出求积公式 通常将求积公式 4 5 的右端记为Q f 即 4 5 误差 定义4 1如果公式4 5对一切次数的多项式能准确成立 而对于m 1次多项式不准确 则称该求积公式具有m阶代数精度 代数精度是判断求积公式高低的标准之一 通常用如下更简单的方法来判断 例4 1试构造下列数值求积公式 使之具有尽可能高的代数精度 解 令它对于准确成立 可列出方程 三次代数精度 4 2插值型求积公式 对于给定的函数 可以用一个较容易的函数来逼近 4 8 4 9 定义4 2求积系数由式 4 8 确定的求积公式 4 9 称为插值型求积公式 4 3Newton Cotes公式及其复合求积公式 设将求积区间 a b 划分为n等分 选取等分点作为求积节点构造形如下式的求积公式 如果公式至少有n阶精度 则称之为n阶Newton Cotes公式 解 为简化处理 令a 1 b 1 则有 令它对于准确成立 可列出方程 例 试用梯形公式 Simpson公式 Newton Cotes公式求下式的近似值 Newton Cotes公式的精度分析 设以n代表区间等分数 则当n为偶数时Newton Cotes具有n 1阶精度 当n为奇数时 仅有n阶精度 例如 设将区间 1 1 三等分 这时候Newton Cotes公式具有形式 3阶精度 解 令它对于准确成立 可列出方程 例 考察下式的代数精度 解 令 令 令 令 左边 右边 1 左边 右边 1 2 左边 右边 1 3 左边 右边 1 4 令 左边 1 5 右边 37 192 复化求积公式1 Newton Cotes用在大区间时 需要高次公式 可是公式中的系数难于获得 2 Newton Cotes以等距节点的插值多项式为主 但由于高次多项式的振荡性 这个过程在大的区间上是不精确的 求的近似值 解 首先 由积分可知 此题的精确答案为 h 2的Simpson法有 误差为 3 17143 将 0 4 分为 0 2 和 2 4 两个区间 应用Simpson公式 h 1 有 误差为 0 26570 将区间 0 2 和 2 4 划分为子区间 再分别应用Simpson公式 h 1 2 有 误差为 0 01807 复化梯形公式 复化梯形公式分解 复化Simpson公式 复化Simpson公式分解 复化Cotes公式 例 用复化梯形法 求的近似值 n 4 解 若利用已知点的信息 如何用复化Simpson方法求解 例 用数据表求下式的近似值 书P75页例2 分析 精确值为0 9460831 可知在所用数据表一样的基础上 复化梯形法的结果只有2位有效数字 而复化Simpson法的结果有6位有效数字 说明算法的选择十分重要 提问 如果采用复化梯形法 要求结果有7位有效数字 n应选多少 解 为了比较 分别采用8阶复化梯形公式 4阶复化Simpson公式和2阶复化Cotes公式 4 3变步长的梯形法 由前可知 积分I可视为I h 当h0的极限值 问题是 h不可能无限趋近于零 那如何选取合适的步长h呢 变步长方法 事先预报某个步长h 然后将步长逐次减半 直到二分前后两个近似值的偏差 即精度范围内可以忽略为止 步长自动选取的步骤 依此类推 以上这种方法称为自适应求积法 Romberg算法 梯形法的加速 考察二分前后的梯形值 以上两个式子都只有1阶精度 令 为使具有2阶精度 则有 其复化形式为 Simpson的加速 类似的 令 当上式具有四阶精度时 2 5 3Cotes的进一步加速 Romberg公式 Romberg算法求解步骤 4 5Gauss型求积公式 1 Gauss公式的设计方法对于机械求积公式 1 适当选取n 1个节点 含有2n 2个参数 使求积公式具有2n 1阶精度 这种高精度的求积公式称作Gauss公式 改善求积精度的方法 1 复合求积2 非等距点求积 简化 1 式 有 则 一点Gauss公式 解 令它对于准确成立 有 中矩形 两点Gauss公式 解 令它对于准确成立 有 类似这样非线性方程组 注意运用对称性原则进行处理 将方程一变形得 将式 1 代入方程二得 将式 2 代入方程四得 分析得 2 带权的