经验公式与施肥效果分析的数学模型.pdf

理论研究 李园庭漆志鹏胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型 南昌航空大学 江西南昌3 3 0 0 6 3 关键词 数据拟合 数学建模 经验公式 施肥效果分析 摘要 本文利用数据拟合等方法讨论了一个数学建模问题 施肥效果分析 给出了两种模型 每种模型又都讨论了产量模 型和效益模型 中图分类号 0 2 2 1 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 1 4 9 2 6 2 0 0 8 0 3 0 0 0 5 0 7 Em p i r i c a l f o r mu l a a n d m a t h e ma t i c a l mo d e l i ng f o r t he p r o b l e m o f f e r t i l i z e r e ffe c t a n a l y s i s L I Y u a n t i n g Q I Z h i p e n g H U J i e m e i N a n c h a n g H a n g k o n g U n i v e r s i t y N a n c h a n g 3 3 0 0 6 3 C h i n a Ke y wo r d s d a t a fi t t i n g ma t h e ma t i c a l mode l i n g e mp i r c al f o r mu l a f e r t i l i z e r e ff e c t a n aly s i s Ab s t r a c t T h e p a p e r d i s c u s s e s a ma t h e ma t i c al mo d e l i n g p r o b l e m f e r t i l i z e r e ff e c t a n aly s i s T wo mo d e l s a r e g i v e n i n e a c h o f wh i c h y i e l d mo d e l a n d b e n e fi t s mo d e l a l e d i s c u s s e d 数据拟合方法 1 在数学建模问题中常常有着重 要的应用 根据实验数据来求 出实际问题 中变量之 间的经验公式 然后再根据经验公式来讨论模型 的最优解 是许多数学建模问题中的一种重要方法 下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题 J 某地区作物生长所 需的营养 素主要是 氮 N 磷 P 钾 K 某作物研究所在该地区对土豆与 生菜做了一定数量的实验 实验数据可参见文献 3 其中h a 表示公顷 t 表示吨 k g 表示公斤 当 一 个营养素的施肥量变化时 总将另两个营养素的 施肥量保持在第七个水平上 如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时 P 与 K的施肥量分别取为 1 9 6 k g h a 与 3 7 2 k g h a 我们来分析施肥量与产量之间的关系 并对所 得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价 首先 将题中的数据用 M A T L A B软件 作出图形 土豆 N W 土豆 P w 土 豆 K W 收稿日期 2 0 0 7 1 1 2 0 修回日期 2 0 0 8 0 7 0 4 基金项 目 南昌航空大学省级教 改课题 U x J G一 0 7 7 9 作者简介 李园 1 9 6 2 男 南昌航空大学数学与信息科学学院副教授 研究方向 偏微分方程 2 O O 8 年 9月 第2 2 卷 第3 期 理 论 研 究 从 图上可看出 N P K的取值范 围不一样 可 以将它们的取值范围转化成区间 0 1 这样它们 的变化范围就都一样了 转化后的数据图形如下 1 模型的建立及求解 要分析施肥量与产量之间的关系 首先要建立 施肥量与产量之间的函数关系 可以用数据拟合的 方法来建立这种函数关系 这又需要确定拟合的函 数的形式 即所谓经验公式 施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的 施用量与产量的关系 也可以是三种肥料共 同的施 用量与产量的关系 按一般常识 N P K是作物生 长的三种基本肥料要素 它们用量的多少将直接影 响农作物 的产量 这种对作物产量 的 影响 通常 是这三种肥料的共同影响 而不应是单一某一种肥 料对作物产量 的 影响 但每一种 肥料的用量对 于不同的作物产量的影响效果又有不同 例如 N 肥的施用量对有些农作物产量 的影响是 当 N肥施 用量较少时 随着 N肥用量 的增加 农作物 的产量 会增加 到一定用量后产量达到最大 然后 当 N肥 用量继续增加时 农作物的产量反而会降低 这从 上面的土豆和生菜产量与 N肥用量 的数据 图上也 可以看到这样 的规律 而在一定 的范 围内 P肥和 K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增 加而一直增加 只是 当 P肥和 K肥的用量较少时 随 着其用量的增加 农作物产量增加较快 而当P肥和 K肥的用量较多时 随着其用量的增加 农作物产量 南 鸵室 击謦学报 Jou r nal of Nanc han g Han gk ong Un i ve P s i t y 自然科学版 N If 8 S c e n c e 增加不大 从上面的土豆和生菜产量与 P肥或 K肥 用量的数据图上可以看到这样的规律 具有这种特 点的函数关系在数学上用二次多项 式就能较好地反 映出来 当然也可 以考虑用分段函数来描述 为简 单起见 下面在拟合这些函数时都用二次多项式 在实验数据中 K肥料施用量与生菜产量的实 验数据波动性较大 这种产量与肥料的施用量 的关 系在农作物中是很少出现的现象 如果从数据图形 的整体来看 其实 K肥料施用量与生菜产量的实验 数据的特点还是与上面所说 的情况相似 的 其波动 性可看作是实验误差 要利用实验数据来拟合出这些函数关系 显然 如果实验数据越多 数据分布越合理 则拟合的效果 就越好 这样拟合出来的函数 其所反映出来的规 律就越符合实际情况 例如 应当给出充分多的数 据 且这些数据应当是在 N P K三种肥料的不 同用 量下的产量数据 又比如 应该有这样的数据 当 N P K三种肥料 中某两种肥料 限制在不 同的固定 值时 相应地 第三种肥料取不同值 时的产量数据 这样才有可能反映出 N P K三种肥料在对农作物 产量的共 同影 响时的相互影响的规律 但事实上 这里所给出的实验数据非常有限 而且很不均匀 所 以用现有的数据来拟合 N P K的施用量与产量之 间的函数关系 并根据这些 函数的性质所推断出的 施肥量与产量之间的关系 其可信性是有限的 另外 拟合每一种肥料的施用量与产量的函数 时 其余两种肥料的用量都是限制在一个数值上的 其结果通常也只能得到 当相应 的另两肥料的用量 在所限制的数值下的情况 虽然我们得到的结果可能有一定的局限性 但 这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法 从建立模型的角度来说 还是值得讨论的 如果要 想得到更精确的结果 只需要有更多的产量与施肥 量实验数据 再用本文中给出的模 型讨论即可 下面首先建立产量与施肥量 的函数关系 再利 理论研究 用这些函数来讨论施肥效果 产量与施肥量的函数关系 有两种方式 一种是 对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数 这需要拟合三个函数 每个函数都是一元函数 这种 做法可以使拟合的效果较好 另一种是考虑三种肥 料共同对产量的影响 这只需要拟合出一个函数 这 是一个三元函数 且由于数据量偏少且不均匀等的 原因 拟合效果要差一些 但这是讨论肥料施用量与 产量的全局最优解所必须的 下面分别来讨论 1 1 模型 1 对三种肥料的用量与土豆和生菜产 量分别拟合相应的函数 讨论一种肥料的用量与产量 的关系时 其 它两 种肥料 的用量都 固定在第 7种水 平 三种肥料 的用 量分别是 土 豆 0 5 4 9 9 P 0 5 7 1 4 生菜n 0 5 7 1 4 9 P 0 5 7 0 8 0 5 7 1 4 先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系 我 们利用所给数据来拟合这些函数关系 如果假设土豆产量与三种肥料 N P K的用量 之间的函数关系分别是 l 1 1 2 P 1 3 后 这些函数的形式 按照上面的讨论 都用二次多 项式 下面是利用实验数据拟合的结果 当P K固定在第7 种水平 即P 0 5 7 1 4 时 函数 W 拟合的结果是 W 1 1 f l n 一 7 5 3 2 2 2 n 9 2 8 5 7 4 n 1 4 7 4 1 6 0 1 当 N K固定在第 7种水平 即 n 0 5 4 9 9 0 5 7 1 4时 函数 W P 拟合的结果是 W 1 2 厂 2 P 一1 6 1 1 7 9 p 2 4 5 6 7 8 p 3 2 9 2 4 1 P 0 1 当N P 固定在第7 种水平 即n 0 5 4 9 9 P 0 5 7 1 4时 函数 2 拟合的结果是 W l 3 一2 9 6 4 6 3 k 4 8 8 0 8 8 k 2 4 4 1 4 4 0 1 类似地 如果假设生菜与三种肥料 N P K之间 的函数关系分别是 W 2 1 g l n W 2 2 g 2 P W 2 3 g 3 j 这些函数利用原始数据拟合的结果如下 当P K 固定在第7 种水平 即p 0 5 7 0 8 0 5 7 1 4时 函数 g n 拟合的结果是 2 g l n 一3 6 5 9 4 4 n 3 9 7 1 7 5 n 1 0 2 9 4 0 1 当N K固定在第7 种水平 即凡 0 5 7 1 4 9 0 5 7 1 4时 函数 W g P 拟合 的结果是 W 也 g 2 p 一2 5 6 0 8 9 p 十4 1 5 2 1 8 p 6 8 8 1 9 6 P 0 1 当 N P固定在第 7种水平 即n 0 5 7 1 4 9 P 0 5 7 0 8 时 函 数W g 拟合的 结果是 W 罄 g 3 0 3 0 4 6 8 8 k 3 3 3 0 1 8 k 1 6 2 3 29 2 O 0 8 年 9 月 第2 2 卷 第3 期 理 论 研 究 k l 0 1 如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量 与施肥量的函数关系 从拟合曲线 的图形来看 只有 产量与 N肥的用量函数有唯一极大值点 其它函数都 不具有这一性质 其规律是 P N的施用量越多 产量 都会增加 如果只从增加产量的角度 就应尽量多施 这两种肥料 但多施肥的同时也会增加购买肥料的费 用 从经济的角度来看 并不一定合算 应综合考虑产 量和施肥的成本因素 以单位面积上的收益 即农作 物的销售收入与施肥的费用之差 为目标函数 以单 位面积的收益最大为最优准则 来确定最优解 1 1 1 产量模型 考虑当0 n p k 1 时的产量模型 如果只是 追求高产 则只要求出上面拟合出来的函数 和加 i g i 1 2 3 的最大值 即可 产量 模型的求解可 以用微分法求解 也 以用 MA T L A B软 件很容易求出 且只要求 N对产量的最大值 因为 P 和 K的用量取最大值时 相应地土豆和生菜的产量 最大 利用 MA T L A B软件求解的结果是 当 P K固定在第7种水平 即P k P k 0 5 7 1 4 而 N的用量为 n 0 6 1 6 4 即 N的施用 量是2 9 0 3 2 4 4 k g h a 时 土豆的产量最大 最大值 是 4 3 3 6 0 3 t h a 当P K 固定在第7 种水平 即p P 0 5 7 0 8 k k 0 5 7 1 4 而N的用量为 7 2 0 5 4 2 7 即N的 施用量是 2 1 2 7 3 8 4 k g h a 时 生菜的产量最大 最 大值是 2 1 0 0 6 2 t h a 南昌 鸵室 击謦学报 00珏 r 疆 of Na nc han Han k ong Un i v er si t y 自然科学腹 N 8 8 c e c e 1 1 2 效益模型 当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费 用多时 就应该施肥 否则就不应该多施肥 设土豆 和生菜的售价分别是 0 和口 元 t N P 和K的售 价分别为 b b 6 元 k g 首先讨论 N肥施用量的效益模型 当 N肥的用 量是 n k g h a 时 土豆和生菜的产量分别是 tt n 和 W g n 土豆施用肥料的费用是 h b l p 6 k b 元 h a 生菜施用肥料的费用是 h 2 6 1 n p 6 2 Ij 6 3 元 h a 单位面积上的土豆和生菜因施 肥所增加的收 益分别是 m 口 n f 0 一h 0 l 一7 5 3 2 2 2 n 9 2 8 5 7 4 n 一 b l n p O b 2 k b 3 m2 0 2 g l n 一g 1 0 一h 2 n 2 一3 6 5 9 4 4 n 3 9 7 1 7 5 n 一 b l pi th 2 6 3 于是效益模型就归结为要确定 N肥 的施用量 凡 使得收益 m m 达到最大 利用微分法不难求得最优解是 当 n n 蔷 时 牛 豆 的 最 大 收 n n 1 西 日 牛 旦 嗣 敢 收 益是 m1 a 1 一7 5 3 2 2 2 n 9 2 8 5 7 4 n 1 一 b 1 n 1 p Tb 2 k b 3 元 h a 当n 时 生菜的最大收益是 壹n 2 丽 生采刚最 收盈是 m 2 口 2 一 3 6 5 9 4 4 n 3 9 7 1 7 5 1 2 一 b l n 2 p 6 2 尼 6 3 元 h a 同样 对于单位面积上的土豆和生菜因施 P肥 或 K肥所增加的收益也可以类似地讨论 此处就只 对于单位面积上的土豆和生菜因施 P肥所增加的收 益进行讨论 收益函数分别是 m P A 0 一h 理论研究 口 1 一1 6 1 1 7 9 p 2 4 5 6 7 8 p 一 n 6 1 p 6 2 k b 3 m 2 口 2 g 2 P 一g 2 0 一h 2 口 2 一2 5 6 0 8 9 p 4 1 5 2 1 8 p 一 6 1 p 6 2 6 3 利用微分法不难求得最优解是 当p p l 时 土豆的最大收益是 当p 寸 土显阳最大收益是 m a P A 0 一 h 0 1 一1 6 1 1 7 9 p 2 4 5 6 7 8 p 1 一 n b l P I b 2 k b 3 元 h a 当p P 2 时 生菜的最大收益是 p 百 一 日 生采阳最大收益是 m 2 17 2 g 2 P 2 一 g 2 0 一h 2 0 2 一 2 5 6 0 8 9 p 4 1 5 2 1 8 p 2 一 n 6 1 土 P 2 b 2 6 3 元 h a 1 2 模型 2 将土豆和生菜的产量都看成是 N P 和 K的三元函数 设 W n P k 和 g n P k 分别是土 豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数 这里用 2次 多项式 来拟合 这两 个 函数 下 面是用 MA T L A B软件求得的结果 利用实验数据在求拟合 函数 n p k 和 g n P 时 发 现只出 现 P 后 及其乘幂项 而没有 n p 交叉相乘的项 W 1 n P k 一1 2 8 2 8 9 6 0 n 2 8 7 9 p 4 7 8 2 k 一 7 2 26 n 一20 0 4 p 一28 7 3 k W 2 g P k 一 7 4 9 6 3 6 5 7 n 3 1 2 4 p 1 6 7 8 k一3 3 6 7 n 一1 6 O 6 p 一 1 2 7 9 k 其中0 P k l 拟合效果如下图所示 1 2 1 产量模型 易知 产量模型可归结为求函数 n P k 和 g n P k 的最大 值 用微 分 法 或用 MA T L A B软件可以求出结果是 当 N P 和 K的取值分别是 t 0 6 2 p 0 7 2 k G 0 5 0 8 3 时 土豆的产量最大 最大值是4 5 1 9 3 8 t h a 当N P 和K的取值分别是 0 5 4 P 0 9 7 k 0 6 6 时 生菜的产量最大 最大值是2 3 1 2 9 1 t h a 1 2 2 效益模型 同模型 1 当施 用肥料所带来 的收入 比用于购 2 0 0 8 年 9月 第2 2 卷 第3 期 理论 研 究 买肥料 的费用多时 就应该施肥 否则就不应该多施 肥 设土豆和生菜的售价分别是口 和 口 元 t N P 和 K的售价分别 中b b b 元 k g 当 N P和K的 用量分别是 2 P k k g h a 时 土豆和生菜的产量分 别是 W n P k 和 g n P k 而购买肥料 的费用是 h b l 2 b 2 p b 3 k 元 h a 于是单位面 积上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分别是 m 2 P k f 0 0 0 X 口 一 h 2 P k f 0 0 0 X 0 l 一 b m b 2 P b 3 k n 2 g n P k 一g o 0 0 X口 2一h g n P k 一g O 0 0 x a 2一 b l 2 b 2 p b 3 k 模型归结为 确定 凡 P k 的值 使上面两个函数 分别达到最大值 用微分法可求得最优解分别是 当N P和 K的取值分别是 n p l 垫 0 8 5 7 4 6 a 时 土豆的产量最 一 4 0 口 1 一 t 上且 里取 大 最大值是 m 1 2 P k 一 厂 0 0 0 X a 一 b 1 2 1 b 2 p l b 3 k 1 t h a 当N P 和K的取值分别是n 时 生菜的产量 一 3 2 1 2 一 25 5 8口 工 木 里 最大 最大值是 m2 g 2 2 P k 2 一g o 0 0 X a 2一 b l n 2 b z p 2 b 3 k 2 t h a 2 模型的检验与改进 为了检验效益模型 的求解结果 需要知道土豆 和生菜的销售价 还要知道肥料 N P K的销售价 不同的N肥价格相差较大 例如 按照当前的市 场价格 碳酸氢铵平均价格为5 4 0 元 吨 尿素价 格为 1 7 6 0 元 吨 钾肥的价格也有 1 7 0 0 元 吨 至 2 4 2 0 元 吨 不等的情况 而 P肥 的价格大致为 4 0 0 元 吨 在 以下讨论 中 我们假设 N肥价格为 b 1 南量 鸵室女 謦学报 J ou a o f Nan ch amg Hang kon g 骆船l 酶 骘l 圣 岛然科学版 N t La r 8 c i e c e 7 6 元 k g P肥的价格为 b 2 0 4 元 k g K肥的 价格为 b 2 4 2 元 k g 又设土豆和生菜的批发 价分别为 8 0 0 元 吨 和 4 0 0 元 吨 对于模型 1的效益模型 利用上面的数据 可求 得单位面积上的土豆和生菜施 N 肥的最优解结果分 别是 凡 l 0 6 1 6 4 m 2 2 8 9 2 X 1 0 元 和 n 2 0 5 4 2 6 m 2 4 3 0 8 1 X 1 0 元 同样 可求得单位面积上的土豆和生菜施 P肥 的最优解结果分别是 P 1 0 7 6 2 1 m 7 4 8 6 9 X 1 0 元 和P 2 0 8 1 0 7 m2 6 7 2 9 6 X 1 0 元 从求解的结果上可以看到 对于施 N肥的效益 模型求解的结果与产量模型的求解结果差别不大 这是 因为 在现有的实验数据范围内 肥料 的成本相 对于总收益来说很小 例如每公顷面积施用 N肥的 成本最多为4 7 1 1 7 6 l n P k 一l 2 8 2 8 9 6 0 it 2 8 7 9 p 4 7 8 2k 一72 2 6it 一 2 0 0 4 p 一28 7 3k t O 2 g I t P k 一 7 4 9 6 3 6 5 7 n 3 1 2 4 o 1 6 7 8 k一3 3 6 7 it 一1 6 O 6 p 一1 2 7 9 k 中 常数项的值为负 这是不合理的 因为 0 0 0 和g o 0 0 表示不施肥时的产量 这些值都应当是 非负才合理 但因为原点 0 0 0 并不在实验数据 的范围内 因此拟合函数的这种情况是可 以出现的 这时模型2中的效益模型就需要改进一下 这可以 用两种方法来处理 第一种方法 就是直接将函数 n P k 和g It P k 在原点 0 0 0 的某个小的邻域内的值改为0 即可 也就是分别用 n p k ma x n p 后 0 g n P k ma x g n P k 0 代替原来的函数 凡 P k 和g n p k 这样处 理之后 模型2的最优解和最大收益的值不变 第二种方法 因为 N P K三种肥料是农作物生 长的基本肥料要素 如果这三种肥料都不施用 农作 物的产量通常会 很低 可近似地认 为产量 为 0 因 此 在拟合函数 凡 P k 和g n p k 时 我们在实 验数据中增加一 个点 0 0 0 0 即表示 当 N P K 三种肥料的施用量均为 0时 土豆和生菜的产量也 为0 这样拟合函数厂 n P 后 和g 凡 P k 时的结 果是 n P k 8 9 6 n 6 3 5 2 p 2 5 3 8 k一7 2 2 6 n 一 2 0