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无穷级数复习课 一 内容提要 上页 下页 铃 结束 返回 首页 二 典型例题 内容提要 收敛级数的基本性质 性质1 性质3在级数中去掉 加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 性质2 级数收敛的必要条件 如果一般项不趋于零 则级数必发散 内容提要 等比级数的收敛性 p 级数的收敛性 等比级数 当 q 1时收敛 当 q 1时发散 正项级数收敛的充要条件 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 内容提要 比较审敛法 比较审敛法的极限形式 1 如果 2 如果 内容提要 比值审敛法 根值审敛法 收敛 当 1 或 时级数发散 收敛 当 1 或 时级数发散 注 r类似于等比级数的公比 称其为渐近公比 p 级数的渐近公比等于1 内容提要 莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和s u1 其余项rn的绝对值 rn un 1 绝对收敛与条件收敛 内容提要 幂级数的收敛半径与收敛区间 如果幂级数 anxn不是仅在点x 0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在 使得当 x R时 幂级数发散 当x R与x R时 幂级数可能收敛也可能发散 正数R通常叫做幂级数 anxn的收敛半径 开区间 R R 叫做幂级数 anxn的收敛区间 注 若幂级数只在x 0收敛 则规定收敛半径R 0 若幂级数在 内收敛 则规定收敛半径R 内容提要 幂级数的和函数的性质 幂级数 anxn的和函数s x 在收敛域I上连续 幂级数 anxn的和函数s x 在收敛区间 R R 内可导 逐项积分公式 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 逐项求导公式 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 内容提要 几个函数的展开式 典型例题 知识点 解 因为 而级数 收敛 所以原级数也收敛 解 因为 而级数 收敛 所以级数 也收敛 知识点 解 所给级数发散 当a e时 r 1 所给级数收敛 当a e时 r 1 所给级数发散 当a e时 的收敛性 例3讨论级数 知识点 解 所给级数发散 当a 1时 r 1 所给级数收敛 当a 1时 r 1 所给级数发散 当a 1时 知识点 解 因此所给级数条件收敛 而级数发散 所以所给级数非绝对收敛 且un单调减少 提示 知识点 单调增加 解 当x 1 1时 得级数 而级数发散 当x 1 1时 得交错级数 知识点 所以所得级数发散 且un单调减少 所以所得级数收敛 所求收敛域为 0 2 解 的和函数 例8在区间 1 1 内求幂级数 提示 知识点 解 知识点 以上级数在点x 1处收敛 例10将函数展开为x的幂级数 但在点x 1处不连续 因此 而f x 在点x 1处连续 比较审敛法的极限形式 1 如果 2 如果 p 级数的收敛性 比值审敛法 根值审敛法 收敛 当 1 或 时级数发散 收敛 当 1 或 时级数发散 级数收敛的必要条件 如果一般项不趋于零 则级数必发散 比较审敛法 莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和s u1 其余项rn的绝对值 rn un 1 注 设 1 当r 1时 级数 绝对收敛 2 当r 1时 级数 发散 绝对收敛与收敛的关系 幂级数的收敛半径与收敛区间 如果幂级数 anxn不是仅在点x 0收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必存在收敛半径R 使得当 x R时 幂级数发散 开区间