机器人学第9章 静态力.ppt

第九章静态力Chapter StaticForces 9 1引言9 2力和力距的表示9 3坐标系之间的力变换9 4等效关节力矩9 5通过关节力矩判断负载质量9 6利用腕力传感器判断负载质量9 7本章小结 9 1引言 Introduction 本章介绍静态力和力距的表示方法 以及它们在坐标系之间的变换和等效关节力矩的计算方法 以及通过关节力矩和利用腕力传感器确定机械手负载物体质量等问题 9 2力和力距的表示 TheRepresentationofForcesandMoments 力和力距都是矢量 要相对于某个确定的坐标系来进行描述 矢量f表示力 矢量m表示力矩 力与力矩合在一起用矢量F表示 称为力向量F 例如一个力矢量f 10i 0j 150k和一个力矩矢量m 0i 100j 0k 可用一个六维力向量表示为F 100 1500 1000 T 9 1 9 3坐标系之间力的变换 TransformationofForcesBetweenCoordinateFrames 虚功原理 所谓虚功原理是指假定有一个力向量F作用于一个物体 它引起一个微小的假想位移 称之为虚位移D 由于物体实际上并未移动 它在这个物体上所作的功称为虚功 且虚功为零 即 w FTD 0 9 2 其中 w表示虚功 D表示虚位移的微分运动矢量D dxdydz x y z T 9 3 F为力矢量F fxfyfzmxmymz T 9 4 如果虚位移是由作用在物体上的另一个力向量造成的 它对物体的外部作用效果相同 如果这个虚位移用坐标系C来描述 那么就会得到相同的虚功 即 w FTD CFTCD 9 5 即FTD CFTCD 9 6 则有Cdxnxnynz p n x p n y p n zdxCdyoxoyoz p o x p o y p o zdyCdzaxayaz p a x p a y p a zdzC x 000nxnynz x 9 7 C y000oxoyoz yC z000axayaz z令CD JD 9 8 从而得到FTD CFTJD 9 9 上式适用于任何虚位移D 于是可以得到FT CFTJ 9 10 即F JTCF 9 11 亦即fxnxoxax000cfxfynyoyay000cfyfznzozaz000cfzmx p n x p o x p a xnxoxaxcmxmy p n y p o y p a ynyoyaycmymz p n z p o z p a znzozazcmz 8 12 上式求逆得cfxnxnynz000fxcfyoxoyoz000fycfzaxayaz000fzcmx p n x p n y p n znxnynzmxcmy p o x p o y p o zoxoyozmycmz p a x p a y p a zaxayazmz将上式的上三行和下三行互换有cmxnxnynz p n x p n y p n zmxcmyoxoyoz p o x p o y p o zmycmzaxayaz p a x p a y p a zmzcfx 000nxnynzfxcfy000oxoyozfycfz000axayazfz 9 13 9 14 由式 9 14 和第五章的式 5 39 可知 力和力矩在坐标系之间的变换形式与微分平移和微分旋转的变换形式相同 则有cmx n f p m cmy o f p m cmz a f p m cfx n fcfy o fcfz a f式中的n o a和p在第五章5 5节中定义过 它们是微分坐标变换式的列向量 力矩的变换形式与微分平移一样 而力的变换形式与微分旋转一样 9 16 9 15 例9 1 一个机械手及其末端执行器的位置为ZT6E 要把一个螺杆插入表示为OH的孔眼 如图9 1所示 ZT6E OH末端执行器的坐标为10020100E 001100001在孔眼坐标系H中 机械手要施加的力是f 0i 0j 100k 试求坐标系T6中的等价力和力矩 解 由图9 2所示的变换图 我们可以得到微分坐标变换E 1100 20100E 1 001 100001于是p 2i 0j 10k 从而ijkf p 00100 0i 200j 0k 20 10f p m 0i 200j 1000k最后 由式 9 15 和 9 16 可得T6m 0i 200j 1000kT6f 0i 0j 100k即T6F 001000 2001000 T 9 4等效关节力矩 EquivalentJointTorques 这一节要解决的问题是 在作用于坐标系T6的力和力矩与等价关节力及关节力矩之间建立一定的关系 还是利用虚功原理 使作用于坐标系T6的力和力矩所完成的虚功与她们在关节上完成的虚功相等 即 w T6FTT6D TQ 9 17 式中 是广义关节力的一个列向量 它由各个关节的力或力矩分量构成 对于旋转关节 它是力矩 i 对于滑动关节 它是关节力fi Q是关节虚位移的一个列向量 对于旋转关节为 i 对于滑动关节为 di 以斯坦福机械手为例 关节虚运动所完成的虚功为式中 i为关节力矩 f3为作用于滑动关节3的关节力 由虚功原理可知T6FTT6D TQ 9 19 由微分变换关系式得到T6FTJQ TQ 9 20 上式与虚位移Q无关 从而T6FTJ T即 JTT6F 9 21 式 9 21 是一个十分重要的关系式 它表明 给机械手末端坐标T6施加一个作用力和力矩 可以得到机械手各关节的等效力或力矩 使机械手与外部作用保持平衡 如果机械手可以自由地按照作用力和力矩的方向运动 那么由式 9 21 确定的关节力或力矩就会使得给定的力和力矩获得作用效果 需要指出的是 式 9 21 适用于任意自由度的机械手 例9 2 设斯坦福手的状态如下010201006 0T6 00 100001相应各个关节坐标值如表9 1所示 表9 1机械手状态坐标值正弦余弦 10001 290010d320in 40001 590010 690010 其雅可比矩阵为20 00 00 00 00 00 0 6 00 01 00 00 00 00 020 00 00 00 00 00 01 00 00 01 00 00 00 00 01 00 00 0 1 00 00 00 00 01 0当施加由例9 1得到的力和力矩T6F 001000 2001000 T试计算必要的关节力矩和力 解 关节力矩和力由式 9 21 求出 i20 6000 10 1000 i002010002000f30100001000 i 0000100 200 i000100 2000 i00000 110001000 9 5通过关节力矩判断负载质量 MassDeterminationofLoadbyJointTorques 如果机械手要移动一个未知负载 假定是最坏情况的负载 先设定合适的系统增益以防欠阻尼响应 然后控制机械手运动使它以恒速提起负载 一旦所有关节都运动起来 按式第七章式 7 20 确定误差力矩和力 于是 这些误差力矩和力就会与负载质量发生关系 设机械手的位置相对基坐标由变换Z确定 而未知负载被握在由T6E描述的末端执行器的质心处 负载的位置X就是X ZT6E 9 22 ZT6EXGY图9 3利用关节力矩变换图判定负载质量 位于末端执行器的1公斤负载在坐标系G中所施加的力为GF 00 g000 9 23 其中100Xpx010XpyG 001Xpz 9 24 0001则G坐标系就与基坐标系定向一致 我们定义一个变换Y把G与X联系起来GY X 9 25 则Y G 1Xxnxxoxxax0 xnyxoyxay0Y xnzxozxaz0 9 26 0001 由图8 4求得GF与T6F的微分变换式YE 1 然后根据式 9 15 和 9 16 把YE 1作为微分坐标变换 就得到1公斤负载作用于T6的力 然后再由式 9 21 得到等价关节力矩 最后 根据式 7 20 得出误差力矩T 把T相对于 进行归一化 通过求取 与T的内积 我们就得到了负载质量m的表达式 9 27 一旦负载质量确定 就要重新计算动力学方程以便补偿负载质量的影响 9 6利用腕力传感器判断负载质量 MassDeterminationbyWristForceSensor 如果有一个腕力传感器 它相对于T6的变换矩阵为T6W 如果由腕力传感器测得六维力向量WF 含三个力分量和三个力矩分量 那么未知负载的质量就可以据此确定 图9 5画出了这个变换图 按照这个图 我们通过变换表达式YE 1W就能得到坐标系G与W之间的变换关系 经过如同利用关节力矩确定负载质量一样的方法 我们求出1公斤负载在坐标系W中的等价力WFg 在机械手提起未知负载之后 我