1.2 极限.ppt

第二节极限 limit 一 极限的概念 conception 二 无穷小量及其性质 infinitesimalanditsproperties 三 极限的四则运算 arithmetic 四 极限存在的准则及两个重要极限五 无穷小的比较 Comparisonoftheinfinitesimal 函数与极限 2020 1 15 1 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 播放 刘徽 我国古代数学家刘徽在 九章算术注 利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术 就是极限思想在几何上的应用 一 极限的概念 conception 1 数列的极限 函数与极限 2020 1 15 2 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 说明 刘徽从圆内接正六边形 逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3 1416 函数与极限 2020 1 15 3 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 函数与极限 2020 1 15 4 例如 函数与极限 2020 1 15 5 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是以n为自变量的函数 函数与极限 2020 1 15 6 播放 函数与极限 2020 1 15 7 0 x 观察数列的变化趋势 1 问题 当无限增大时 如何变化 通过上面演示实验的观察 函数与极限 2020 1 15 8 所以有 记为 函数与极限 2020 1 15 9 思考 极限不存在有两种情况 a 极限在某范围内波动 如T4 b 极限趋向于正 或负 无穷大 此时记为 函数与极限 2020 1 15 10 2 函数极限 1 自变量趋向无穷大时函数的极限 1 连续型的变化 函数与极限 2020 1 15 11 播放 2 函数与极限 2020 1 15 12 通过上面演示实验的观察可知 函数与极限 2020 1 15 13 定义 当自变量x的绝对值无限增大时 如果函数f x 无限趋于某一个常数A 就称当x趋于无穷大时 函数f x 以A为极限 记为 函数与极限 2020 1 15 14 x按绝对值无限增大时 又包含了x 的情形 既包含了x 为单侧极限 函数与极限 2020 1 15 15 例 求函数的单侧极限 解 函数与极限 2020 1 15 16 2 自变量趋向有限值时函数的极限 考虑函数 p 函数与极限 2020 1 15 17 函数与极限 2020 1 15 18 定义 函数在点的附近有定义 但在这一点可没有定义 当自变量以任意方式无限趋近定点时 若函数无限趋近一个常数A 就称当趋于时 函数以A为极限 记为 函数与极限 2020 1 15 19 函数与极限 2020 1 15 20 单侧极限 注1 左极限与右极限都称之为单侧极限 从左边趋于 从右边趋于 右极限 RightLimits 左极限 LeftLimits 函数与极限 2020 1 15 21 1 左 右极限均存在 且相等 2 左 右极限均存在 但不相等 3 左 右极限中至少有一个不存在 找找其它例题 函数在点x0处的左 右极限可能出现以下三种情况之一 函数与极限 2020 1 15 22 y f x x O y 1 1 在x 1处的左 右极限 解 函数与极限 2020 1 15 23 解 函数与极限 2020 1 15 24 左右极限存在但不相等 例 证 函数与极限 2020 1 15 25 思考题 函数与极限 2020 1 15 26 思考题解答 左极限存在 右极限存在 不存在 一般地 初等函数在定义域内所有点处的极限就为函数在这一点的函数值 函数与极限 2020 1 15 27 二 无穷小量及其运算性质 简言之 在某极限过程中 若f x 以0为极限 即则称f x 为该极限过程中的一个无穷小量 注意 1 无穷大或无穷小是变量 不是很大或很小的数 但0是无穷小量 2 无穷大或无穷小量是针对自身变化过程而言的 如 1 无穷小量 函数与极限 2020 1 15 28 函数与极限 2020 1 15 29 函数与极限 2020 1 15 30 1 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量 2 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量 无穷小量的运算法则 函数与极限 2020 1 15 31 3 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 5 在某极限过程中 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量 4 在某一极限过程中 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量 函数与极限 2020 1 15 32 证 证明 函数与极限 2020 1 15 33 解 函数与极限 2020 1 15 34 二 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 函数与极限 2020 1 15 35 函数与极限 2020 1 15 36 无穷大量是否一定是无界量 在某极限过程中 无界量是否一定是无穷大量 但该数列是无界的 函数与极限 2020 1 15 37 无穷大量与无穷小量的关系 无穷大量的倒数为无穷小量 x 0 无穷小量的倒数为无穷大量 x 0 则 函数与极限 2020 1 15 38 不是无穷大量 是无穷大量 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量 考察 函数与极限 2020 1 15 39 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量 不着急 看个例题 函数与极限 2020 1 15 40 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量 不着急 看个例题 不一定再是无穷大量 函数与极限 2020 1 15 41 结论 在某个极限过程中 函数与极限 2020 1 15 42 三 无穷小的比较 例如 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 不可比 观察各极限 函数与极限 2020 1 15 43 Def 函数与极限 2020 1 15 44 例 所以 是的高阶无穷小 函数与极限 2020 1 15 45 例题见课本16页 函数与极限 2020 1 15 46 小结 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 高 低 阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 函数与极限 2020 1 15 47 一 极限运算法则 Theorem 证 由无穷小运算法则 得 四 极限的运算法则 函数与极限 2020 1 15 48 函数与极限 2020 1 15 49 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 有界 函数与极限 2020 1 15 50 和的极限等于极限的和 乘积的极限等于极限的乘积 商的极限等于极限的商 分母不为零 函数与极限 2020 1 15 51 二 求极限方法举例 例1 解 函数与极限 2020 1 15 52 小结 函数与极限 2020 1 15 53 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例2 函数与极限 2020 1 15 54 解 例3 消去零因子法 函数与极限 2020 1 15 55 例4 解 函数与极限 2020 1 15 56 小结 函数与极限 2020 1 15 57 例5 解 先变形再求极限 函数与极限 2020 1 15 58 例6 解 函数与极限 2020 1 15 59 例7 解 左右极限存在且相等 函数与极限 2020 1 15 60 小结 1 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷大之比求极限法 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 函数与极限 2020 1 15 61 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为什么 函数与极限 2020 1 15 62 思考题解答 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 函数与极限 2020 1 15 63 一 填空题 练习题 函数与极限 2020 1 15 64 二 求下列各极限 函数与极限 2020 1 15 65 函数与极限 2020 1 15 66 五 极限存在准则 1 两边夹法则 函数与极限 2020 1 15 67 例1 解 由夹逼定理得 函数与极限 2020 1 15 68 2 单调有界准则 几何解释 函数与极限 2020 1 15 69 统称为单调数列 数列 函数与极限 2020 1 15 70 数列的有界性 回想一下前面讲过的函数的有界性的情形 我学过吗 函数与极限 2020 1 15 71 二 两个重要极限 1 函数与极限 2020 1 15 72 函数与极限 2020 1 15 73 例2 函数与极限 2020 1 15 74 例3 解 函数与极限 2020 1 15 75 2 函数与极限 2020 1 15 76 函数与极限 2020 1 15 77 函数与极限 2020 1 15 78 函数与极限 2020 1 15 79 例4 解 例5 解 函数与极限 2020 1 15 80 例6 函数与极限 2020 1 15 81 三 小结 1 两个准则 2 两个重要极限 夹逼准则 单调有界准则 函数与极限 2020 1 15 82 求 解 函数与极限 2020 1 15 83 求