经济数学复习第六章线性方程组.ppt

一 非齐次线性方程组的消元解法 ESC 6 1线性方程组的消元解法 二 线性方程组解的判定 6 1线性方程组的消元解法 一 非齐次线性方程组的消元解法 ESC 6 1线性方程组的消元解法 二 线性方程组解的判定 6 1线性方程组的消元解法 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 若常数项 不全为零 则称此方程组为非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 若常数项 全为零 即 则称此方程组为齐次线性方程组 齐次线性方程组 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 记 系数矩阵 未知量矩阵 常数项矩阵 A X b 若b O 则非齐次线性方程组用矩阵可表示为AX b 若b O 则齐次线性方程组用矩阵可表示为AX O ESC 增广矩阵 A b 一 非齐次线性方程组的消元解法 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 对于非齐次线性方程组AX b b O 和 齐次线性方程组AX O 要解决如下三个问题 2 若有解 是否是唯一解 3 如何求方程组的解 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 案例 用消元法解下列非齐次线性方程组 消元法的基本思想是把方程组中的部分方程变成未知量较少 从而求出解 也就是通过对方程组进行同解变形来实现的 项进行变换 分析 的方程 而对方程组进行同解变形实际上就是对方程组的系数和常数 下面在用消元法解方程组时 对照观察线性方程组的增广矩阵 ESC 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 方程组 增广矩阵 方程 乘上数 2 1 加到方程 和方程 上 得 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 方程组 增广矩阵 把方程 乘上 得 ESC 把上述矩阵的第3行乘上 得 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 ESC 方程组 增广矩阵 交换方程 和方程 的位置 得 交换上述矩阵的第2行和第3行 得 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 ESC 方程组 增广矩阵 为消去方程 未知量 将方程 乘上数3加到方程 上 得 将上述矩阵的第2行乘上数3加到第3行上 得 阶梯形方程组 阶梯形矩阵 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 ESC 方程组 增广矩阵 为求方程组的解 将方程 乘上 得 把上述矩阵的第3行乘上 得 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 ESC 方程组 增广矩阵 将上述矩阵第3行分别乘上数2 1 加到第2行和第1行上 得 将代入前两个方程 即将方程 分别乘上数2 1 加到方程 和方程 上 得 解案例 方程组与增广矩阵对照演示 ESC 方程组 增广矩阵 完 将代入前一个方程 即将方程 乘上数 3 加到方程 上 得 将上述矩阵第2行乘上数 3 加到第1行上 得 原方程组的解 简化阶梯形矩阵 唯一解 用消元法求解线性方程组过程 对照 ESC 方程组 增广矩阵 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 解线性方程组 例1 1 将线性方程组的增广 解 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 例1 1 将线性方程组的增广 续解 0 0 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 例1 续解 简化阶梯形矩阵 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 例1 续解 该方程组可写成 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 完 例1 续解 该方程组可写成 若取 则原方程组的解是 其中 为任意常数 原方程组有无穷多组解 线性方程组的一般解 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 解线性方程组 例2 解 并对其施行初等行变换 化为阶梯形矩阵 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 完 例2 续解 并对其施行初等行 变换 化为阶梯形矩阵 矛盾方程 原方程组无解 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 案例中 A 原方程组有唯一解 ESC 一 非齐次线性方程组的消元解法 A 例1中 原方程组有无穷多组解 A 例2中 r A 2 r 3 原方程组无解 ESC 二 线性方程组解的判定 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 非齐次线性方程组 或用矩阵表示 AX b 有解 这时 自由未知量的个数为n r 1 当r n 未知量的个数 时 有唯一解 2 当r n时 有无穷多解 ESC 方程组 例3 解 并对其施行初等 写出方程组 行变换 解线性 二 线性方程组解的判定 ESC 未完待续 例3 续解 并对其施行初等 写出方程组 行变换 二 线性方程组解的判定 ESC 例3 续解 并对其施行初等 写出方程组 行变换 原方程组有无穷多组解 自由未知量的个数为5 3 2 二 线性方程组解的判定 ESC 例3 续解 并对其施行初等 写出方程组 行变换 二 线性方程组解的判定 ESC 完 例3 续解 若取 则方程组的一般解为 其中 为任意常数 二 线性方程组解的判定 原方程组有无穷多组解 ESC 方程组 例4 解 1 已知线性 2 当方程组有解时 求出它 为什么 的一般解 二 线性方程组解的判定 ESC 例4 二 线性方程组解的判定 续解 1 方程组有解 当 此时 2 简化阶梯形矩阵 ESC 完 例4 二 线性方程组解的判定 续解 2 所以原线性方程组有无穷多解 且含1个自由未知量 因为 若取 则方程组的一般解为 方程组有无穷多组解 ESC 二 线性方程组解的判定 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 齐次线性方程组 用矩阵表示 AX O 一定有零解 这时 自由未知量的个数为n r A 1 当r A n 未知量的个数 时 仅有零解 2 当r A n时 有非零解 由此可知 当方程的个数m小于未知量个数n时 方程组一定有非零 ESC r A n r A n 二 线性方程组解的判定 ESC 方程组 例5 解 解线性 二 线性方程组解的判定 所以方程组一定有非零解 因为方程组中方程的个数3 小于未知量的个数4 A ESC 未完待续 例5 续解 二 线性方程组解的判定 A 简化阶梯形矩阵 ESC 例5 续解 二 线性方程组解的判定 A 由上述简化阶梯形矩阵知 简化阶梯形矩阵 若取 则方程组的一般解为 其中 为任意常数 原方程组有无穷多组解 ESC 内容小结 一 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 设含有 个未知量 有 个方程式组成的方程组 6 1 1 ESC 内容小结 其中系数 常数都是已知数 是未知量 也称为未知数 当右端常数项 不全为0时 称方程组 6 1 1 为非齐次线性方程组 当时 6 1 2 称方程组 6 1 2 为齐次线性方程组 ESC 内容小结 二 消元法 高斯消元法 用消元法解线性方程组 或 的具体步骤为 首先写出增广矩阵 或 或系数矩阵 并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵 然后判断方程组是否有解 在有解的情况下 继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵 再写出方程组的一般解 ESC 内容小结 三 线性方程组解的判定 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 ESC 内容小结 有解 1 当r n 未知量的个数 时 有唯一解 2 当r n时 有无穷多解 这时 自由未知量的个数为n r ESC 内容小结 设含有n个未知数m个方程的线性方程组 一定有零解 ESC 内容小结 1 当r A n 未知量的个数 时 仅有零解 2 当r A n时 有非零解 这时 自由未知量的个数为n r A 由此可知 当方程的个数m小于未知量个数n时 方程组一定有非零 ESC 课堂练习 1 解线性方程组 ESC 课堂练习 解先写出增广矩阵 再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵 即 ESC 课堂练习 ESC 课堂练习 最后一个增广矩阵表示的线性方程组为 ESC 课堂练习 将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 将其代入第二个方程 解得 再将 代入第一个方程 解得 ESC 课堂练习 因此 方程组 6 1 4 的解为 其中可以任意取值 6 1 5 如果将表示式 6 1 5 中的自由未知量取一任意常数 即令 那么方程组 6 1 4 的一般解为 ESC 课堂练习 其中为任意常数 例如 对1题中的阶梯形矩阵进一步化简 即 ESC 课堂练习 上述矩阵对应的方程组为 ESC 课堂练习 将此方程组中含的项移到等号的右端 就得到原方程组 6 1 4 的一般解 即 其中是自由未知量 ESC 课堂练习 2 解线性方程组 ESC 课堂练习 解 ESC 课堂练习 所以 方程组的一般解为 ESC 课堂练习 2 解线性方程组 解因为 ESC 课堂练习 阶梯形矩阵的第三行 所表示的方程为 由该方程可知 无论 取何值 都不能满足这个方程 所以 原方程组无解 ESC 课堂练习 4 解线性方程组 ESC 课堂练习 ESC 课堂练习 ESC 课堂练习 5 判别下列方程组是否有解 若有解 是有唯一解还是有无穷多解 ESC 课堂练习 ESC 课堂练习 解 1 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵 即 ESC 课堂练习 因为 两者不等 所以方程组无解 ESC 课堂练习 2 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵 即 ESC 课堂练习 因为 所以方程组有无穷多解 3 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵 即 ESC 课堂练习 因为 所以方程组有唯一解 ESC 课堂练习 6 判别下列齐次方程组是否有非零解 ESC 课堂练习 解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵 即 ESC 课堂练习 因为 所以齐次方程组只有零解 ESC 课堂练习 7 问 取何值时 下列方程组无解 有唯一解 有无穷多解 ESC 课堂练习 解由 ESC 课堂练习 当而时 故方程组无解 当时 故方程组有唯一解 当而时 故方程组有无穷多解 ESC 课堂练习 8 已知总成本是产量的二次函数 根据统计资料 产量与总成本之间有如表9 1所示的数据 试求总成本函数中的 ESC 课堂练习 解将 代入已知二次函数模型中 得方程组 利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵 再求解 即 ESC 课堂练习 ESC 课堂练习 方程组的解为 因此总成本函数为 ESC 9 解线性方程组 课堂练习 ESC 线性方程组有解判别定理 定理6 1 线性方程组有解判别定理 线性方程组 6 1 1 有解的充分必要条件是其系数