物理光学简明教程部分答案.pdf

第一章 光的电磁理论 1 1 在真空中传播的平面电磁波 其电场表示为 Ex 0 Ey 0 Ez 102 os 1014 2 各量均用国际单位 求电磁波的频率 波长 周期和初相位 解 由Ex 0 Ey 0 Ez 102 os 1014 2 则频率 2 1014 2 0 5 1014Hz 周期 T 1 2 10 14s 初相位 0 2 z 0 t 0 振幅 A 100V m 波长 cT 3 108 2 10 14 6 10 6m 1 2 一个平面电磁波可以表示为 Ex 0 Ey 2Cos 2 1014 t 2 Ez 0 求 1 该电磁波的振幅 频 率 波长和原点的初相位是多少 2 波的传播和电 矢量的振动取哪个方向 3 与电场相联系的磁场B B 的表达式如何写 解 1 振幅 A 2V m 频率 2 2 1014 2 1014Hz 波长 3 108 1014 3 10 6 原点的 初相位 0 2 2 传播沿 z 轴 振动方向 沿 y 轴 3 由B B 1 可得 By Bz 0 Bx 2 os 2 1014 t 2 1 3 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 Ey 0 Ez 0 Ex 102 os 1015 0 65c t 试求 1 光的 频率 2 波长 3 玻璃的折射率 解 1 2 1015 2 5 1014Hz 2 2 2 1015 0 65c 2 0 65 3 108 1015 m 3 9 10 7 390nm 3 相速度 v 0 65c 所以折射率 n 0 65c 1 54 1 4 写出 1 在 yoz 平面内沿与 y 轴成 角的 方向传播的 平面波的复振幅 2 发散球面波和汇聚球面波的复振幅 解 1 由 exp i 可 得 exp ik cos zsin 2 同理 发散球面波 t exp ikr 1 exp ikr 汇聚球面波 t exp ikr 1 exp ikr 1 5 一平面简谐电磁波在真空中沿正 x 方向传播 其频率为 4 1014Hz 电场振幅为 14 14V m 如果该电磁波的振动面 与 xy 平面呈 45 试写出E E B B表达式 解 其中 10exp 2 2 t 10exp 2 2 t 10exp 2 4 10 14 3 108 2 4 1014 10exp 8 3 106 3 108 同理 10exp 8 3 106 3 108 1 0 其中 10 3 108 exp 8 3 106 3 108 1 6 一个沿k k方向传播的平面波表示为 E 100exp 2 3y 4z 16 105 试求k k方向的单位矢 解 22 32 42 29 又 2 3 4 0 1 29 2 3 4 1 9 证明当入射角 1 45 时 光波在任何两种介质分界面上的 反射都有 2 证明 sin 1 2 sin 1 2 sin45 cos 2 cos45 sin 2 sin45 cos 2 cos45 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1 tan 2 1 tan 2 tan 1 2 tan 1 2 tan45 tan 2 1 tan45 tan 2 tan45 tan 2 1 tan45 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 2 2 1 10 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表 面时 下表面的入射角也是布儒斯特角 证明 由布儒斯特角定义 i 90 设空气和玻璃的折射率分别为 1和 2 先由空气入 射到玻璃中则有 1sin 2sin 再由玻璃出射 到空气中 有 2sin 1sin 又 1sin 1sin 即得证 1 11 平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃 1 5 上 求 1 能流反射率 和 2 能流透射率 和 解 由题意 得 2 1 1 5 又 为布儒斯特角 则 90 1 2 由 得 56 31 33 69 1 2 2 0 2 2 0 148 14 8 2 由 1 可得 1 同理 85 2 1 12 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时 1 其中 2 1 证明 2sin 2cos 1 sin 1 2 cos 1 2 因为 1为布儒斯特 角 所以 2 1 90 2sin 2cos 1 sin90 cos 1 2 2sin 2cos 1 cos 90 2 2 2sin 2 cos 1 sin 2 2 2sin 2cos 1 2sin 2cos 2 sin 2 sin 1 又根据折射定律 1sin 1 2sin 2 得sin 2 sin 1 1 2 1 则 1 其中 2 1 得证 1 17 利 用 复 数 表 示 式 求 两 个 波 1 cos 和 2 cos 的合成 解 1 2 cos cos 2 2 2 2 1 18 两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分 别 为 1 1 1 和 2 2cos 2 若 2 1015Hz 1 6V m 2 8V m 1 0 2 2 求该点的合振动表达式 解 1 2 1 1 2cos 2 6cos 2 1015 8 2 2 1015 6 2 1015 8 2 1015 10 6 10 2 1015 10 53 7 48 2 1015 1 20 求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式 解 由图可知 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 cos 2 0 cos 2 2 22 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 m 为奇 数 2 0 0 所以 4 2 2 cos 2 1 4 2 2 cos 12 cos3 32 cos5 52 1 21 试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式 解 由图可知 1 0 2 0 2 0 4 2 0 2 cos cos 0 2 sin 2 2 0 0 所以 2 2 1 sin 2 cos 1 22 利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波 做傅里叶分析 解 由图可知 1 0 2 1 2 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 0 2 0 2 sin 0 sin 2 1 2 2cos 所以 1 1 2 2cos 1 sin 4 sin 1 3 sin3 1 5 sin5 1 23 氪同位素 86放电管发出的红光波长为 605 7nm 波列 长度约为 700mm 试求该光波的波长宽度和频率宽度 解 由题意 得 波列长度2 700 由公式 2 2 605 72 700 106 5 2 10 4nm 又由公式2 所以频率宽度 2 3 108 700 10 3 4 3 108 1 24 某种激光的频宽 5 4 104Hz 问这种激光的波列长 度是多少 解 由相干长度D 2 c 所以波列长度 2 2 c 3 108 5 4 104 5 55 103 第二章 光的干涉及其应用 2 1 在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片 其厚度 0 01mm 折射率 1 5 若光波波长为 500nm 试计算 插入玻璃片前后光束光程和相位的变化 解 由时间相干性的附加光程差公式 1 1 5 1 0 01mm 0 005mm 2 2 500 10 6 0 005 20 2 2 在杨氏干涉实验中 若两小孔距离为 0 4mm 观察屏至小 孔所在平面的距离为 100cm 在观察屏上测得的干涉条纹间距 为 1 5cm 求所用光波的波长 解 由公式 得光波的波长 1 5 10 3 0 4 103 100 10 2 6 10 7 600nm 2 3 波长为 589 3nm 的钠光照射在双缝上 在距双缝 100cm 的观察屏上测量 20 个干涉条纹的宽度为 2 4cm 试计算双缝 之间的距离 解 因为干涉条纹是等间距的 所以一个干涉条纹 的宽度为 2 4 20 cm 又由公式 得双缝间距 离 589 3 10 6 100 10 10 2 4 20 mm 0 491mm 2 4 设双缝间距为 1mm 双缝离观察屏为 1m 用钠光照明双缝 钠光包含波长为 1 589nm 和 2 589 6nm两种单色光 问 两种光的第 10 级亮条纹之间的距离是多少 解 因为两束光相互独立传播 所以 1光束第 10 级亮条纹位置 1 1 2光束第 10 级亮条纹位 置 2 2 所以间距 2 1 2 1 10 1000 1 589 6 589 10 6 6 10 3mm 2 5 在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置 1 1 4和 2 1 7 厚度同为 t 的玻璃片后 原来中央极大所在点被第 5 级亮纹 所占据 设 480nm 求玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向 解 由题意 得 2 1 5 所以 5 2 1 5 480 10 9 1 7 1 4 8 10 6 8 条纹迁移方向向下 2 6 在杨氏双缝干涉实验装置中 以一个长 30mm 的充以空气 的气室代替薄片置于小孔 1前 在观察屏上观察到一组干涉 条纹 继后抽去气室中空气 注入某种气体 发现屏上条纹 比抽气前移动了 25 个 已知照明光波波长为 656 28nm 空气 折射率 1 000276 试求注入气室内的气体的折射率 解 设注入气室内的气体的折射率为 则 25 所以 25 25 656 28 10 9 30 10 3 1 000276 5 469 10 4 1 000276 1 000823 2 7 杨氏干涉实验中 若波长 600nm 在观察屏上形成暗条 纹的角宽度为0 02 1 试求杨氏干涉中二缝间的距离 2 若其中一个狭缝通过的能量是另一个的 4 倍 试求干涉条纹 的对比度 解 角宽度为 0 02 180 所以条纹间距 600 0 02 180 1 72mm 由题意 得 1 4 2 所以干涉对比度 2 1 2 1 1 2 2 4 2 2 1 4 2 2 4 5 0 8 2 8 若双狭缝间距为 0 3mm 以单色光平行照射狭缝时 在距 双缝 1 2m 远的屏上 第 5 级暗条纹中心离中央极大中间的间 隔为 11 39mm 问所用的光源波长为多少 是何种器件的光 源 解 由公式 1 2 所以 1 2 11 39 10 3 0 3 10 3 12 4 0 5 632 8nm 此光源为氦氖激光器 2 12在杨氏干涉实验中 照明两小孔的光源是一个直径为2mm 的圆形光源 光源发光的波长为 500nm 它到小孔的距离为 1 5m 问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少 解 因为是圆形光源 由公式 1 22 则 1 22 1 22 500 10 6 1 5 103 2 0 46mm 2 13 月球到地球表面的距离约为3 8 105km 月球的直径为 3477km 若把月球看作光源 光波长取 500nm 试计算地球表 面上的相干面积 解 相干面积 0 61 2 0 61 500 10 6 3 8 1011 3 477 109 2 3 49 10 3 2 2 14 若光波的波长宽度为 频率宽度为 试证明 式中 和 分别为光波的频率和波长 对于波长 为 632 8nm 的氦氖激光 波长宽度为 2 10 8nm 试计 算它的频率宽度和相干长度 解 证明 由 c 2 则有 2 频率增大时波长减小 取绝对值得证 相干长度 2 632 82 2 10 8 2 0 1013nm 20km 频率宽度 3 108 20 103 1 5 104Hz 2 15 在图 2 22 a 所示的平行平板干涉装置中 若平板的 厚度和折射率分别为 3mm和 1 5 望远镜的视场角为 6 光的波长 450nm 问通过望远镜能够看见几个亮纹 解 设能看见 个亮纹 从中 心往外数第 个亮纹对透镜 中心的倾角 成为第N个条 纹的角半径 设 0为中心条 纹级数 为中心干涉极小数 令 0 0 1 从中心往外数 第N 个条纹的级数为 1 0 1 则 中 2 2 0 2 2 1 两式相减 可得2 1 cos 1 利用折射定律和小角度近似 得 1 1 为平行平板周围介质 的折射率 对于中心点 上下表面两支反射光线的光程差为 2 2 2 1 5 3 106 450 2 nm 2 104 1 2 450nm 因此 视场中心是暗点 由上式 得 h 2 3 106 3 180 2 1 5 450 12 1 因此 有 12 条暗环 11 条亮环 2 16 一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射 率为 1 5 的薄膜上 发现反射光谱中出现波长为 400nm 和 600nm 的两条暗线 求此薄膜的厚度 解 光程差 1 2 1 所以 2 1 1 600 400 10 3 1 5 1 0 4 2 17 用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时 在长 5cm 的范围内 共有 15 个亮条纹 玻璃折射率 1 52 所用单色光波长 600nm 问此光楔的楔角为多少 解 由公式 2 所以楔角 2 又 5 15cm 1 3 cm 所以 600 10 9 1 3 10 2 1 52rad 5 92 10 5rad 2 18 利用牛顿环测透镜曲率半径时 测量出第 10 个暗环的直 径为 2cm 若所用单色光波长为 500nm 透镜的曲率半径是多 少 解 由曲率半径公式 2 2 2 10 2 2 10 500 10 9 20m 2 19F P 干涉仪两反射镜的反射率为 0 5 试求它的最大透射 率和最小透射率 若干涉仪两反射镜以折射率 1 6的玻璃 平板代替 最大透射率和最小透射率又是多少 不考虑系 统吸收 解 当反射率 0 5 时 由光强公式 1 2 4 1 2 可得最大透射率 1 最小透射率 1 2 4 1 2 0 11 当用玻璃平板代替时 1 6 则 1 1 2 1 6 1 1 6 1 2 所以 1 1 2 4 1 2 0 81 2 20 已知一组 F P 标准具的间距分别为 1mm 和 120mm 对于 550 0nm 的入射光而言 求其相应的标准具常数 如果 某激光器发出的激光波长为 632 8nm 波长宽度为 0 001nm 测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具 解 1 2 2 1 5502 2 1 106 0 15 2 2 2 2 5502 2 120 106 0 0013nm 3 2 2 3 632 82 2 0 001 2 108nm 200mm 2 21 有两个波长 1和 2 在 600nm 附近相差 0 0001nm 要用 F P 干涉仪把两谱线分辨开来 间隔至少要多大 在这种情况 下 干涉仪的自由光谱范围是多少 设反射率 0 98 解 由分辨极限公式 2 2 1 得 F P 干涉仪间隔 2 2 1 6002 2 0 0001 10 9 1 0 98 0 98 mm 11 58mm 自由光谱范围 2 2 1 6002 2 11 58 106 0 0155nm 2 22 在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为5 0 4 0 550nm 的介质膜 问 1 介质膜的作用 2 求此时可见光区 390 780nm 反射最大的波长 解 1 作用 因为上下表面光程差2 2 5 4 2 1 2 0 所以该介质膜对 0的反射达到最小 为 增透膜 2 由 5 0 4 可知 对波长为 0 5 0 2cos2 2 0 2 sin2 2 0 2cos2 2 0 2 sin2 2 反射最 大的波长满足2 2 5 4 则 5 0 2 取 2 3 时则符合条件的可见光的波长分别为 687 5nm 和 458 3nm 2 23 在玻璃基片上镀两层光学厚度为 0 4的介质薄膜 如果 第一层的折射率为 1 35 为了达到在正入射下膜系对 0全增 透的目的 第二层薄膜的折射率应为多少 玻璃基片的折 射率 1 6 解 由题意 得 1 1 35 1 6 0 1 要使膜系对 0全增透 由公式 2 0 1 1 6 1 1 35 1 71 第三章 光的衍射与现代光学 3 1波长 500nm 的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔 在光轴 它通过方孔中心并垂直方孔平面 附近离孔 z 处观 察衍射 试求出夫琅禾费衍射区德大致范围 解 要求 1 2 12 2 又 2 所以 1 2 1 2 3 10 2 2 2 500 10 9 900m 3 5 在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中 某色光的第 3 级大与 600nm 的第 2 极大重合 问该色光的波长是多少 解 单缝衍射明纹公式 sin 2 1 2 当 1 600nm 时 1 2 因为 与 不变 当 2 3时 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 所以 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 600 2 3 1 428 6nm 3 6 在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中 测得暗条纹的间距 为 1 5mm 所用透镜的焦距为 300nm 光波波长为 632 8nm 问细丝直径是多少 解 由 所以直径即为缝宽 632 8 10 6 300 1 5 mm 0 127mm 3 8 迎面开来的汽车 其两车灯相距 1m 汽车离人多远 时 两车灯刚能为人眼所分辨 假定人眼瞳孔直径 2mm 光在空气中的有效波长 500nm 解 此为夫琅禾费圆孔衍射 由公式 1 22 所以 1 22 1 2 10 3 1 22 500 10 9 3278 7 3 9 在通常的亮度下 人眼瞳孔直径约为 2mm 若视觉感受最 灵敏的光波长为 550nm 问 1 人眼最小分辨角是多大 2 在教室的黑板上 画的等号的两横线相距 2mm 坐在距黑板 10m 处的同学能否看清 解 1 1 22 夫琅禾费圆孔衍射 1 22 550 10 9 2 10 3 3 36 10 4 rad 2 2 10 3 10 2 10 4rad 所以不能看清 3 7 边长为 a 和 b 的矩孔的中心有一个边长为 0和 0 的不透 明屏 如图所示 试导出这种光阑的夫琅禾费衍射强度公式 解 1 sin 1 1 sin 1 1 2 0 0 sin 2 2 sin 2 2 C 为常数 所以 1 2 sin 1 1 sin 1 1 0 0 sin 2 2 sin 2 2 2 sin 1 1 sin 1 1 0 0sin 2 2 sin 2 2 2 因为场中心强度 场中心对应于 1 2 1 2 0 为 0 2 0 0 2 所以 0 0 0 2 sin 1 1 sin 1 1 0 0 sin 2 2 sin 2 2 2 其中 1 sin 1 sin 2 0 sin 2 0 sin 3 10 人造卫星上的宇航员声称 他恰好能分辨离他 100km 地 面上的两个点光源 设光波波长为 550nm 宇航员眼瞳直径为 4mm 这两个点光源的距离是多大 解 由夫琅禾费圆孔衍射 1 22 所以 1 22 1 22 550 10 9 100 103 4 10 3 16 775 3 11 在一些大型的天文望远镜中 把通光圆孔做成环孔 若 环孔外径和内径分别为 a 和 a 2 问环孔的分辨本领比半径为 a 的圆孔的分辨本领提高了多少 解 由 sin 3 144 环孔衍射图 样第一个零点的角半径为 3 144 2 0 51 按照瑞利判据 天文望远镜的最小分辨角就是 0 51 与中心部分没有遮挡的圆孔情形 0 61 相比较 分辨本领提高了 即 0 61 0 51 0 61 0 51 2 17 9 3 12 若望远镜能分辨角距离为3 10 7rad 的两颗星 它的物 镜的最小直径是多少 为了充分利用望远镜的分辨本领 望 远镜应有多大的放大率 解 光的波长 550nm 则由公式 1 22 最小直径 1 22 1 22 550 10 9 3 10 7 2 24 因为人眼的最小分辨角为2 9 10 4rad 所以放大率 2 9 10 4 3 10 7 970 3 13 若要使照相机感光胶片能分辨 2 的线距 求 1 感 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线 2 照相机镜头的 相对孔径 至少有多大 设光波波长为 550nm 解 直线数 1 1 2 10 3 1 500 1 为线距 即为能分辨的最靠近的两直线在感光 胶片上得距离 由 1 1 22 所以相对孔径 1 22 500 1 22 550 10 6 0 34 3 16 计算光栅常数是缝宽 5 倍的光栅的第 0 1 级亮纹的相对 强度 解 由题意 得 5 第零级强度 0 2 0 第 0 1 级亮纹相对强度分别为 0 2 0 sin 2 1 1 2 0 sin 5 5 2 0 875 3 14 一块光学玻璃对谱线 435 8nm 和 546 1nm 的折射率分别 为 1 6525 和 1 6245 试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分 辨钠 D 双线时底边的长度 钠 D 双线的波长分别为 589 0nm 和 589 6nm 解 由公式 式中 为棱镜分辨本领 为 棱镜底边长度 为相对于波长 的棱镜的折射率 为 相对于波长 的棱镜的折射率 为色散率 又同一种物质色散率不变 则 1 1 1 6525 1 6245 546 1 435 8 10 9 2 54 105 589 6 589 0 2 589 3nm 因为 2 589 3 589 6 589 0 982 1 所以用这种玻 璃制造的棱镜刚好能分辨钠 D 双线时底边的长度 2 2 982 1 2 54 105 3 87 10 3 3 87mm 3 15 在双缝夫琅禾费衍射试验中 所用光波波长 632 8nm 透镜焦距 50cm 观察到两相邻亮条纹之间的距离 1 5mm 并且第 4 级亮纹缺级 试求 1 双缝的缝距和缝宽 2 第 1 2 3 级亮纹的相对强度 解 多缝衍射的亮线条件是 sin 对上式两边取微分 得到 cos 当 1 时 就是相邻亮线之间的角距离 并 且一般 很小 cos 1 故 两相邻亮 线距离为 所以 缝距 500 632 8 10 61 5 mm 0 21mm 因为第 4 级亮纹缺级 所以缝宽为 4 0 21 4mm 0 05mm 第 1 2 3 级亮线分别相应于 sin 2 3 由于 4 所以当 sin 2 3 时 分别有 sin 4 2 4 3 4 因此 由 多缝衍射各级亮线的强度公式 2 0 sin 2 第 1 2 3 级亮线的相对强度为 1 2 0 sin 2 sin sin sin sin 4 4 2 0 811 2 2 0 sin 2 2 2 0 405 3 2 0 sin3 4 3 4 2 0 090 3 17 一块宽度为 5cm 的光栅 在 2 级光谱中可分辨 500nm 附 近的波长差 0 01nm 的两条谱线 试求这一光栅的栅距和 500nm 的 2 级谱线处的角色散 解 由 L 为光栅宽度 所以 2 5 10 500 0 01mm 2 10 3mm 角色散 cos cos arcsin 2 一般 角很小 cos 1 2 0 002 cos sin 2 500 2000 866 03 rad mm 3 18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波 长为 632 8nm 的一束氦氖激光的膜结构 两个模之间的频率 差为 450MHz 光栅需要有多宽 解 2 2 又光栅的色分辨本领 1200 所以光栅的宽度 1200 3 1011 632 8 10 6 1 1200 450 109 878mm 3 19 用复色光垂直照射在平面透射光栅上 在30 的衍射方向 上能观察到 600nm 的第二级主极大 并能在该处分辨 0 005nm 的两条谱线 但却观察不到 600nm 的第三级主 极大 求 1 光栅常数 每一缝宽 2 光栅的总宽 至 少不得低于多少 解 sin 所以 sin 2 600 10 6 sin30 mm 2 4 10 3mm 2 4 10 3 3 mm 8 10 4mm 又 sin 所以 2sin 600 0 005 2 4 10 3 2 1 2 mm 288mm 3 20 一束波长 600nm 的平行光 垂直射到一平面透射光 栅上 在与光栅法线成45 的方向观察到该光的第二级光谱 求此光栅的光栅常数 解 由 sin 得光栅常数 sin 2 600 10 6 sin45 mm 1 7 10 3mm 3 21 一块每毫米 500 条缝的光栅 用钠黄光正入射 观察衍 射光谱 钠黄光包含两条谱线 其波长分别为 589 6nm 和 589 0nm 求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度 解 光栅公式 sin 1 500mm 2 10 3mm 所以 1 arcsin 1 arcsin 2 589 6 10 6 2 10 3 36 1286 同理 2 36 0861 所以第二级光谱中这两条谱 线互相分离的角度 1 2 0 0425 2 33 3 22 一光栅宽 50mm 缝宽为 0 001mm 不透光部分宽为 0 002mm 用波长为 550nm 的光垂直照明 试求 1 光栅常 数 d 2 能看到几级条纹 有没有缺级 解 0 001 0 002 0 003mm 0 003 0 001 3 所以第 3级亮纹为缺级 又由 sin90 解得 5 45 所以 5 45 2 11 又缺 3级 所以能看到 9 级 条纹 3 23 按以下要求设计一块光栅 使波长 600nm 的第二级谱 线的衍射角小于30 并能分辨其 0 02nm 的波长差 色散 尽可能大 第三级谱线缺级 则该光栅的缝数 光栅常数 缝宽和总宽度分别是多少 用这块光栅总共能看到 600nm 的 几条谱线 解 为使波长600nm的二级谱线的衍射角 30 必须满足 sin 2 600 10 6 sin30 2 4 10 3mm 根据要求 尽可能小 则 2 4 10 3mm 根据要求 光栅缝宽 3 0 8 10 3mm 再由条件 光栅缝数 至少有 600 2 0 02 15000 所以光栅的总宽度 至少为 15000 2 4 10 3mm 36mm 光栅形成的谱线在 90 范围内 当 90 时 有 sin 2 4 10 3 6 10 4 4 即第4 级谱线 对应于衍射角 90 实际上不可能看见 此外第 3 级缺级 所以只能看见0 1 2 级共5 条谱线 3 24 一块闪耀光栅宽 260mm 每毫米有 300 个刻槽 闪耀角 为77 12 求光束垂直于槽面入射时 对于波长 500nm 的光的分辨本领 光栅的自由光谱范围有多大 解 光栅栅距为 1 300mm 已知光栅宽 260 mm 因此光栅槽数 260 300 7 8 104 由2 sin 光栅对 500 nm 的闪耀级数为 2 sin 2 1 300 77 12 500 10 6 13 所以分辨本领 13 7 8 104 106 光栅的自由光 谱范围为 500 13 nm 38 5nm 第四章 光的偏振和偏振器件 4 2 一束部分偏振光由光强比为2 8 的线偏振光和自然光组 成 求这束部分偏振光的偏振度 解 设偏振光光强为 1 2 自然光光强为 2 8 其中 1 1 2 所以偏振度 1 2 1 2 2 2 8 0 2 4 3 线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体 上 若光矢量的方向与晶体主截面成60 角 问 o 光和 e 光从 晶体透射出来的强度比时多少 解 260 3 1 4 4 线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片 上 光的振动面和波片的主截面成30 和60 角 求 透射 出来的寻常光和非常光的相对强度各为多少 用钠光入射 时如要产生90 的位相差 波片的厚度应为多少 589 0nm 1 486 1 658 解 230 1 3 由 90 2 所以 4 589 0 10 9 4 1 658 1 486 8 56 10 7m 4 7 有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的 要把它切成 一块黄光的1 4 波片 问这块石英片应切成多厚 石英的 1 552 1 543 波长为 589 3nm 解 由 1 4 所以厚度 1 4 0 1 4 589 3 1 552 1 543 nm 1 637 104nm 1 64 10 3cm 4 5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光 通过一块1 4波 片和一块旋转的检偏镜 已知得到的最大光强是最小光强的 7 倍 求自然光强占部分偏振光强的百分比 解 设自然光和圆偏振光的光强分别为 1和 2 则 部分偏振光的光强为 1 2 圆偏振光经过 4 波片后成为线偏振光 光强仍为 2 当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向 一致时 从检偏器出射的光强最大 其值为 2 当 其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零 自然 光通过 4 波片后还是自然光 通过检偏器后光强 为1 2 1 因此 透过旋转的检偏器出射的最大光强和 最小光强分别为 1 2 1 2 1 2 1 又题 给 7 因此 2 3 1 所以 自然光强占 部分偏振光强的百分比为 1 1 1 3 1 25 4 6 在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏振片 1 和 3 之间 有一个共轴平行放置的理想偏振片 2 以云角速度 绕光的传播方向旋转 设 0 时 3 偏振化方向与 1 平行 若入射到该系统的平行自然光强为 0 则该系统的透射光强 为多少 解 通过第一块 第二块和第三块偏振片后 光强 分别为 1 0 2 2 1cos2 3 2cos2 2 由于 0 时 3 偏振化方向与 1 平行 因此 所以透射光强为 3 0 2 cos2 cos2 2 0 16 1 cos4 可见 最大光强为 0 8 最小光强 为 0 出射光强的变化频率为4 4 11 为了决定一束圆偏振光的旋转方向 可将1 4 波片置于 检偏器之前 再将后者转到消光位置 这时发现1 4 波片快轴 的方位是这样的 它须沿着逆时针方向转45 才能与检偏器的 透光轴重合 问该圆偏振光是右旋的还是左旋的 解 是右旋圆偏振光 因为在以 4 波片快轴为 轴 的直角坐标系中 偏振片位于 象限时消光 说明圆偏振光经 4 波片后 成为位于 象限 的线偏振光 此线偏振光由 方向振动相对 方向振 动有2 位相差的两线偏振光合成 而 4 波片使 光 和 光的位相差增加 2 成为2 所以 进入 4 波 片前 方向振动相对 方向振动就已有3 2 位相差 所 以是右旋圆偏振光 4 9 下列两波及其合成波是否为单色波 偏振态如何 计算 两波及其合成波光强的相对大小 波 1 sin 2 cos 2 和 波 2 cos cos 其中 和 均 为时间 t 的无规变化函数 且 常数 解 波 1 是单色波 且 sin cos 而 cos 显然 等相面和等幅面重合 所以是均匀波 又因 为位相差 3 2 且 和 方向振动的振 幅相等 所以是右旋圆偏振光 对于波 2 因为 常数 为自然光 而 相速 只与空间部分有关 虽然 常数 但等相面和等幅面仍然重合 故为均匀波 波 1 和波 2 是不相干波 因此由上述结果得合成波 是非单色光 是部分偏振光 是均匀波 光强度 波 1 1 2 2 2 2 波 2 2 2 2 2 2 合成波 3 1 2 4 2 因此 三个 波的光强的相对大小为 1 2 3 1 1 2 4 12 一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英1 4 波片 波片 光轴平行于 x 轴 试求透射光的偏振态 如果换成1 8 波片 透射光的偏振态又如何 解 右旋圆偏振光可视为光矢量沿y轴的线偏振光 和与之位相差为 2 的光矢量沿x轴的线偏振光的 叠加 右旋圆偏振光入射1 4 波片并从1 4 波片出 射时 光矢量沿y轴的线偏振光 o 光 对光矢量沿 x轴的线偏振光 e 光 的位相差应为 2 2 故透射光为线偏振光 光矢量方向与x轴成 45 右旋圆偏振光入射1 8 波片并从1 8 波片出射时 光矢量沿x轴的线偏振光 o 光 对光矢量沿 轴的 线偏振光 e 光 的位相差应为 2 4 3 4 透 射光为右旋椭圆偏振光 4 10 一束线偏振的钠黄光 584 3nm 垂直通过一块厚度 为8 0859 10 2mm 的石英晶片 晶片折射率为 1 54424 1 55335 光轴沿 y 轴方向 试对于以下三 种情况 决定出射光的偏振态 入射线偏振光的振动方向与 x 轴成45 角 入射线偏振光的振动方向与 x 轴成 45 角 入射线偏振光的振动方向与 x 轴成30 角 解 入射线偏振光在波片内产生的 光和 光出射波 片是得位相延迟角为 2 2 1 55335 1 54424 8 0859 10 2 589 3 10 6 2 5 45 时 设入射光振幅为 则 光和 光的 振幅为 cos45 2 2 sin45 2 2 其中 为入射光的振幅 因此 在波片后 表面 光和 光的合成为 2 2 cos 2 5 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 因此 是 左旋圆偏振光 当 45 时 则 光和 光的振幅为 cos 45 2 2 sin 45 2 2 在波片后表面 光和 光的合成为 2 2 cos 2 cos 因此 是 右旋圆偏振光 当 30 时 则 光和 光的振幅为 cos30 3 2 sin30 1 2 在波片后表面 光和 光的合成为 3 2 cos 2 1 2 cos 因此 是左旋 椭圆偏振光 椭圆长轴沿 轴 4 16 一块厚度为 0 05mm 的方解石波片放在两个正交的线偏 振器中间 波片的光轴方向与两线偏振器的夹角为45 问在 可见光 390 780nm 范围内 哪些波长的光不能通过这一 系统 解 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 2 0 sin22 cos2 2 1 2 0 cos2 2 两相干线偏振光 的位相差是 2 又 当 2 1 0 1 2 时 干涉相消 对应波长的光不能透过这一系统 因此 不能透过 这一系统的光波波长为 1 658 1 486 0 05 106 8600 nm 所以下列波长的光不能透过这一系统 11 782nm 12 717nm 13 662nm 14 614nm 15 573nm 16 538nm 17 506nm 18 478nm 19 453nm 20 430nm 21 410nm 22 391nm 4 14 试用矩阵方法证明 右 左 旋圆偏振光经过半波片后 变成左 右 旋圆偏振光 解 右 左旋圆偏振光的琼斯矢量分别为 右 1 左 1 半波片的琼斯矩阵为 1 0 0 1 因此右旋偏振 光经过半波片后透射光的琼斯矢量为 右 1 0 0 1 1 1 左 得证 4 15 将一块1 8 波片插入两个前后放置的尼科尔棱镜中间 波片的光轴与前后尼科尔棱镜主截面的夹角分别为 30 和 40 问光强为 0 的自然光通过这一系统后的强度是多少 略去系统的吸收和反射损失 解 如图所示 光强