3.6极限习题课.doc

数学分析上册教案 第三章 函数极限 第三章 习题课要求掌握的内容：1、正确理解、熟练运用定义去证明极限；2、掌握函数极限的性质（与数列极限的性质类似）；3、极限存在的准则：a）两边夹定理；b）海涅定理（归结原则）要比较熟练地运用；c）Cauchy收敛准则（要知道）；4、两个重要极限（熟练运用）；5、无穷小与无穷大（定义）,重点是阶的比较、应用.应注意的问题：一、怎样正确求得合适的用定义证明数列极限时,往往是先假设大于某固定值,然后通过估计求得合适的.类似的,用定义证明函数极限时,也可先对作适当限制,以求得合适的.一般假设在的某领域,的取值视具体问题而定.例 用定义证明 .证明 先消去分子分母中可能存在的零化因子,. 将表示成如下形式：,. 选取合适的使时有本题中,分母中有两个零点、,故应使与分母的两个零点相离,以便求得的上界.故我们不妨设,即设,因而有；,所以,于是.（也可以这样：） 求得.（最后使,得,故应取）.对本题即有：,取,则当时,因此,注 (1)如能直接方便解出合适的,或可直接估计,则不必设的取值范围；(2) 对单侧极限可相应限制在的某单侧领域；(3) 对于或,只需须假设或.二、常见函数极限的求法 利用定义； 利用运算法则（包括复合函数求极限的准则）； 约简分式或分子分母有理化； 借助无穷小量的性质（特别注意：无穷小量与无穷大量的倒数关系,无穷小量乘有界量为无穷小量）； 无穷小量替换； 利用函数极限存在准则； 利用两个重要极限在实际求极限过程中,往往是几种方法并用,当然以后还会有新的方法（如洛必达法则等）.在利用上述方法求极限时应注意必须满足的条件. 例如,判断下列运算是否正确？ 之错在于分母极限不能为,应由（无穷大量与无穷小量的关系）.又如,在复合函数求极限法则中有一种条件要注意,即,当时但.我们平时碰到的大量函数忽略了此条件不一定出问题,但对有些情况是要出问题的.例如,虽有,但为函数,处处无极限.例 1、.解 原式. 或作变换得 原式（后一方法不易出错）2、3、（无穷小乘以有界两等于无穷小）.4、.（利用）.5、（作为课后练习） 6、（）解 原式= 或解2：令,代入通分即可得到.7、解 故原式.8、.解一 ,为有界量（）.解二 时, 时,9、（）解一 解二 时,; 时,.10、,求常数和.解一 令,则,故即 而得,代入得 两边令得解二 因,而原式右边为,故.如,则分子的次数（）比分母高,当时分式应；故再由知.于是上式右边成为以除分子分母,上式极限为,但已知极限为故.11、设存在,求常数.解 ,.故当且仅当即时上述极限存在.（2000年数学一考研题有一类似题目）12、已知 ,求常数.解 .13、叙述“”的定理（归结原则）,并证明之.解 在某上有定义,则,有证：“” ,则,当时.设,对上述,当时,从而即.“”如对任一趋于的数列,下证.反证：设,则,但取,使；取,使；取,使；.但,因此与假设矛盾. 14、证明：若为周期函数,且,则证明 设为的一个周期.假设不恒等于零 则使得,从而（）又因为而,由海涅定理,必有但,矛盾.15、设函数在上满足方程,且.证明：,.证 设使,则由已知的函数方程推得,但,有海涅定理对有,而与矛盾.（也可：对,当时.取足够大的可使,此时应有矛盾）. 思考题 设为定义在上的函数,且在每一有限区间内有界,满足,证明：.（提示：先证的情形,再利用辅助函数证明一般情形）