详解竞赛中数字问题(5).doc

1 详解竞赛中数字问题 5 特级教师 吴迺华 1 从 1 2 3 4 2014 2015 这 2015 个自然数中 最多可以取多少个数 能使这些 数中任意两个数的差都不等于 8 解 1 到 8 17 到 24 33 到 40 每组内任意两个数的差都小于 8 组间任意两个数 的差大于 8 根据这一规律 我们可以把 1 2015 这 2015 个自然数 每 16 个数分为一组 每组都取前 8 个数 这样就能满足任意两个数的差都不等于 8 的要求了 2015 16 125 余 15 在这 125 数中 每组都取前 8 个 在剩余的 15 个数中也取前 8 个 125 8 8 1008 所以 最多可以取 1008 个数 能使这些数中任意两个数的差都不等于 8 2 A B C 三人在黑板上进行口算比赛 A 只写数字 2 B 只写数字 3 C 只写数字 5 当黑板上所写的 12 个数字之和为 43 时 黑板上最多出现几个 2 解 设黑板上写了 x 个 2 写了 y 个 3 写了 z 个 5 解得 x 5 12 2x35 43 xyz yz 所以 黑板上最多出现 5 个 2 3 A B C 三张卡片写着 3 个不同的自然数 其中 A B C 1 甲 乙 丙三人各取一 张 各自记下卡上的数字 然后放回卡片 这样取了几次后 甲 乙 丙各自取得数字的累计 和分别是 23 15 13 已知乙最后一次取的是 A 丙取的最大数是多少 解 三个人所取的卡片累计的总和是 23 15 13 51 2 而 51 只可以分解成 51 3 17 推知 甲 乙 丙三人各取了 3 次 且 A B C 17 已知 A B C 1 乙最后一次取的是 A 而三次加起来的和是 15 那么 他取的就是 A 2 C 15 易知 A 15 2C 丙取三次的累计数是 13 他就只能是 C 2 B 13 知 B 13 C 2 根据 A B C 17 得方程 15 2C 13 C 2 C 17 解得 C 3 A 15 2 3 9 B 13 3 2 5 丙取的最大数是 5 4 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字中 选出九个数字 组成一个两位数 一个三位数和一个四位数 使这三个数的和等于 2010 那么其中未被选中的数字是几 解 根据弃九法 所有加数的各位数字总和 与求得总和的各位数字之和 应该差 9 的整 数倍 由于 2010 的各位数字之和为 3 而 0 1 2 9 45 45 是 9 的倍数 3 还要加上 6 才是 9 的倍数 所以应该从中去掉 6 组成一个两位数 一个三位数和一个四位数可以为 40 378 1592 2010 5 在下面的括号里填上尽可能小的自然数 使等式成立 19981998 89918991 解 因为 19981998 111 2 9 10001 89918991 111 9 9 10001 所以 9 19981998 89918991 2 6 有一个多位数 这个数除以 13 的余数是几 20159 199998 5555555 个 3 解 观察被除数 1 和 8 中间 9 的个数除以 13 的余数变化规律 是 1 个 9 的余数 198 13 15 3 是 2 个 9 的余数 1998 13 153 9 是 3 个 9 的余数 19998 13 1538 4 是 4 个 9 的余数 199998 13 15384 6 是 5 个 9 的余数 1999998 13 153846 0 是 6 个 9 的余数 19999998 13 1538461 5 是 7 个 9 的余数 199999998 13 15384615 3 是 8 个 9 的余数 1999999998 13 153846153 9 其余数的规律是按以下 6 个数依次循环 3 9 4 6 0 5 而 2015 6 335 5 可知 这个数除以 13 的余数是 0 7 王老师在黑板上写了若干个连续自然数 l 2 3 然后擦去其中三个数 其中有两 个质数 如果剩下的数的平均数是 19 那么 王老师在黑板上共写了多少个数 擦去的两 8 9 个质数的和最大是几 解 因在连续自然数中 平均数约等于中位数 由剩下的数的平均数是 19 即得最大的 8 9 数约为 20 2 40 个 又知分母是 9 所以剩下的数的个数必含因数 9 则推得剩余 36 个数 原写下了 36 3 39 个数 剩余 36 个数的和为 19 36 716 8 9 39 个数的总和 1 39 39 2 780 因此 擦去的三个数的和为 780 716 64 由题意知 擦去的三个数中有两个质数 合数最小是 4 那么两个质数和最大是 60 29 31 23 37 所以 擦去的两个质数的和最大是 60 4 8 如果一个自然数的各位上的数字之积 是它各位上的数字之和的倍数 这样的数就叫做 奇特数 如 448 就是 4 4 8 4 4 8 8 在两位数中 这样的数共有多少个 解 因为一个自然数的各位上的数字之积 能被这个自然数各位上的数字之和整除 所以 这样的两位数 个位上的数字与十位上的数字 一般多为一个数字是另一个数字的 1 倍或者 2 倍双数 按照这个特征 在两位数中共有 22 36 44 63 66 88 六个 9 如果两个三位数之和等于 321 就说这两个数组成一个数对 那么 这样的数对有多少 个 解 根据题意 由于 321 100 221 知这两个加数中 最小的是 100 最大的是 221 所以 这样的数对有 221 100 1 2 61 个 10 在 1000 到 2000 之间 所有个位数字是 3 的自然数的和是多少 解 个位是 3 的最小数是 1003 最大数是 1993 共有 1993 1003 10 1 100 个 它们的和是 1003 1993 100 2 149800 11 如果一个自然数的各位数字之积 加上各位数字之和等于这个自然数 就称这样的数 为 恰好数 例如 99 9 9 9 9 99 请写出 100 以内的 恰好数 的和 解 设十位上的数字是 a 个位上的数字是 b 则此两位数为 10a b 根据题意 a b a b 10a b 化简得 a b 9a 可知 b 9 即两位数的个位为 9 而十位上可以为 1 9 中的任意数字 这样的两位数的和是 19 29 39 49 59 69 79 89 99 531 12 12 22 32 24 20142 20152它们的和除以 4 的余数是多少 5 解 在这个数列中 凡是偶数的平方除以 4 的余数都是 0 所以我们可以放下数列中的偶数项不管 只用计算奇数项的余数 这个数列中的奇数平方除以 4 的余数都是 1 而 1 1 1 1 4 余数为 0 即四个奇数平方的和除以 4 的余数也是 0 根据这个规 律 先找出数列中奇数平方的个数 2015 1 2 1008 个 1008 个数 4 个分组 1008 4 的余数是 0 所以 这个数列的和除以 4 的余数是 0 13 有两组数 甲组 9 个数的和是 63 乙组的平均数是 11 已知两个组所有数的平均数是 8 那么乙组中有几个数 解 设乙组有 x 个数 乙组的总数为 11x 根据平均数的 总数 平均数 总份数