蝴蝶定理的八种证明及三种推广.doc

蝴蝶定理的证明 定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则 ，于是。证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而 由、知，故。证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven给出）如图5，并令由，即化简得 即 ，从而 。证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。5证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。- 5 -二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;记 PM E, QM F,PMC, QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2S3S4S1= 1知M PM Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+)MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )=DQM P2EPMQ2 = 1,即 QFQDM P2= PCPEMQ2. 又由割线定理知PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM.3（二）猜想 2在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2已知直线 AB与 O相离. OM AB, M 为垂足. 过 M作 O任意两条割线 MC, M E分别交 O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F作 FKAB, 交直线 OM于 N,交 O于 K .连结 M K交 O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .又由割线定理知M EM F = MGM K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 从而利用