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第第 8 模块模块 第第 5 节节 知能演练 一 选择题 1 已知定点 A 1 1 和直线 l x y 2 0 那么到定点 A 的距离和到定直线 l 距离相等 的点的轨迹为 A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 直线 解析 由于点 A 在直线 x y 2 0 上 因此选 D 答案 D 2 已知两定点 A 2 0 B 1 0 如果动点 P 满足 PA 2 PB 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 A B 4 C 8 D 9 解析 设 P x y 由 PA 2 PB 得 x 2 2 y2 2 x 1 2 y2 整理得 x2 4x y2 0 即 x 2 2 y2 4 故点 P 的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 故 S 4 答案 B 3 已知椭圆的焦点是 F1 F2 P 是椭圆上的一个动点 如果 M 是线段 F1P 的中点 则 动点 M 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 解析 如右图 由题知 PF1 PF2 2a 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b 1 其中 a b 0 连结 MO 由三角形的中位线可得 F1M MO a a F1O 则 M 轨迹为以 F1 O 为焦点的椭圆 故选 B 答案 B 4 平面直角坐标系中 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足OC 1OA 2OB O 为 原点 其中 1 2 R 且 1 2 1 则点 C 的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 圆 D 双曲线 解析 设 C x y 由已知得 x y 1 3 1 2 1 3 x 3 1 2 y 1 3 2 又 1 2 1 消去 1 2得 x 2y 5 答案 A 二 填空题 5 平面上有三个点 A 2 y B 0 y 2 C x y 若AB BC 则动点 C 的轨迹方程 是 解析 AB 0 y 2 2 y 2 y 2 BC x y 0 y 2 x y 2 AB BC AB BC 0 2 y 2 x y 2 0 即 y2 8x 动点 C 的轨迹方程为 y2 8x 答案 y2 8x 6 ABC 中 A 为动点 B C 为定点 B a 2 0 C a 2 0 且满足条件 sinC sinB 1 2sinA 则动点 A 的轨迹方程是 解析 由正弦定理 AB 2R AC 2R 1 2 BC 2R AB AC 1 2 BC 且为双曲线右支 答案 16x 2 a2 16y 2 3a2 1 x 0 且 y 0 三 解答题 7 已知直角坐标平面上一点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长等于圆 C 的半径与 MQ 的和 求动点 M 的轨迹方程 解 设 MN 切圆 C 于 N 又圆的半径为 CN 1 因为 CM 2 MN 2 CN 2 MN 2 1 所以 MN CM 2 1 由已知 MN MQ 1 设 M x y 则 x2 y2 1 x 2 2 y2 1 两边平方得 2x 3 x 2 2 y2 即 3x2 y2 8x 5 0 x 3 2 8 已知椭圆x 2 2 y2 9 1 上任意一点 P 由 P 向 x 轴作垂线段 PQ 垂足为 Q 点 M 在线 段 PQ 上 且PM 2MQ 点 M 的轨迹为曲线 E 1 求曲线 E 的方程 2 若过定点 F 0 2 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G H 点 G 在点 F H 之间 且满 足FH 2FG 求直线 l 的方程 解 1 设 M x y P x0 y0 PM 2MQ x0 x y0 3y 将其代入椭圆方程得x 2 0 2 y20 9 1 得曲线 E 的方程为 x 2 2 y 2 1 2 设 G x1 y1 H x2 y2 FH 2FG x2 2x1 依题意 当直线 l 斜率不存在时 G 0 1 H 0 1 不满足FH 2FG 故设直线 l y kx 2 代入曲线 E 的方程并整理得 1 2k2 x2 8kx 6 0 x1 x2 8k 1 2k2 x1 x2 6 1 2k2 联立 解得 k 3 30 10 所以直线 l 的方程为 y 3 30 10 x 2 高考 模拟 预测 1 2006 湖北高考 设过点 P x y 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A B 两点 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称 O 为坐标原点 若BP 2PA 且OQ AB 1 则 P 点的 轨迹方程是 A 3x2 3 2y 2 1 x 0 y 0 B 3x2 3 2y 2 1 x 0 y 0 C 3 2x 2 3y2 1 x 0 y 0 D 3 2x 2 3y2 1 x 0 y 0 解析 设 P x y 则有 A 3 2x 0 B 0 3y Q x y OQ AB x y 3 2x 3y 3 2x 2 3y2 1 故选 D 答案 D 2 2006 江苏高考 已知两点 M 2 0 N 2 0 点 P 为坐标平面内的动点 满足 MN MP MN NP 0 则动点 P x y 的轨迹方程为 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 解析 设 P x y 由题意MN 4 0 MP x 2 y NP x 2 y MN 4 MP x 2 2 y2 所以有 MN MP MN NP 4 x 2 2 y2 4 x 2 0 即 y2 8x 故 选 B 答案 B 3 2008 北京高考 若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点 2 0 的距离小 1 则点 P 的轨 迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 依题意知 点 P 到直线 x 2 的距离等于它到点 2 0 的距离 故点 P 的轨迹是 抛物线 选 D 答案 D 4 2008 浙江高考 如右图 AB 是平面 的斜线段 A 为斜足 若点 P 在平面 内运动 使得 ABP 的面积为定值 则动点 P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 解析 由题意得 P 到线段 AB 的距离为定值 可构造一立体图形 即设线段 AB 为一 圆柱上下底面中心连线上的一条线段 过点 A 有一个平面斜截圆柱得一个椭圆 椭圆上的 点即为 P 点 点 P 到线段 AB 的距离为这个圆柱的底面半径 答案 B 5 2009 湖南高考 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 到点 F 3 0 的距离的 4 倍与它到直 线 x 2 的距离的 3 倍之和记为 d 当点 P 运动时 d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 求点 P 的轨迹 C 解 设点 P 的坐标为 x y 则 d 4 x 3 2 y2 3 x 2 由题设 d 18 x 即 4 x 3 2 y2 3 x 2 18 x 当 x 2 时 由 得 x 3 2 y2 6 1 2x 化简得x 2 36 y2 27 1 当 x 2 时 由 得 x 3 2 y2 3 x 化简得 y2 12x 故点 P 的轨迹 C 是由椭圆 C1 x 2 36 y2 27 1 在直线 x 2 的右侧部分与 抛物线 C2 y2 12x 在直线 x 2 的左侧部分 包括它与直线 x 2 的交点 所组成的曲线 参 见上图 备选精题 6 已知定点 A 2 0 动点 B 是圆 F x 2 2 y2 64 F 为圆心 上一点 线段 AB 的 垂直平分线交 BF 于点 P 1 求动点 P 的轨迹方程 2 直线 y 3x 1 交 P 点的轨迹于 M N 两点 若 P 点的轨迹上存在点 C 使OM ON mOC 求实数 m 的值 解 1 由题意知 PA PB 且 PB PF r 8 PA PF 8 AF P 点轨迹为以 A F 为焦点的椭圆 设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 2a 8 a 4 a2 b2 c2 22 4 b2 12 点 P 的轨迹方程为x 2 16 y2 12 1 2 设 M x1 y1 N x2 y2 C x0 y0 OM ON mOC x1 x2 y1 y2 m x0 y0 x0 x1 x