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第二章 静电场本章主要介绍静电场的部分求解方法。由于静电场的基本方程是矢量方程，直接求解较困难，因此一般都采用引入电势进行求解。本章首先引进静电场的标量势函数电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。1 静电势及其微分方程一、 静电场的标势1静电势的引入因为静电场为无旋场，即，所以可以引入标量函数，引入标量函数后 静电场标势（简称电势）。 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定 取负号是为了与电磁学讨论一致 满足迭加原理l 电势差：空间某点电势无物理意义，只有两点间的电势差才有意义 选空间有限两点QC2C1 为电场力将单位正电荷从P移到Q点所做功负值 电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升 两点电势差与做功的路径无关 等势面：该面上电势处处相等（与等势面垂直，即处处成立）参考点：（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点 P点电势为将单位正电荷从P移到电场力所做的功。（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作为零电势参考点，否则积分将无穷大。l 电荷分布在有限区域时的几种情况的电势（1） 点电荷 （2） 电荷组 （3） 无限大均匀线性介质中点电荷 （Q为自由电荷）Q产生的电势 ， 产生的电势 PO（4） 连续电荷分布所产生的电势 ，选取无穷远处为零电势参考点。在实际问题中，电荷分布与电场是一对矛盾体，相互制约一般无法预先知道。有导体时静电场产生的物理过程：给定作用于导体 自由电子移动 变化为 平衡后为。若导体不带电，在静电场中也会出现感应电荷，但导体上总电量仍然为零。二、静电势的微分方程和边值关系1满足的方程l 泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。l 导出过程： 拉普拉斯方程： （适用于的区域 ）。2边值关系（S为分界面）（ 由12）(1) 两种介质交界面处边值关系 证明：（a） PQ 积分为零，所以 即。（b） （为自由面电荷分布）由 （2）静电平衡条件下导体的性质（3）导体表面上的边值关系由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：三、静电场的能量1能量密度：均匀各向同性线性介质） 总能量： 2. 若已知 总能量为 ，但不代表能量密度。导出过程：，该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场空间中。例题 (教材P5556)2 唯一性定理VS一、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质是各向同性线性均匀介质。设V内所求电势为，它们满足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。数学上称为定解问题：一般边界条件有两类： 边界S上，为已知，若为导体= 常数为已知。 边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。它相当于给定（）。内边界条件由 边值关系给出： 法线方向，在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体上下边界条件为外边界条件。对于V内两介质分界面上。二、唯一性定理1均匀单一介质当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。证明：假定泊松方程有两个解，则有，并且在边界上，即或者 ，令 则, 由格林第一公式 令 则 在S上积分 又 , 由于被积函数（正定）所以积分为零必然要求，常数（1）若给定的是第一类边值关系 ，常数为零，电场唯一确定且电势也是唯一确定的。（2）若给定的是第二类边值关系 ，常数，相差一个常数，电场是唯一的。1. 介质分区均匀（不包含导体）Q1Q2V内已知， 成立，给定区域边界：或，在分界面上：,，则V内场唯一确定（证明见教材P6061）2. 均匀单一介质中有导体（证明见书P60）导体中，要求的是内的场。QSS当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。确定， 或。3导体外有多种均匀介质当，（=常数）已知或当和导体上Q已知，V内场唯一确定。在介质分界面上，或，对于每一个导体上。三、唯一性定理的意义（1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解给定区域中的电场分布指明了方向并提供了保证条件；（2）具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解在区域V内满足泊松方程，在边界上满足给定的边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改或尝试。3 拉普拉斯方程的解分离变量法一、拉普拉斯方程的适用条件1场空间中，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程表示区域内电势所满足的方程。2在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，且所产生的电势为已知，则（1）若所求区域内为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势的 倍；（2）若所求区域为分区均匀介质，不同介质交界面上必有束缚面电荷分布，区域V中电势可表示为两部分的和：，不满足，但使满足，仍可用拉普拉斯方程求解，但边值关系必须用而不能用。二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1 直角坐标系下 令 若考虑到某些边界条件为齐次边界条件（），则均必须与某些正整数有关，其通解为所有可能解求和。一般令 若 与 无关， 特解 若 ，与 无关。 2柱坐标系下 仅讨论 与 无关。令 解： 有两个线性无关解 和 。单值性要求 ，只能取整数，令（正整数）通解：若 ，。3球坐标系下缔合勒让德函数（连带勒让德函数）l 若不依赖于，即具有轴对称性通解 为勒让德函数， l 若与均无关，即具有球对称性，则通解为：三、解题步骤1选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3根据边界条件确定常数（1）远边界条件： 电荷分布在有限区域 。边界条件和边值关系是相对的，导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定，（接地 ，电荷分布无限，一般在均匀场中，（直角坐标或柱坐标系）（2）内部边值关系：介质分界面上 表面无自由电荷分布。例题 （教材 P6469）4 镜象法一、 镜象法的概念和适用条件对直角坐标无对称性，用球坐标具有轴对称，但边界为平面1. 求解泊松方程的难度QQ区域无分布，适用。区域内有自由电荷，适用，但求解很困难。导体球 导体板（导体表示电荷分布是不均匀的）在许多特殊情况下可采用叠原理求解，对于空间存在有限个点电荷的情况，原则上也能够求解。还有一些例子也可采用该方法求解，但求解难度极大（如导体板情况）。许多情况分界面上电荷是非均匀分布的，造成场对称性不够理想。2唯一性定理保证下的尝试解从物理上考虑，在唯一性定理保证下，可以采用试探解的方法。特别是对于有限个自由电荷的情况，导体面上的感应电荷对场的贡献可以等效为一个或几个点电荷对场的贡献。3. 镜象法概念和条件（1）镜象法：用假想点电荷等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。（2）条件：a）所求区域内只能有有限个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点镜象电荷代替）；b）导体边界面形状规则，具有一定对称性；c）给定边界条件。要求：a）做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、大小不能被改变）。泊松方程不能改变，所以假想电荷必须放在所求解区域之外；b）不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置；c）一旦用了假想等效电荷，不必再考虑边界面上的电荷对场的贡献；d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。例题 （教材P7172）5 格林函数法格林函数法是求解数学物理方程的较为普遍的方法。（利用格林公式和已知点电荷在给定条件下的解求解给定边界条件的空间电势。）本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。设V内电荷分布已知， 给定V边界S上的各点电势第一类边值问题 或给定边界上法向分量第二类边值问题求V内各点电势值。上两节讨论了分离变量法和电象法，只在一定条件下适用。（镜象法实际上是解格林函数的一种方法。）一、 点电荷密度的函数表示1 处于点上的单位点电荷的密度一般2常用公式：二、 格林函数1 点电荷的泊松方程：设电势为，单位点电荷产生的电势 空间区域V上的边界条件或常数2 格林函数对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 （或常数）只对微商。格林函数的对称性 （偶函数）3 （1）无界空间中的格林函数上单位点电荷在无穷空间中激发的电势到的距离 球坐标系下 （偶函数）显然满足点电荷泊松方程。（2）上半空间的格林函数（偶函数）（3）球外空间的格林函数设点电荷Q = 1 坐标为，观察点为 球半径为 （相当于教材P73例题中的a）设假想点电荷在，它的坐标为（它在连线上，题中b对应这里的） （偶函数）三、 用格林函数求解一般的边值问题1 第一类边值问题求解的格林方法（要求掌握这个公式）。（1）V内有电荷分布，给定，求V内。满足（真空情况），相应格林函数问题：V内点上有单位点电荷，边界上，其解为 （2） 二者的联系由格林第二公式给出设满足泊松方程，为V内电势（为讨论方便与互换），为格林函数 ， 只要知道相应问题的和即可得到。2第二类边值问题解的格林函数方法（1）V内有电荷分布 ，S上给定，求V内相应格林函数问题 常数（在S上）（2）只要知道和，即可马上得到例题 （教材 P8283）3格林函数方法求解讨论（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解，镜象法是求解格林函数的有效方法之一。（2）格林函数方法也可用于求解拉普拉斯方程的边值问题。由 第一类边值问题 第二类边值问题5 电多极矩一、电势的多极展开我们知道，真空中给定电荷密度所激发的的电势为在许多物理问题中，电荷只分布在一个小区域内，而需要求电场强度的场点又距离电荷分布区域比较远，即在上式中，远大于区域的线度，这时可以把上式表示为的展开式，由此得出电势的各级近似值。在区域内取一点作为坐标原点，以表示由原点