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光华人 向上的精神 Solow 模型之详细推导模型之详细推导 参考资料 戴维 罗默 高级宏观经济学 龚六堂 经济增长理论 研究生一年级 高级宏观经济学 动态优化 课堂笔记 Solow 模型含四个变量 产出 Y 资本 K 劳动 L 技术进步 A 生产函数的形式为 Y tF K tA t L t 满足 二阶连续可微 F 对变量非减且严格凹 即资本和劳动力的边际生产率都是递减的 F 生产函数是常数规模回报的 即对任意 0 有 FKALF K AL 1 从而可得到欧拉 Euler 方程 F K LF K L F K LKL KL 生产函数满足 Inada 条件 即 00 lim lim lim 0lim 0 KL KL KL KL FK LF K L FK LF K L 通常所讲的 Cobbel Douglas 生产函数满足此条件 Y tA t K tL t 0 1 规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数 11 1 K FF K ALY ALALAL 2 令 K k AL 表示每单位有效劳动的平均资本数量 Y y AL 表示每单位有效劳动的平均产出 那么可将 2 式写为 1 yF kf k 假定储蓄率为 资本折旧为s 人口增长率既定 为 L n L 技术进步率也既 Solow Model 1 光华人 向上的精神 定 设为 A g A 那么 KsYK 即资本的变化由储蓄 减去折旧掉的资本存量 sY 人均资本存量的变化为 2 K K tK t AL k tA t L tL t A t tA t L tA t L t K tK tL tK tA t A t L tA t L t L tA t L t A t 从而有 sY tK t k tk tnk tg A t L t k tsy tngk t 4 方程 4 是 Solow 模型的关键 均衡时人均资本存量不再变化 0k 于是得到 sf k tngk t 作图 k k 实际投资 sf k 持平投资 ngk 图 1 如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需的持平投资 则k上升 反之 如 果每单位有效劳动的平均实际投资小于所需的持平投资 则下降 如果两者相 等 则不变 从图中显然可以看出 不管经济初始位于何处 最终总能达到均 衡 这一点与 Ramsey 模型有显著区别 k k 根据图 1 可研究储蓄率 s 人口增长率 n 技术进步率 g 的变化对均衡人均资本 存量的影响 具体讨论参见罗默书 Solow Model 2 光华人 向上的精神 资本的黄金积累率资本的黄金积累率 这是求一储蓄率 在这一储蓄率下 均衡时居民的人均消费水平达到最大化 这 时的人均资本存量称为黄金律资本存量水平 max s c sf ksf kf kngk 特别要注意的是其中的每个k均是均衡资本存量 显然也为s的函数 k 由一阶条件 c sk fkng ss 故黄金律的资本存量水平k必须满足 fkng 黄金积累率是
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