10 03 随机变量的数字特征.doc

10 03 随机变量的数字特征1、概念网络图第四章一、 数学期望（一）一维随机变量1.离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望（简称期望或均2、连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为，即：=（二）二维随机变量的数学期望对二维随机变量.，定义它的数学期望为1.二维离散型随机变量的数学期望设二维离散型随机变量的联合分布律为：则 =， =2. 二维连续型随机变量的数学期望设二维连续型随机变量的概率密度为，则 =，=（三）随机变量的函数的数学期望1.离散型随机变量的函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，是实值连续函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为.2. 连续型随机变量的函数的数学期望设连续型随机变量的概率密度为，是实值连续函数，且广义积分绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为.（四）数学期望的性质：（1） 设是常数，则有（2） 设是一个随机变量，是常数，则有.（3） 设是两个随机变量，则有.（可推广到维）（4） 设是两个独立的随机变量，则有二、方差1.定义式：D(X)=EX-E(X)2，标准差：离散型：连续型：2.方差常用计算公式.3. 方差的性质（1）设是常数，则有，（2）设是一个随机变量，是常数，则有.（3）设是两个相互独立的随机变量，则有.（可推广到维）一般地，设是任意两个随机变量，则有（4） =0的充分必要条件是一概率1取常数，即，显然，这里常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)三、协方差1.定义1：称为随机变量的协方差记为，即 =2.协方差的常用公式：=（按定义展开即得）3.协方差的性质（1）；（2）=；（3）=为任意常数；（4）=+；（5）如果是相互独立的，则=0。四、相关系数1.定义2：设随机变量的数学期望与方差都存在，称为随机变量的相关系数。2.相关系数的性质：（1）（2）的充分必要条件为，存在常数使得。当，称与不相关；当时，称X与Y完全相关：完全相关五、矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk), k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即， k=1,2, .六、二维正态分布及其边缘分布1.定义：若二维连续随机变量的联合概率密度为：其中都是常数，且，我们称为服从参数为的二维正态分布记为2.说明：参数分别是和的数学期望，参数分别是它们的标准差，参数是它们的相关系数。3. 二维正态分布的边缘概率密度4. 二维正态分布的联合概率密度与边缘概率密度的关系二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量和相互独立的充分必要条件是。即二维正态随机变量，和不相关与和相互独立是等价的。常见题型1、一维随机变量及其函数的数字特征1. 设随机变量X的概率密度为试求：（1）常数c；（2）E（X），D（X）；（3）P|X-E（X）| 0. 试求U，V的相关系数。 7. （01，3分）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上或反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A） -1 （B）0（C）（D）18.今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。9.假设二维随机变量（X，Y）在矩形G=（X,Y）|0x2, 0y1上服从均匀分布，记（1） 求U和V的联合分布；（2）求U和V的相关系数.10.（98，7分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记试求：（1）（X1，X2）的联合分布；（2）（X1，X2）的相关系数。3、独立和不相关11.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？12设随机变量X服从参数为1的指数分布，则。13.（93，6分）设随机变量X的概率密度为（1） 求EX和DX；（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（2） 问X与|X|是否相互独立？为什么？14.如果X与Y满足D（X+y）=D（X-Y），则必有（A）X与Y独立。（B）X与Y不相关。（C）D（Y）=0。（D）D(X)D(Y)=0.15.设A，B是二随机事件，随机变量证明X,Y不相关与A,B独立互为充分且必要条件。4、应用题1