数学物理方程 第六章练习题.pdf

广义解与广义函数解 齐 海 涛 山东大学 威海 数学与统计学院 htqisdu 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 31 55 目录 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 32 55 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 33 55 广义解 Example 1 1 试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 33 55 广义解 Example 1 1 试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 33 55 广义解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 34 55 广义解 Example 1 2 证明波动方程的经典解一定是强解 也一定是弱解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 35 55 广义解 Example 1 2 证明波动方程的经典解一定是强解 也一定是弱解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 35 55 广义解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 36 55 广义解 Example 1 3 证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数 则它必定也是经典解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 37 55 广义解 Example 1 3 证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数 则它必定也是经典解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 37 55 广义解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 38 55 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 39 55 广义函数的概念 Example 2 1 证明 若 x C c Rnx y C c Rmy 则 x y C c Rnx Rmy 且当 x 0 C c Rnx 时 x y 0 C c Rnx Rmy 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 39 55 广义函数的概念 Example 2 1 证明 若 x C c Rnx y C c Rmy 则 x y C c Rnx Rmy 且当 x 0 C c Rnx 时 x y 0 C c Rnx Rmy 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 39 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 310 55 广义函数的概念 Example 2 2 证明在本节例3中引入的 R x 为 C 函数 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 311 55 广义函数的概念 Example 2 2 证明在本节例3中引入的 R x 为 C 函数 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 311 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 312 55 广义函数的概念 Example 2 3 1 证明 C Rn 在 Lp Rn 中稠密 2 证明 C c 在 Lp 中稠密 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 313 55 广义函数的概念 Example 2 3 1 证明 C Rn 在 Lp Rn 中稠密 2 证明 C c 在 Lp 中稠密 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 313 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 314 55 广义函数的概念 Example 2 4 若 P x Q x 为常系数多项式 Q 为将 Q x 中的 xi用 xi 代替后所得 到的偏微分算子 则下列条件等价 1 x S Rn 2 P x Q x S Rn 3 Q P x x S Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 315 55 广义函数的概念 Example 2 4 若 P x Q x 为常系数多项式 Q 为将 Q x 中的 xi用 xi 代替后所得 到的偏微分算子 则下列条件等价 1 x S Rn 2 P x Q x S Rn 3 Q P x x S Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 315 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 316 55 广义函数的概念 Example 2 5 同第4题的记号 试证 时下列命题等价 1 x 0 S Rn 2 对任意给定的 P x Q x P x Q x 0 在 Rn上一致成立 3 对任意给定的 P x Q x Q P x x 0 在 Rn上一致成立 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 317 55 广义函数的概念 Example 2 5 同第4题的记号 试证 时下列命题等价 1 x 0 S Rn 2 对任意给定的 P x Q x P x Q x 0 在 Rn上一致成立 3 对任意给定的 P x Q x Q P x x 0 在 Rn上一致成立 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 317 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 318 55 广义函数的概念 Example 2 6 证明 若 f x Lp Rn 则它是一个 S 广义函数 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 319 55 广义函数的概念 Example 2 6 证明 若 f x Lp Rn 则它是一个 S 广义函数 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 319 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 320 55 广义函数的概念 Example 2 7 判断下列一元函数属于那些广义函数空间 1 sinx 2 x 3 ex 2 4 f x 1 x 1 0 x 1 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 321 55 广义函数的概念 Example 2 7 判断下列一元函数属于那些广义函数空间 1 sinx 2 x 3 ex 2 4 f x 1 x 1 0 x 1 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 321 55 广义函数的概念 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 322 55 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 323 55 广义函数的性质与运算 Example 3 1 将在第一象限中为 1 其外为 0 的二元函数 T 视为广义函数 求 T x T y 及 2T x y 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 323 55 广义函数的性质与运算 Example 3 1 将在第一象限中为 1 其外为 0 的二元函数 T 视为广义函数 求 T x T y 及 2T x y 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 323 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 324 55 广义函数的性质与运算 Example 3 2 证明 若 T 为 D 广义函数 为 D Rn 的乘子 则 j T j T jT 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 325 55 广义函数的性质与运算 Example 3 2 证明 若 T 为 D 广义函数 为 D Rn 的乘子 则 j T j T jT 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 325 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 326 55 广义函数的性质与运算 Example 3 3 设 f x x2 x 1 x x 1 试求 df dx d2f dx2 及 d3f dx3 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 327 55 广义函数的性质与运算 Example 3 3 设 f x x2 x 1 x x 1 试求 df dx d2f dx2 及 d3f dx3 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 327 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 328 55 广义函数的性质与运算 Example 3 4 用 T xk T xk S Rn 来定义 S Rn 上的广义函数的导数 试证 xk 是 S Rn 上的一个线性连 续映射 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 329 55 广义函数的性质与运算 Example 3 4 用 T xk T xk S Rn 来定义 S Rn 上的广义函数的导数 试证 xk 是 S Rn 上的一个线性连 续映射 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 329 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 330 55 广义函数的性质与运算 Example 3 5 若 x C c Rn 证明 x x 0 x 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 331 55 广义函数的性质与运算 Example 3 5 若 x C c Rn 证明 x x 0 x 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 331 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 332 55 广义函数的性质与运算 Example 3 6 若 x 为上节例2中定义的函数 试证 1 若 x C Rn 则 C Rn 2 若 x C c Rn 则 C c Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 333 55 广义函数的性质与运算 Example 3 6 若 x 为上节例2中定义的函数 试证 1 若 x C Rn 则 C Rn 2 若 x C c Rn 则 C c Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 333 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 334 55 广义函数的性质与运算 Example 3 7 设 x 为上节例2中定义的函数 试证当 0 时 x 弱收敛于 x 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 335 55 广义函数的性质与运算 Example 3 7 设 x 为上节例2中定义的函数 试证当 0 时 x 弱收敛于 x 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 335 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 336 55 广义函数的性质与运算 Example 3 8 试证下列函数作为广义函数弱收敛于 x 1 4 t 1 2exp x 2 4t t 0 2 1 2 x2 0 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 337 55 广义函数的性质与运算 Example 3 8 试证下列函数作为广义函数弱收敛于 x 1 4 t 1 2exp x 2 4t t 0 2 1 2 x2 0 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 337 55 广义函数的性质与运算 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 338 55 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 339 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 1 证明 4 11 式 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 339 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 1 证明 4 11 式 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 339 55 广义函数的傅里叶变换 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 340 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 2 证明 4 22 4 23 及 4 24 诸式 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 341 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 2 证明 4 22 4 23 及 4 24 诸式 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 341 55 广义函数的傅里叶变换 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 342 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 3 已知 P x 为多项式 试求 P x 与 P x eax的傅里叶变换 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 343 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 3 已知 P x 为多项式 试求 P x 与 P x eax的傅里叶变换 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 343 55 广义函数的傅里叶变换 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 344 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 4 设 f S Rn 试证下列诸条件等价 1 f L2 Rn m 2 f L2 Rn m 3 P f L2 Rn 对所有次数不超过 m 的多项式 P 成立 4 1 2 m 2f L2 Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 345 55 广义函数的傅里叶变换 Example 4 4 设 f S Rn 试证下列诸条件等价 1 f L2 Rn m 2 f L2 Rn m 3 P f L2 Rn 对所有次数不超过 m 的多项式 P 成立 4 1 2 m 2f L2 Rn 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 345 55 广义函数的傅里叶变换 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 346 55 1广义解 2广义函数的概念 3广义函数的性质与运算 4广义函数的傅里叶变换 5基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 347 55 基本解 Example 5 1 试直接用傅里叶变换导出三维拉普拉斯方程的基本解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 347 55 基本解 Example 5 1 试直接用傅里叶变换导出三维拉普拉斯方程的基本解 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 347 55 基本解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 348 55 基本解 Example 5 2 利用热传导方程的基本解将下述定解问题化为相应的积分方程 ut uxx A x t u b x t u t 0 0 x 解 齐海涛 SDU 数学物理方程2012 10 349 55 基本解 Example 5 2 利用热传导方程的基本解将下述定解问题化为相应的积分方程 ut