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4 2写出一维近自由电子近似 第n个能带 n 1 2 3 中 简约波矢的零级波函数 一维近自由电子近似中 用简约波矢表示的波函数 第n个能带零级波函数 01 38 第一个能带 02 38 第二个能带 第三个能带 03 38 4 3电子在周期场中的势能函数 且a 4b 是常数 1 画出此势能曲线 并计算势能的平均值 2 用近自由电子模型 计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 04 38 05 38 势能的平均值 06 38 势能的平均值 令 07 38 在近自由电子近似模型中 势能函数的第n个傅里叶系数 08 38 第一个带隙宽度 第二个带隙宽度 09 38 补充习题一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理 如果晶格常数为a 电子的波函数为 求电子在这些态中的波矢 10 38 根据布洛赫定理 一维情形布洛赫定理 1 电子的波函数 电子的波矢 11 38 2 电子的波函数 电子的波矢 12 38 3 电子的波函数 电子的波矢 13 38 4 电子的波函数 电子的波矢 14 38 4 4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数 s态原子能级相对应的能带函数 15 38 任选取一个格点为原点 最近邻格点有12个 s原子态波函数具有球对称性 16 38 12个最邻近格点的位置 17 38 类似的表示共有12项 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带 18 38 对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有8个最邻近格点 最近邻格点的位置 19 38 类似的表示共有8项 归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带 20 38 只计入最近邻格点原子的相互作用时 s态原子能级相对应的能带函数表示为 4 7一维单原子链 原子间距a 总长度为L Na1 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2 求出其能带密度函数的表达式3 如每个原子s态中只有一个电子 计算T 0K时的费密能级和处的能态密度 21 38 对于一维情形 任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点 坐标为 a和 a 能带密度函数的计算 22 38 对于一维格子 波矢为具有相同的能量 此外考虑到电子自旋有2种取向 在dk区间的状态数 23 38 能带密度 T 0K的费密能级计算 总的电子数 其中 24 38 T 0K的费密能级 T 0K费密能级处的能态密度 25 38 26 38 半金属的能带1和能带2如图所示 能带1的能态密度 27 38 同理能带2的能态密度 28 38 半金属如果不发生能带重合 电子刚好填满一个能带 由于能带交叠 能带1中的电子填充到能带2中 满足 29 38 30 38 晶体布里渊顶角 a a 处的能隙 在近自由电子近似模型中 势能函数的第n个傅里叶系数 31 38 晶体势场 32 38 布里渊顶角 代入 33 38 布里渊顶角处的能隙 34 38 将改写为 对于给定的能量 该方程在波矢k空间表示的是一个圆 k空间 单位面积内的状态数 35 38 半径的圆内的状态数 能量E到E dE之间的状态数 能态密度 能量电子的数目 绝对零度时的费米能量 36 38 将电子能量