§2.1 LTI连续系统的响应.ppt

第二章连续系统的时域分析 本章主要研究线性时不变 LTI 连续系统的时域分析方法 即对于给定的激励 根据激励和响应之间关系的微分方程求响应的方法 微分方程的经典求解方法关于0 和0 初始值零输入响应和零状态响应 第二章连续系统的时域分析 本章重点 2 1LTI连续系统的响应 一 微分方程的经典解 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 微分方程的经典解 完全解 齐次解 特解 或缩写为 1 齐次解的求法及形式 由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 注意重根情况处理方法 齐次解举例 解 系统的特征方程为 特征根 对应的齐次解为 齐次解举例 解 系统的特征方程为 特征根 对应的齐次解为 2 特解 特解的形式和激励的形式有关 由激励的形式定 激励f t 响应y t 的特解yp t 2 特解的求法 根据微分方程激励信号的形式 将含待定系数的特解函数式 代入原方程 比较系数定出特解 特解举例 如果已知 分别求两种情况下此方程的特解 例 给定微分方程式 解 1 由于f t t2 故特解函数式为 将此式代入方程得到 这里 P2 P1 P0 等式两端各对应幂次的系数应相等 于是有 联解得到 所以 特解为 2 当f t et时 特解为yp t Pet 这里 P是待定系数 代入方程后有 全解举例 例描述某系统的微分方程为y t 5y t 6y t f t 求 1 当f t 2e t t 0 y 0 2 y 0 1时的全解 最后得全解y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 由以上可见 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关 而与激励f t 的函数形式无关 称为系统的固有响应或自由响应 特解的函数形式由激励确定 称为强迫响应 二 关于0 和0 初始值 在用经典法解微分方程时 一般输入f t 是在t 0时接入系统 则确定待定系数Ci时用t 0 时刻的初始值 即y j 0 j 0 1 2 n 1 而y j 0 包含了输入信号的作用 不便于描述系统的历史信息 在t 0 时 激励尚未接入 该时刻的值y j 0 反映了系统的历史情况而与激励无关 称这些值为初始状态或起始值 通常 需要从已知的初始状态y j 0 设法求得y j 0 0 和0 初始值举例1 例1 描述某系统的微分方程为y t 2y t 1y t f t 2f t 已知y 0 1 y 0 1 f t t 求y 0 和y 0 0 和0 初始值举例2 例1 描述某系统的微分方程为y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求y 0 和y 0 三 零输入响应和零状态响应 1 零输入响应 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 x 0 所引起的响应 用yzi t 表示 在零输入条件下 微分方程等号右端为零 化为齐次方程 即 对于零输入响应 由于激励为零 故有yzi j 0 yzi j 0 y j 0 注意 零输入响应的这个性质 零输入响应举例 若描述系统的微分方程和初始状态为 y t 5y t 4y t 2f t 4f t y 0 1 y 0 5 求系统的零输入响应 2 零状态响应 零状态响应是系统的初始态为零时 仅由输入信号f t 所引起的响应 一般考虑t 0时的输入 用yzs t 表示 这时零状态响应满足微分方程 对于零状态响应 在t 0 时刻激励尚未接入 故应有yzs j 0 0yzs j 0 的求法下面举例说明 零状态响应举例 若描述系统的微分方程和初始状态为 y t 5y t 4y t 2f t 4f t f t t 求系统的零状态响应 全响应 如果系统的初始状态不为零 在激励f t 的作用下 LTI系统的响应称为全响应 它是零输入响应与零状态响应之和 即 y t yzi t yzs t 注意 对t 0时接入激励f t 的系统 初始值yzi j 0 yzs j 0 j 0 1 2 n 1 的计算 y j 0 yzi j 0 yzs j 0 y j 0 yzi j 0 yzs j 0 对于零状态响应 在t 0 时激励尚未接入 因此yzs j 0 0因而零输入响应的0 值yzi j 0 yzi j