（理论物理专业论文）含有夸克圈效应胶子传播子的研究.pdf

中文摘要 摘要 d y s o n s c h w i n g e r 方程是研究连续的非微扰量子色动力学( n p q c d 的有 效方法，可用来研究手征对称性的动力学破缺、夸克禁闭及其它强子问题。由于 d s 方程是一组彼此耦合在一起的无穷系列的场关联函数的运动方程，因此在求解 d s 方程的过程中，我们采用r a i n b o w 1 a d d e r 近似来截断d s 方程，然后通过求 解这个有限维的方程组来严格地研究有关物理问题。 在过去一段时间里将r a i n b o w 1 a d d e r 近似的方法应用于求解d s 方程取得了 一系列的成果 2 1 ，2 2 】。我们在利用d s 方程来研究包含夸克圈效应的着衣胶子传 播子时同样是采用r a i n b o w 1 a d d e r 近似的方法。 在d s 方程中我们清楚地知道完全的胶子传播子应该包含夸克圈的效应，但 是在过去的研究工作中常常忽略这样的效应。最近基于整体色对称模型理论， 我们提出了自洽地推导含有夸克圈效应的胶子传播子有效表达形式的有效方 法 2 3 】。这是计算含有夸克圈效应的着衣胶子传播子一种普适性方法，同样可以 用于计算着衣胶子传播子对流夸克质量和化学势的依赖关系。本论文工作的目的 是采用上述表达形式，通过程序算法可以在数值上得到手征极限下含有夸克圈效 应的着衣胶子传播子，然后由已得到的胶子传播子来计算着衣夸克自能函数，并 在这种情况下得到的着衣夸克自能函数的图像与传统计算下( 胶子传播子不含夸 克圈效应) 得到的图像进行对比，从而说明夸克圈插入将明显地影响胶子传播子 的的行为，因此在计算中夸克圈的效应不能够忽略。 关键词：量子色动力学，d y s o n s c h w i n g e r 方程，胶子传播子，夸克圈效应 英文摘要 i i a b s t r a c t d y s o n s c h w i n g e r ( d s ) e q u a t i o n i sa l le f f e c t i v em e t h o dt os t u d yt h en o n p e r - t u r b a t i v eq u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s ( n p q c d ) p h e n o m e n a ：c o l o rc o n f i n e m e n t ， d y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n g ，a n do t h e rh a d r o n i cp r o b l e m s b e c a u s e d se q u a t i o n s ( d s e s ) a r ei n f i n i t et o w e ro fc o u p l e di n t e g r a le q u a t i o n sr e l a t i n gt h e g r e e n 7 sf u n c t i o n s ，t h er a i n b o w l a d d e ra p p r o x i m a t i o ni su s e dt os i m p l i f yt h ee q u a t i o n s t h r o u g hs o l v i n gt h i ss i m p l i f i c a t i o no fd s e s ，w ec a r ls t u d yt h er e l a t e dp h y s i c a lp r o b l e m ss t r i c t l y o v e rt h ep a s tf e w y e a r s ，c o n s i d e r a b l es u c c e s sh a sb e e nm a d ei nt h es o - c a l l e d r a i n b o w - l a d d e ra p p r o x i m a t i o no ft h ed s e s 2 1 ，2 2 t h er a i n b o w - l a d d e r a p p r o x - i m a t i o nw a sa l s oe m p l o y e dt os t u d yd r e s s e dg l u o np r o p a g a t o rc o n t a i n i n gq u a c k l o o pe f f e c ti nd sa p p r o a c h f r o mt h eg l u o nd s e sw ec l e a r l yk n o wt h a tq u a r kl o o p sa r ec o n t a i n e di n t h ed r e s s e d 舀u o np r o p a g a t o r h o w e v e r , i nt h ep r e v i o u ss t u d i e st h i se f f e c ti so f - t e nn e g l e c t e d r e c e n t l y , b a s e do nt h eg l o b a lc o l o rs y m m e t r ym o d e l ( g c m ) ，w e d e v e l o p e dam e t h o df o ro b t a i n i n gt h eq u a r k - l o o pe f f e c t so nt h ed r e s s e dg l u o n p r o p a g a t o ri ng c mt h e o r e t i c a l l y 2 3 i ti sag e n e r a la p p r o a c ht oc a l c u l a t et h e q u a r k l o o pe f f e c t so n t h ed r e s s e dg l u o np r o p a g a t o r t h i sa p p r o a c hc a l la l s ob e u s e dt oc a l c u l a t et h ec u r r e n tq u a r km a s sa n dc h e m i c a l p o t e n t i a ld e p e n d e n c eo f t h ed r e s s e dg l u o n p r o p a g a t o nt h r o u g ht h ea b o v ee x p r e s s i o n s ，t h ed r e s s e dg m o n p r o p a g a t o rc o n t a i n i n gq u a c kl o o pe f f e c ti nt h ec h i r a ll i m i tc a nb eo b t a i n e dn u - m e r i c a l l y , a n dt h ed r e s s e dq u a r ks e l ff u n c t i o nc a nb ec a l c u l a t e do nt h eb a s eo f t h eg l u o np r o p a g a t o ro b t a i n e dp r e v i o u s l y t h ei n f l u e n c e so fq u a c kl o o pe f f e c t o nt h em o t i o n so fg l u o np r o p a g a t o rc a nb ew e l l i l l u s t r a t e d b yc o m p a r i n gt h e 蚝一 u r e so fd r e s s e d q u a r ks e l f e n e r g yh m c t i o nu n d e ro u rc o n d i t i o nw i t ht h ef i g u r e s 英文摘要 i i i o b t a i n e dt h r o u g ht r a d i t i o n a lm e t h o d ( q u a c kl o o pe f f e c tw a sn o ti n v o l v e di nt h e c a l c u l a t i o no fd r e s s e d g l u o np r o p a g a t o r ) a s ar e s u l t , t h eq u a c k l o o pe f f e c tc a n n o t b en e g l e c t e di nt h ec a l c u l a t i o no ft h eg l u o np r o p a g a t o r k e yw o r d s ：q u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s ( q c d ) ，d y s o n - s c h w i n g e re q u a t i o n s ， g l u o np r o p a g a t o r , q u a r k - l o o pe f f e c t 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 鹄 一 一 第一章引言 1 第一章引言 量子色动力学( q c d ) 是描述强相互作用的基本量子场理论。夸克之间的强 相互作用是通过交换8 种电中性无质量而带色的s u ( 3 1 规范粒子( 即胶子) 来传 递的【1 】。在u ( 1 ) 阿贝尔规范理论的量子电动力学( q e d ) 中，带电粒子通过交 换光子发生相互作用，但光子间无直接相互作用。而q c d 是s u ( 3 ) 非阿贝尔规 范理论，在该理论中不仅夸克和胶子之间存在相互作用，而且胶子之间也存在直 接的自作用。 q c d 理论的两个最基本特性就是夸克高能渐进自由和低能颜色禁闭及动力 学手征对称性破缺。在强子内部，当夸克之间的距离很接近时，它们之间的相互 作用会逐渐变弱，对应的夸克越来越自由，这种现象称为渐进自由。实际上，胶 子的自作用是量子色动力学具有渐进自由特性的关键，此特性在理论和实验上 都已研究得比较清楚，为此，首先发现q c d 理论这一特性的美国理论物理学家 戴维格罗斯( d a v i di g r o s s ) 、弗兰克维里茨克( f r a n kw i l c z e k ) 【2 ，3 1 与 哈戴维玻利泽( h d a v i dp o l i t z e r ) 【4 】获得了2 0 0 4 年的诺贝尔物理学奖。当 夸克之间距离变大时，由于颜色禁闭，它们之间的色相互作用变得很强，以至于 夸克只能以至少3 个夸克形成重子( 也就是常见的质子、中子等) 或一个夸克和一 个反夸克形成介子，即无色的强子这种的复合体形式存在，而无法成为自由的夸 克。对处于禁闭尺度的夸克，由于量子色动力学的微扰论失效，目前还无法从动 力学机制上给出其相互作用的规律，只能给出一些唯象的半定量描述。 根据q c d 的渐进自由特性，在高能情况下( 重整化点a 1 5 g e v 时) ， 强作用过程可以借助于量子色动力学的微扰理论( p q c d ) 做耦合常数的微扰展 开，这一方法已经发展得相当成熟【5 】。当能量降到a q 口d 一1 2 g e v 以下时， 耦合常数也随之增大，微扰理论已经不合适再继续采用了，这时候就需要发展完 全不同的方法来处理强耦合量子色动力学。下面简要介绍各种非微扰方法，包 括：格点q c d 、有效场论、q c d 求和规则、d y s o n s c h w i n g e r 方程等的一些结 果和进展。 笫一章弓 占 物理学家威尔逊( k w i l s o n ) 在1 9 7 4 年建立的格点规范理论( l g t ) 成为目 前最重要的处理非微扰效应的方法，他于获得1 9 8 2 年诺贝尔物理奖。该理论是从 量子色动力学第一性原理出发，没有q c d 以外的任意参数和假设。其基本思想 是将连续的时空用离散晶格来代替，夸克定义在点阵上，而规范场定义在连结相 邻点的键上 4 0 】。然而，由于格点规范中格子大小被限制不可能取无限小，因此 在处理连续极限过程中受到限制，必须通过外推的方法将有限的格子推到无限小 的极限。同时，由于格点计算很难处理足够轻费米子质量，缺乏直观的物理图 象，而且该方法计算量大，这些问题都使得格点规范理论在研究q c d 的时候会 受到限制。 有效q c d 场论途径的基本思想是将q c d 作用量中的胶子和夸克自由度 逐步改变成介子重子自由度。但是由于所得到的q c d 有效夸克作用量包含了 两点、三点至所有n 点格林函数，无法用于实际计算，通常要取截断近似：只 保留两点格林函数而丢掉高阶格林函数的贡献。由此近似的等效作用量可导出 各种唯象模型，如整体色对称模型( g c m ) 、夸克介子耦合模型( q m c ) 和 n i l ( n a m b u - j o n a l a s i n i o ) 模型【1 6 】等，都为研究强相互作用的非微扰效应提 供了强有力的工具，同时这些模型和方法都有各自的优缺点。 由s h i f m a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 于2 0 世纪7 0 年代末提出的q c d 求和规 则是另一种非微扰途径【6 ，7 】。q c d 求和规则的基本思想是从渐近自由出发解决 束缚态问题，即从短距离开始，趋向大距离，这时禁闭效应变得重要，渐近自由 开始被破坏，反映夸克与胶子禁闭在强子内部的共振态出现。渐近自由的破坏由 q c d 真空非微扰效应引起的幂次修正表现出来。这些修正是通过夸克与胶子凝聚 算符的真空平均值引入的。q c d 求和规则把强子的可观测量转变成描述q c d 真 空性质的参数，从而使人们能够回答有关强子性质的闯题。它与利用组分夸克表 述的模型相关的处理不同，在q c d 求和规则中，强子用流表示，然后引入这些 流的关联函数，在算符乘积展开( o p e ) 的框架内处理。其中短距离与长距离的 夸克一胶子相互作用是分开处理的：前者用q c d 微扰论计算，后者则由真空凝聚 作为参数来表示。再根据关联函数的解析性质，把算符乘积展开中的q c d 参数 第一章引言 与一个含有强子谱函数的色散积分联系起来，这样就得到一个q c d 参数与强子 物理量的表达式，从而得到求和规则。这种方法得到的求和规则允许人们计算强 子的基态性质。 d y s o n s c h w i n g e r 方程是连续的非微扰量子色动力学( n p q c d ) 的方法， 是一组彼此耦合在一起的无穷系列的场关联函数的运动方程。它将场论中的n 点 格林函数与佗+ 1 点格林函数相联系，因此只要给出d s 方程的解，则有关场论的 结构就全清楚，从而可严格地研究有关物理问题1 3 9 】，例如手征对称性的动力学 破缺、夸克禁闭及其它强子问题。正是由于d s 方法在q c d 研究中有着诸多优 势，近十年来在研究夸克禁闭、手征对称性动力学破缺、强子化过程和强子物质 相结构等领域等到了广泛的应用，并取得了许多与实验结果符合的很好的结论和 有意思的预言 1 3 ，2 0 1 。同样d s 方程也有其自身的缺陷所在，利用这样一组无穷 阶的耦合迭代方程来研究强子物理时，首要的条件是提供可行的截断方案，并保 持尽可能多的规范不变形。如何截断无穷系列的d s 方程组是目前遇到的主要困 难，尽管人们已经做了很大的改进，但是至今都是采取近似的方法而无法严格求 解。关于传播子的自洽、封闭的方程式，对d s 方程途径的发展将会有重要的促 进作用。 在q c d 中最低阶的格林函数是夸克、胶子和鬼场的传播子，他们构成一个 耦合方程，如果有一个好的截断方案，其解是可以得到的。对这样耦合方程的求 解一方面可以研究单一夸克信息，另一方面也能够探索夸克胶子耦合信息。考察 夸克方程可以发现夸克传播子和胶子传播子以及夸克胶子顶点相互耦合到一起， 因此需要输入胶子传播子和夸克胶子顶点函数，目前这样的函数形式都是采取模 型输入的方法 1 3 ，1 4 ，2 1 1 。对于顶点的假设经历了从裸顶点到b c 或者c p 顶点的 过程，裸的夸克胶子顶点是不满足规范不变性要求的，而b c 或者c p 项点是为了 使夸克胶子顶点包含更多的规范不变性信息而提出的模型 1 5 ，1 7 1 。另外为了包含 更多规范不变的信息，人们还尝试用微扰论的结果做非微扰修正。虽然采取模型 化处理夸克胶子信息的方式可以在唯象上给出相应的信息，但是单纯的模型假设 无法包含所有的非微扰信息，需要发展更加完善的方法来进行求解。对于胶子传 第章引言 4 播子的d s 方程的求解中，文献【1 8 】对胶子传播子方程做处理时忽略了鬼场的贡献 及四夸克和夸克鬼场顶点的贡献，而文献 1 9 1 把这样的胶子传播子应用到求解夸 克信息的过程中，考虑了夸克圈的效应。 在过去几年中，关于r a i n b o w 1 a d d e r 近似下求解d s 方程成为一种有效的 方法 2 2 1 。由于我们所用的是裸的胶子- 夸克顶点，r a i n b o w 近似没有给出完全 的非微扰信息，但是这种近似方法在低能强子物理领域为我们提供了一种很 好的描述方法。因此我们在研究包含夸克圈效应的着衣胶子传播子时同样采用 r a i n b o w l a d d e r 近似的方法。过去的一些文章中使用的着衣胶子传播子并没有包 含夸克圈的效应，最近基于整体色对称模型理论，我们理论推导出了含有夸克圈 效应的胶子传播子【2 3 】。这是计算含有夸克圈效应的胶子传播子的一种方法，我 们同样可以用其计算含有流夸克质量效应和化学势依赖情况下的着衣胶子传播 子。 本论文的目的是在手征极限下先计算出包含夸克圈效应的胶子传播子，然后 由已得到的胶子传播子来计算着衣夸克自能函数，并在这种情况下得到的着衣夸 克自能函数的图像与传统计算下( 胶子传播子不含夸克圈效应) 得到的图像进行 对比，从而说明在胶子传播子的计算中夸克圈的效应不能够忽略。 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 5 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 2 1 d y s o n - s c h w i n g e r 方程介绍 众所周知通过量子场理论中的场方程，我们可以得到一系列与格林函数相 关的耦合积分方程，这些无穷阶的耦合迭代方程就被称为d y s o n - s c h w i n g e r 方 程。d s 方程是解决量子场理论( q f t ) 问题的连续、非微扰方法，提供了理解 q c d 强耦合现象的完整图景。关于d s 方程的详细介绍见参考文献【9 ，1 0 】，在本 论文中主要采用泛函路径积分的方法简要介绍推导关于q e d 、q c d 的d s 方程， 这两方面也是d s 方法在解决量子场理论的相关问题中应用最广泛的领域【2 0 】。在 此我们同时讨论有关d s 方程重整化以及方程解的相关问题，从而给出清晰完整 的d s 方程的理论图像。 2 2 量子电动力学的d y s o n s c h w i n g e r 方程 为了更清楚地理解d s 方程的推导，在下述章节中我们将以q e d d 理论为例 进行介绍。 定义m i n k o w s k i 空间的度规为9 0 0 = 1 ，夕“= 一1 ( i = 1 ，2 ，3 ) ，那么对于任何 d 维场的作用量为： 踟础制= 。l 耋矾妒仇，+ 相舡主w 炒l p 刎 在这里我们采用自然单位制( 危= c = 1 ) ，且4 = a p 7 l i = 9 缈a p ， 7 p ，r ) = 2 夕炒。其中，= 1 ，为味道指标，v y ( x ) 是费米场，a p ( z ) 是规范玻色子 场，m 和e 5 分别代表费米子的裸质量和电荷，阿贝尔规范玻色子场强张量 为：耳p = 钆a p 一乱a p 。 在存在外源的情况下，与方程( 2 - 2 1 ) 相联系的具有费米子场与玻色子场格 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 6 林函数的生成泛函表示为： 撕，= 刃c 咖舭p m z 莩确缈地 ) ( 2 - 2 - 2 ) 在这里刁，叼，山分别代表费米子、反费米子以及玻色子场源，并且我们定义泛 函积分为： d ( 移，妒，a ) = n d 移，d 妒，i i ) a p ( 2 - 2 3 ) 讧 上述作用量s 在定域阿贝尔规范变换下不变： 妒( z ) 妒( z ) 气( z ) 妒a ( z ) = e 一记o ( 妨妒( z ) 巧a ) = e 锄 ( 巧 ) a ：( z ) = a p ( z ) 一钆入( z ) ( 2 2 4 ) 在上述变换中入扛) 是任意的一个标量函数，这是因为规范变换要保证对于任意场 移( z ) ，妒 ) ，a 弘( z ) 都存在无穷多相对应的场_ ( 移a ) ，矿( z ) ，以 ) ) ，他们有相同 的作用量 s 【移，妒，a “1 = s 【西a ，妒a ，a 劫 ( 2 - 2 - 5 ) 由于这两个作用量对币和够的g r a s s m a n n 积分相等，并不不依赖于入( z ) ， 这个问题可以通过引入f a d d e e v - p o p o v 行列式解决，在q e d 中就是采用在方程 ( 2 2 _ 1 ) 的作用量里简单的引入规范固定项： s 【玩妒，a p l _ & 眵，妒，a p l = s 【巧，矽，a p 】一去 d a x ( 吼a p ) 2 ( 2 - 2 - 6 ) 在该式中岛是纯粹的规范固定参数，q e d 中未重整化的量子场理论即可用上述含 有作用量& 的生成泛函方程( 2 2 2 ) 来描述。 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 7 2 2 1 禾重整化的玻色子d s 方程 首先我们来推导未重整化的玻色子d s 方程。对于在q e d 中玻色子极化张量 的推导过程详见参考文献【9 】，在此我们将会把推导过程适当简化，并得到相应的 d s 方程。 考虑包含有作用量& 的生成泛函方程( 2 - 2 2 ) ，我们可以看出关联格林函 数引f 7 ，叩，以】的生成泛函定义为： z 防，刁，五】= e x p ( 乡f 绣彳，五】) ( 2 2 7 ) 由于在给定合适边界条件的情况下，泛函微分的泛函积分为零，那么： 。= 口( 妣南唧 i ( 嘶，小如妙n 矿妒，+ v p ) ) = 口c 妣卅 羔圳z ) ) e 印 t ( 嘶础刨+ - 厂d d z 阿，矿州1 ；f i ，+ v p ) ) = 6 a t 坠, ( x ) 南，而5 ，一高 + 以( z ) ) z 慨叩，别 ( 2 。8 ) 对方程( 2 2 - 6 ) 中的a “( z ) 求导可得到： 蔷= p 钆川( 1 一去) 钆乱卜+ 莓e 妒 c 2 。9 ， 将( 2 2 9 ) 式带入( 2 2 8 ) 式可得到： 叫牡p 扩跏一( 1 一去) 叫南 + 莓e 5 ( 高饥彘+ 高5 6 习 ) 陋2 加， 方程( 2 2 1 0 ) 实际上就是用来描述电磁场m a x w e l l 方程的紧致形式。为了更进 一步说明，我们可以用上式得到玻色子真空极化张量的表达式。 通过下面的l e g e n d r e 变换，将连通格林函数的生成泛函多瓯7 7 ，山】转换到单 粒子不可约格林函数的生成泛函r 眵，妒，a p 【9 】进行讨论 9 际叩，川三i t i c ，妒，a 】+ d d z p ，野，+ 亓，矽，+ 4 ， ( 2 - 2 1 1 ) 第二章r ) y s o n s c h w i n g e r 方程 在这里存在如下关系： 纵垆南坝加褊巩扣一鼎 特一南以加一鼎矾加而6 f ( 2 - 2 - 1 2 ) 利用上式以及6 班( z ) 6 端( y ) = 以p 叮9 ( 茁一v ) ，我们可以得到 i 肠z 3 铲9 6 2 r 6 7 7 ( z ) 鹂( 名) 6 鹕( z ) 媚( 可)l 叩：亓= 。= 巧口p 白9 6 d c z y ， c 2 - 2 - 1 3 ， 妒= 妒= 0 当费米场外源( 刁，叼) 消失时，可将场方程( 2 2 1 0 ) 式重新改写为： 南l 细= 陆p 邓一扣乱卜莩撕o n , s 化忍川 ( 2 - 2 1 4 ) 接下来我们定义费米子传播子的形式为： s ，c z ，y ，c a p 。= ( 鼎f 币：审：。) 一1 c 2 - 2 - 1 5 ， 为了得到光子极化张量，对( 2 2 1 4 ) 式作用6 6 a p ( 可) 的未分，并设定外源 以 ) = 0 ，同时可以看出 e 5 r ：= 南赢 l 10 = a = 妒= 巧 ( 2 - 2 1 6 ) 是正规费米规范玻色子顶点。然后通过对f 求a 的二次导数我们可以得到光子传 播子的逆( d - 1 ) p p ( z ，可) ，其表达形式为： ( 。一1 ) p ”( z ，y ) = 否j 函百而6 2 f l 。：a 。；妒：每 = p 扩甄y 一( 1 一去) 乱乱 6 4 一y ) + p 。( z ，可) ( 2 2 1 7 ) 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 9 其中光子真空极化张量y 定y y - o ： p p ( 训) = i ( e 5 ) 2 d d z l d d z 2 t r y p s ( x ，z 1 ) r 融钆现) s 化2 ，z ) 】( 2 - 2 - 1 8 ) l 。 通过傅立叶变换，我们可以得到光子传播子在动量空间的表达形式为： 。( g ) = _ g u + ( q 孑u q i p _ ( 一q 2 + i e ) ) r i 击石虿一岛百( 2 - 2 - 1 9 ) 在此我们利用了真空极化张量所要满足的w a r d t a k a h a s h i 恒等式q 1 - i p v ( g ) = 0 ， 同时定义了真空极化值n ( q 2 ) 为：p p ( g ) = ( q 2 6 t t p 一钆钆) ( 9 2 ) 。系数岛= 0 和 岛= 1 分别对应l a u d a n 规范和f e y n m a n 规范。 f a ) 圳c 叭=、 is b ，学= w + w 孵 图2 - 2 1 ：光子传播子的d s 方程 上述光子传播子的d s 方程我们可以用图( 2 2 - 1 ) 来表示。图( 2 2 1 - a ) 表示方程( 2 2 1 8 ) 中的光子极化张量：图( 2 2 一l - b ) 表示方程( 2 2 1 7 ) 中的 光子传播子d p p ( z ，y ) ，在该图中用光子极化张量i i 炒( z ，秒) 和裸的光子传播子 d 占”( z ，y ) 来表示完全的光子传播子。一般来说在动量空间中光子传播子的d s 方 程可以通过对坐标空间进行傅立叶变换，或者可以直接通过f e y n m a n 图得到。 例如按照f e y n m a n 规则根据图( 2 2 1 - a ) 我们可以写出光子极化张量动量空间 的d s 方程为： 毗( g ) - ( - 1 ) ( 巧) 2 蒜t r ) ( ( 2 ) ) ( 卿，f + 蝴s ，( 2 + g ) ) 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 1 0 根据图( 2 2 一l - b ) 可以写出光子传播子在动量空间相应的表达形式为： i d p p ( q ) = i d g r ( q ) 【鳄+ i i l 下p ( q ) i d p p ( q ) 1 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 2 2 2 未重整化的费米子d s 方程 与上面所叙述的玻色子d s 方程的推导过程相似，我们同样可以得到费米子 传播子的d s 方程。首先可以写出费米子传播子的积分方程为： 。= 。移易妒口如蠢苦e x p t ( & 眵，妒， 】+ d d z 巧，叩，+ 面，妒，+ a ) ) = 蔫 南，刍，一高 + 咖) ) z 喃m 以，( 2 - 2 - 2 2 ， 在对方程( 2 2 2 2 ) 两边取7 的微商6 卸，并取外源r = 面= j = 0 ，我们可以得 到： 6 d ( 。一箩) = ( i m 5 ) s ，( z ，y ) 一z ( e 5 ) 2 d d z l d 4 2 2 d d z 3 7 。p y ，盈) s ，扛，忽) r p ( z - ；勿，z 3 ) s ，( 忽，可) ( 2 - 2 - 2 3 ) 在这里d p p ( z ，y ) 是将方程( 2 2 - 2 3 ) 和( 2 2 1 8 ) 耦合到一起的光子传播子，因 此我们可以看出两点格林函数方程是相互耦合的，并同时依赖于三点格林函数 f 缸。那么对于死点函数的d s 方程是和其他的更少阶的函数、与其同阶的函 数、( 佗+ 1 ) 和( 佗+ 2 ) 阶的函数耦合到一起的。将( 2 2 - 2 3 ) 式写成包含费米自能 项一t ，( z ，矽) 的函数形式即为： ( i 尹一m 5 ) s ，( z ，y ) 一a # z 1 ，( z ，z 1 ) s q z l ，秒) = 6 dx 一秒) ( 2 - 2 2 4 ) ， 且费米子自能函数满足如下方程 ， 一i f ( z ，可) = ( e 5 ) 2 d d 名1 d d z 2 o d p ，z 1 ) s z ( x ，恐) r ! ( z 1 ；z 2 ，掣) ( 2 2 2 5 ) 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 1 1 一f a ) = b ，= 育+ 气焉r 图2 2 2 ：电子传播子的d s 方程 我们用图( 2 2 2 a ) 来描述费米子自能项的方程，用图( 2 2 2 - b ) 来表示费 米子传播子s i ( p ) ，从图( 2 2 2 - b ) 能够看出费米子传播子也可以用费米子自能 函数- a y ) 和裸的费米传播子础 ) = 1 俘一m 6 ) 来描述。接下来可以通过图 ( 2 2 2 一a ) 并根据费曼规则得到在动量空间费米子自能函数的表达形式，同样我 们也可以将方程( 2 2 2 5 ) 做傅立叶变换变换到动量空间得到费米子自能函数的 动量空间表达式： 磁= ( e ，) 2 高( ( ( f ) m - f ) m r f ( 2 ，p ) ) ( 2 - 2 2 6 ) 按照同样的方法也可以根据图( 2 2 2 - b ) 或者方程( 2 2 6 ) 得到动量空间费米子 的d s 方程的形式： s ，0 ) = 1 【( 露) 一， ) 】= 1 眵一m 5 一， ) 】( 2 2 - 2 7 ) 2 2 3 未重整化的费米子一玻色子顶点d s 方程 我们同样可以按照上述方法得到费米子玻色子顶点的d s 方程，在此我们采 用动量空间的表达形式： 群( 加钆+ 莩高( m ( 喇+ 2 删( 秽叫枞：) ( 2 - 2 2 8 ) 第二章d y s o n - s c h w i n g e r 方程 1 2 = + i s = 棚叮丁棚叮了 + k 一kk ok 一k 吣+ 一图2 2 - 3 ：电子光子顶点的d s 方程 其中代表费米子反费米子的散射核，图( 2 2 3 ) 形象表示了这样的过 程。很显然p 和两点格林函数( 费米子传播子) 以及四点格林函数( 费米子- 反 费米子散射振幅) 耦合到一起，通过图( 2 2 3 ) 我们可以得到： m = k + k ( t s ) 2 k + k ( i s ) 2 k ( z s ) 2 k + = k4 - k ( i s ) 2 m( 2 - 2 2 9 ) 在微扰论中方程( 2 2 2 9 ) 最低阶的形式为： m f g = k l g = 6 如( e 5 ) 2 ( i 钆) ( i d 苦p ) ( 吼)( 2 2 3 0 ) 在这里d o 表示裸的光子传播子。 52 2 4 d s 方程的重整化 在上面的章节中我们已经得到了未重整化的d s 方程，下面我们简要介绍有 关d s 方程的重整化方法。 在q e d d 中，我们定义：历为费米子波函数的重整化常数，磊为光子波函 数的重整化常数，磊为顶点的重整化常数，且根据w a r d t a k a h a s h i 恒等式可以 得到磊= z 2 。在有了上述重整化常数的定义后，可以得到裸量和重整化后量的 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 1 3 姑= 何g = 函5 = 孺z f e ， ( 2 2 - 3 1 ) 对于重整化的作用量我们利用& 眵，妒，a p 】三【而，硝】以及方程( 2 2 1 ) 、 ( 2 2 3 1 ) 从而得到： 蜥础刨：zi 始矾旷州+ z e f 州1 一和一象( 俐l澎，妒，a _ = zl 【墨移9 一m 5 ) 妒，+西，4 妒，卜譬以y f 一象( 乱) 2l。 lf = l “ l = z 陟一“觥，一凇一去e w + n f 【( 召_ 1 ) 弛一 卿们一掣兄，1 + 【( 召一1 ) 移，i 鲫，一，西 痧，乒妒卜迎pi ，= 1 j ( 2 - 2 3 2 ) 我们能够看出5 m f = m 刍一m f 三召m 5 一仇，如，三e 二一e i 三( 墨一1 ) e ，并且 认为讥、讥、硝、m 0 、e o 和岛是裸量，m ，、e 1 分别代表重整化之后的费米子质 量和电荷，为重整化规范常数。 根据方程( 2 2 2 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 - 1 1 ) 以及重整化的作用量可以相应地得 到重整化后的生成泛函互、雪和于。采用与上述做法同样的步骤得到重整化的格林 函数西p l ，、r 3 f 、屯和r f g ，对于重整化量采取如下的边界条件： ( 争一1 ) o ) 1 p 2 ：，) 2 = 一m ，于缸p ，p ) i 批= 7 p ，f i ( o ) = o ( 2 - 2 - 3 3 ) 同时我们定义重整化的费米子传播子和光子传播子为： ( 参) 一1 ( p ) = 一m 歹一妻， 毗) = 芏等掣幽志一f 南( 2 2 硼 那么方程( 2 2 1 6 ) 变为： 沂如加南鼎l 乖审 c 2 姻 第二章d y s o n s c h w i n g e r 方程 1 4 同样方程( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 1 8 ) 变为： c 西一1 ，p ”c z ，可，= 淼l 。： 。：母：每 = z 3 g o g , 。- ( 1 一去) 钆乱 6 4 ( z y ) + ：，( z ，秒) = 历怫a p 夕p 。二乱乱】6 4 一可) + 昙钆乱6 4 一可) + i i ；。( z ，3 ，) ( 2 - 2 3 6 ) ：p ( z ，可) = i z ，e 2fd 4 z l d a z 2 t r s ( z ，z - ) 亍p ( 箩勿) 亏( 沈，z ) 】( 2 - 2 - 3 7 ) 在动量空间中我们定义：v ( g ) 三( 一乳p q 2 + 钆钆) ( 9 2 ) ，因此它遵循方程 ( 2 2 3 6 ) 和( 2 2 3 7 ) 的动量空间的表示形式丘( 9 2 ) = ( 磊一1 ) + 7 ( 9 2 ) 。通过边 界条件矗( o ) = 0 我们可以知道历= 1 一1 1 7 ( o ) ，最终可以得到如下形式： t f l “。( q ) = t ( 一乳p 9 2 + 乳g 。) n ( 9 2 ) = i f - g p 9 2 + q u q p ) 1 1 7 ( 口2 ) 一1 1 7 ( o ) 】 ( 2 2 3 8 ) 重复费米子自能函数的推导过程，方程( 2 - 2 - 2 3 ) 变为： 墨( t 尹一m o ) 雪，( z ，y ) 一z 1 7 ( z ，名1 ) 雪，( z 1 ，可) = 6 d ( z y ) ( 2 2 3 9 ) ， 其中 一i 7 ，y ) = 刃( e ，) 2 魂勿7 0 d p p ，忽) 雪， ，勿) 于j ( 名1 ；z 2 ，秒) ( 2 2 4 0 ) j 在动量空间有( 亏，) 一1 p ) = 霹侈一m ；) 一7 p ) = 矽一m ，一宝，0 ) ，利用洛伦兹 协变形可以把7 写成狄拉克矢量和标量的形式：哆扫) = ? ( 矿) + 7 ( 矿) ， 对于意，可以采取相同的变换。因此我们得到( 矿) = 7 扩) 一( 易一1 ) 和 也0 2 ) = ? ( p 2 ) 一( z 2 m o m ) 。在矿= m 2 处的边界条件妻) = 0 可以给出： 乏= l + z ( m 2 )m 6 = 【m ，一m i ( m ，) 2 】乏 ( 2 2 4 1 ) 第二章d ) r s o n s c h w i n g e r 直程 1 5 同时我们知道壹，0 ) = 妻2 ( p 2 ) 舛彭 2 ) ，其中妻 p 。) = z ( p 2 ) 一z ( 仇，) 。，妻f 。) = 多0 2 ) 一w ( m 0 2 如果我们引入：( ，) 一1 0 ) = a s ( p 2 ) 矽一b ，0 2 ) = ( z 9 一l ( p 2 ) 瞄一 m ，2 ) 】可以得到费米子传播子重整化的d s 方程： a ，2 ) = ( z 9 1 0 2 ) = 1 一妻 2 ) b l ( p 2 ) = ( z 9 1 ( p 2 ) m f ( p 2 ) = m ，+ 妻j 0 2 ) ( 2 - 2 - 4 2 ) 对于费米子一玻色子的正规顶点方程( 2 2 2 8 ) 在重整化后变为： 于姒p ) = z 九一高雪，+ 口) 于渺+ g p + q ) ，( p + q ) 加( p + g ，+ g 口) 三z f 钆+ a p f t , 巾，p ) 三+ 天：，p ) ， ( 2 2 4 3 ) 其中对a z 和群的定义为：弼，p ) = a z 函，p ) + ( 彳一1 ) 仳。通过顶点的边界条 件方程( r e f e q ：2 3 4 ) 可得到 ( z f 1 ) 讹= 一a z ( p ，p ) i 卢m ， 最终给出 天：，p ) = 人z ，p ) 一人z ，p ) i 扫 ( 2 - 2 4 4 ) ( 2 - 2 4 5 ) 2 3 量子色动力学的r 秒s o n s c h w i n g e r 方程 q c d 是基于s u ( 3 ) 群的非阿贝尔规范理论，由于规范场自作用的存在，比 我们在上一节中所叙述的基于u ( 1 ) 群的q e d 理论要复杂很多。在q c d 中基本 的拉式量可以表示为： 跗础削= 如匿职班加丢曰” 弘3 脚 其中 尉p = 扩a ：一矿a ：+ 夕0 厶6 c a 6 j z 。1 , * 第二章d y s o n - s c h w i n g e r 方程 1 6 v d p = 扩一i g o a ：t 8 = 俨一i g o a p( 2 - 3 2 ) 并且舻= a 苫t 口，a 苫和妒，分别是胶子场和夸克场。，= 1 ，是夸克味 指标，指标a = 1 ，8 是s u ( 3 ) 色指标，这里的重复指标表求和。对色指 标我们采用标准的约定 1 1 1 ，这里t 口兰入口2 ，而厄米矩阵入口是s u ( 3 ) 群的生 成元，且满足t r ( a o a b ) = 2 如、f k ，入司= 2 i f 阮a 。、t r ( t o t b ) = t f 如= 以6 2 与 i t 口，t b 】= 厶b c 亡。兰一。t 。对s u ( g ) 群，c a s i m i r