《点集拓扑学》§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理.doc

6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点:掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法定理6.3.1Urysohn引理设X是一个拓扑空间，a，b是一个闭区间则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:Xa，b使得当xA时f(x)=a和当xB时f(x)=b证明：由于闭区间同胚于0,1,因此我们只需对闭区间0,1的情形给以证明.充分性:设是中的两个闭集,是一个连续映射使得当时,时.由于集合是0,1中两个不相交的开集,因此.和是中两个不相交的开集,并且,因此是一个正规空间.必要性.设是一个正规空间, A,B是中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用的正规性在中构造一个以0,1中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射,使得时,时.第一步,设是0,1中的全体有理数集合,对我们将定义一个与它相对应的开集,使得当时,这样,开集族在包含关系下是一个有序集,而且随着开集的指标的增大所对应的开集也就越大.由于是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族.先将排列成一个无限序列,即建立一一映射,为了方便,不失一般性,设和是这个序列的前两个元素.首先,令.又由于是一个正规空间,由定理6.4.2可知存在开集使得.记,假设对于2,集族已有定义,而且当时,对于,由于集合是一个有限集,而且有,故这个集合必有最大元,设,又集合是一个有限集合,而且,令.由归纳假设知一定有.由于,由定理6.4.2知存在中开集使得.令,则集族也满足:当时, .这是因为对：若时,由归纳假设知包含关系成立.若时,由于,则必有.即,因此由的定义及归纳假设有.若,则,则必有,即.因此由定义及归纳假设有.因此由归纳原理我们构造了集族满足条件：对,而且随着指标的增加,也随着增大(在包含关系的意义下).下面,我们令来说明上面的归纳定义集族的过程.在定义了之后,定义于之间使之满足,再定义于之间,使之满足.接着定义于之间使之满足,对于,由于,定义,至第九步我们定义,由于,因此使满足,.如图6.3.1.第二步,将第一步定义的集族中的指标集扩张成实数空间R中的有理数Q,具体作法是令这样,易验证开集族满足：当时,.第三步,对,定义,即由所有包含的开集的下标构成.则对任意,必有,(这是因为时,=，因此),且对于,必有,(因为时,=，因此),因此有下界,从而有下确界,且下确界必属于0,1,定义：第四步,验证第三步中定义的映射就是满足要求的映射.(1)设,则对,均有,因此,从而.设,由定义有,且时,因此对于任意,若必有,因此必有1,因此,从而.(2) 先证下面两个结论:(),().如果,由集族定义有对任意,因此,从而如果,则对任意,因此,从而(3) 证明是一个连续映射.设,是一个含有的R中的开区间,我们只需证明存在的邻域使得.为此,取有理数.令,(见图6.3.2).是一个开集,这是因为=.,这是因为,且,由第三步易见,因此.,这是因为对,则,因此,又,因此,从而,从而(见图6.3.2),从而由习题3.2.1可知是一个连续映射. 引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射使得,也就是说可用一个连续函数分离,回想一下正则空间的定义6.4.1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点及其中不包含的闭集,是否一定存在连续映射使得.由定理6.4.1我们可取为满足的开集,这和定理的证明是一致的,但要(或对于除0,1之外的一个有理数)满足条件,只有的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集要用连续映射分离,我们有下面的分离公理：定义6.5.1 设是一个拓扑空间,如果对于中任意点和中任何一个不包含点的闭集,存在一个连续映射使得0,以及对于任意1,则称拓扑空间是一个完全正则空间.定理6.3.2空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集证明设C是空间X中的一个连通子集如果C不只包含着一个点，任意选取，x,yX,xy,对于空间X中的两个无交的闭集x和y，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X0,